1
00:00:13,359 --> 00:00:26,170
Vamos a resolver ahora un ejercicio de la selectividad de la EBAU de Andalucía, año 2018, junio, A2, sobre integrales.

2
00:00:26,449 --> 00:00:34,170
Entonces, lo primero que vamos a hacer es marcar la vista gráfica 2 para tener el problema siempre visible.

3
00:00:34,170 --> 00:00:56,009
vemos que mientras esto esté desplegado a la vista las ventanas salen con ese icono que haciendo clic y arrastrar me permite ponerlo donde quiera, quito los ejes y ahora voy a insertar la imagen con el texto que ya hemos dicho que podremos coger con el recorte de Windows

4
00:00:56,009 --> 00:01:06,709
o en mi caso, con otro programa que utilizo, que hace lo mismo en Más Madrid Linux, que es un Ubuntu 18 de alguna manera.

5
00:01:07,689 --> 00:01:14,269
Bueno, ya tenemos ahí nuestro texto, ¿de acuerdo?

6
00:01:15,829 --> 00:01:24,310
Ahora le he puesto debajo para variar y también para que veáis que en este caso seguramente ocupa menos sitio aquí.

7
00:01:24,310 --> 00:01:53,340
Pues lo primero que tenemos son las funciones 6x menos x cuadrado, ahí la tenemos, el más bajo, perfecto, la vamos a poner en azul, de acuerdo, y la otra la pondremos en rojo.

8
00:01:53,340 --> 00:01:59,640
Bueno, ahora tenemos que representar la función g de x igual a la valor absoluta de x al cuadrado menos 2x.

9
00:02:00,340 --> 00:02:02,299
Hacerlo en GeoGebra es muy sencillo.

10
00:02:02,620 --> 00:02:13,340
Yo simplemente pongo abs de valor absoluto, paréntesis, x al cuadrado menos 2x, pues evidentemente GeoGebra hace todo el trabajo.

11
00:02:14,139 --> 00:02:21,439
Ahí la tenemos, la función g, pero en general no habría sido tan sencillo de hacer.

12
00:02:21,439 --> 00:02:25,860
y lo que yo les propongo a mis alumnos es que

13
00:02:25,860 --> 00:02:29,500
todas las funciones como era absoluto las descompongan

14
00:02:29,500 --> 00:02:33,819
o las convierta en una función a trozos, para ello me vais a permitir

15
00:02:33,819 --> 00:02:37,120
que en este caso vamos a trabajar también con la vista cas

16
00:02:37,120 --> 00:02:42,180
de acuerdo, ahí la tenemos, nos la ha puesto aquí

17
00:02:42,180 --> 00:02:44,719
recordar que si ponemos vista

18
00:02:44,719 --> 00:02:47,159
pues podemos cambiarla

19
00:02:47,159 --> 00:02:51,560
vamos a ponerla ahí debajo

20
00:02:51,560 --> 00:02:53,500
¿vale? como veis

21
00:02:53,500 --> 00:02:54,879
ya tenemos

22
00:02:54,879 --> 00:02:58,000
aquí, bueno pues lo que decía

23
00:02:58,000 --> 00:03:00,680
es que si yo

24
00:03:00,680 --> 00:03:02,539
G

25
00:03:02,539 --> 00:03:05,560
la pongo en la vista K

26
00:03:05,560 --> 00:03:08,159
y pido que me resuelva la ecuación

27
00:03:08,159 --> 00:03:09,599
0,2

28
00:03:09,599 --> 00:03:11,860
lógicamente son los puntos

29
00:03:11,860 --> 00:03:13,240
donde toca el eje X

30
00:03:13,240 --> 00:03:15,680
sus raíces y eso me permite

31
00:03:15,680 --> 00:03:18,780
ahora, pues escribir g realmente

32
00:03:18,780 --> 00:03:23,599
como una función a trozos, de tal manera que escribiremos

33
00:03:23,599 --> 00:03:27,139
sí, abrimos paréntesis

34
00:03:27,139 --> 00:03:31,539
vamos a ir de izquierda a derecha, x menor o igual que 0

35
00:03:31,539 --> 00:03:35,039
la función a pintar, vemos que es

36
00:03:35,039 --> 00:03:39,699
igual que sin valor absoluto, ya que por ejemplo f de menos 3

37
00:03:39,699 --> 00:03:43,860
daría positivo, y el valor absoluto no le haría nada

38
00:03:43,860 --> 00:04:05,979
bueno, estamos metiendo también matemáticas, aunque esto es un curso de GeoGebra, bueno, pues aquí tenemos x cuadrado menos 2x, coma, haremos otro sí, en el que ahora lo que pondremos es el contrario, menos x al cuadrado más 2x,

39
00:04:05,979 --> 00:04:23,720
También podríamos haber escrito en algún sitio x cuadrado menos 2x, poner p menos p, pero bueno. Y ahora aquí podríamos poner coma y cuando no lo pone, vamos a hacerlo de hecho.

40
00:04:23,720 --> 00:04:45,500
Ahora aquí otra vez x cuadrado menos 2x, pero mirad lo que pasa cuando escribo esto como una función, me da la impresión, sí, me he comido la condición, claro, ahora sería x menor o igual que 2, bueno, mirad lo que pasa al ponerlo,

41
00:04:45,500 --> 00:04:49,079
me sale escrito así, que no puede decir, pues no me importa

42
00:04:49,079 --> 00:04:51,600
efectivamente menor que 0, de 0 a 2

43
00:04:51,600 --> 00:04:54,660
y en caso contrario, a mi no me gusta mucho

44
00:04:54,660 --> 00:04:57,180
entonces lo que hago es

45
00:04:57,180 --> 00:04:59,300
esta última opción

46
00:04:59,300 --> 00:05:03,560
a ver, esta última opción

47
00:05:03,560 --> 00:05:05,259
vaya, no me va a dejar

48
00:05:05,259 --> 00:05:08,899
en cuanto pincho fuera

49
00:05:08,899 --> 00:05:11,660
no me deja

50
00:05:11,660 --> 00:05:16,660
en cuanto quiero llevarlo aquí para verlo

51
00:05:16,660 --> 00:05:18,279
Bueno, vamos a hacer otra trampa

52
00:05:18,279 --> 00:05:21,360
No me queda más remedio

53
00:05:21,360 --> 00:05:25,160
Que sería

54
00:05:25,160 --> 00:05:26,740
No poner aquí nada

55
00:05:26,740 --> 00:05:30,980
Tampoco me lo va a dejar borrar

56
00:05:30,980 --> 00:05:33,660
De izquierda a derecha, sí

57
00:05:33,660 --> 00:05:34,879
Y

58
00:05:34,879 --> 00:05:40,000
Después del valor

59
00:05:40,000 --> 00:05:41,420
Poner sí

60
00:05:41,420 --> 00:05:43,339
Y ahora

61
00:05:43,339 --> 00:05:45,459
X mayor que 2

62
00:05:45,459 --> 00:05:47,339
Entonces me va a copiar eso

63
00:05:47,339 --> 00:05:51,819
en la definición, y ahora aquí x cuadrado menos 2x

64
00:05:51,819 --> 00:05:55,540
ahora como veis, en vez de poner

65
00:05:55,540 --> 00:05:59,379
en caso contrario, pone x mayor que 2, nada más contaros

66
00:05:59,379 --> 00:06:03,319
esta curiosidad, como veis la función la ha pintado

67
00:06:03,319 --> 00:06:09,300
bien, si quisiéramos tenerla igual que g

68
00:06:09,300 --> 00:06:13,160
pues podemos utilizar la herramienta copiar estilo visual

69
00:06:13,160 --> 00:06:16,540
ahora lo mismo poner g que h, podemos poner

70
00:06:16,540 --> 00:06:19,060
la que queramos porque es la misma

71
00:06:19,060 --> 00:06:20,300
lo único que en h

72
00:06:20,300 --> 00:06:24,000
nos sirve

73
00:06:24,000 --> 00:06:26,279
para contestar ahora

74
00:06:26,279 --> 00:06:28,379
a la pregunta

75
00:06:28,379 --> 00:06:30,019
porque lo que tenemos que hacer es

76
00:06:30,019 --> 00:06:32,980
una parábola

77
00:06:32,980 --> 00:06:36,480
que corta el eje x en 0 y en 2

78
00:06:36,480 --> 00:06:41,220
con la misma curvatura que x cuadrado

79
00:06:41,220 --> 00:06:43,060
aquí curvatura contraria

80
00:06:43,060 --> 00:06:44,839
que es lo que solemos llamar

81
00:06:44,839 --> 00:06:47,439
cóncava y convexa en matemáticas de secundaria

82
00:06:47,439 --> 00:06:52,480
y bueno, pues yo creo que esto ya

83
00:06:52,480 --> 00:06:56,680
cualquiera podría pintarlo, si acaso

84
00:06:56,680 --> 00:06:59,720
aquí podríamos poner

85
00:06:59,720 --> 00:07:04,639
en g, pues hacer

86
00:07:04,639 --> 00:07:08,459
donde tendrá el máximo, entonces podríamos

87
00:07:08,459 --> 00:07:12,879
enfocarlo o bien como menos b partido de 2a

88
00:07:12,879 --> 00:07:17,300
que sería menos b

89
00:07:17,300 --> 00:07:21,319
2 partido de 2a, 2, 1

90
00:07:21,319 --> 00:07:24,240
o incluso haciendo

91
00:07:24,240 --> 00:07:28,899
la derivada de menos x cuadrado más 2x

92
00:07:28,899 --> 00:07:31,759
en cualquier caso

93
00:07:31,759 --> 00:07:34,519
nos sale que el extremo está en 1

94
00:07:34,519 --> 00:07:39,800
una parábola fácil de pintar

95
00:07:39,800 --> 00:07:44,300
una vez que tuviéramos las dos hechas

96
00:07:44,300 --> 00:07:46,639
vamos a pasar a lo que me interesaba

97
00:07:46,639 --> 00:07:50,100
que era calcular el área del recinto limitado

98
00:07:50,100 --> 00:07:51,939
bueno, pues para eso

99
00:07:51,939 --> 00:07:54,740
si queremos hacer los puntos de corte entre F y G

100
00:07:54,740 --> 00:07:58,319
hay que igualar las funciones

101
00:07:58,319 --> 00:08:04,470
resolver esta ecuación

102
00:08:04,470 --> 00:08:07,350
nos da 0 y 4

103
00:08:07,350 --> 00:08:10,550
en realidad habría que tener cuidado

104
00:08:10,550 --> 00:08:14,730
y lo suyo sería igualarla a esta

105
00:08:14,730 --> 00:08:17,550
que me valdría para menores que 0 y mayores que 2

106
00:08:17,550 --> 00:08:23,209
y igualarla a esta que me valdría para los valores entre 0 y 2

107
00:08:23,209 --> 00:08:27,269
veríamos que en este caso

108
00:08:27,269 --> 00:08:30,949
me daría 0 y 4 y aquí daría 0

109
00:08:30,949 --> 00:08:33,929
pero bueno, 0 y 4, aquí se ve en el dibujo

110
00:08:33,929 --> 00:08:37,529
bueno, una manera de hacerlo

111
00:08:37,529 --> 00:08:40,269
vemos que tendríamos que dividir para calcular el área

112
00:08:40,269 --> 00:08:44,690
hasta 2 y a la derecha de 2

113
00:08:44,690 --> 00:08:47,429
por ejemplo, aquí podríamos poner

114
00:08:47,429 --> 00:08:53,649
primero lo vamos a hacer gráficamente

115
00:08:53,649 --> 00:08:55,789
y luego veremos cómo se haría numéricamente

116
00:08:55,789 --> 00:09:01,750
la integral de f entre 0 y 2

117
00:09:01,750 --> 00:09:05,649
es 9,33

118
00:09:05,649 --> 00:09:09,190
si este área, por ejemplo

119
00:09:09,190 --> 00:09:11,070
podríamos hacer cosas

120
00:09:11,070 --> 00:09:13,470
como

121
00:09:13,470 --> 00:09:17,570
en estilo

122
00:09:17,570 --> 00:09:21,049
vaya, se nos ha ido

123
00:09:21,049 --> 00:09:22,450
en estilo

124
00:09:22,450 --> 00:09:25,129
poner un relleno rayado

125
00:09:25,129 --> 00:09:26,830
con, por ejemplo

126
00:09:26,830 --> 00:09:28,629
esto

127
00:09:28,629 --> 00:09:30,990
el color le podríamos poner azul

128
00:09:30,990 --> 00:09:33,129
ya que es el área por debajo

129
00:09:33,129 --> 00:09:34,129
de la función azul

130
00:09:34,129 --> 00:09:37,490
y

131
00:09:37,490 --> 00:09:40,490
ahora podríamos hacer

132
00:09:40,490 --> 00:09:43,570
la integral

133
00:09:43,570 --> 00:09:50,799
de g entre 0 y 2

134
00:09:50,799 --> 00:09:54,539
que me da 1,33

135
00:09:54,539 --> 00:09:57,220
lo mismo

136
00:09:57,220 --> 00:10:00,059
si la seleccionamos

137
00:10:00,059 --> 00:10:04,379
y la ponemos en rojo

138
00:10:04,379 --> 00:10:07,120
y el estilo

139
00:10:07,120 --> 00:10:09,899
rayado

140
00:10:09,899 --> 00:10:15,179
ahora podríamos poner 135 para que se viera aquí

141
00:10:15,179 --> 00:10:19,179
como una cuadrícula, eso querría decir

142
00:10:19,179 --> 00:10:25,100
vamos a quitar las etiquetas, querría decir

143
00:10:25,100 --> 00:10:28,820
que la parte cuadriculada no es parte

144
00:10:28,820 --> 00:10:32,799
del área que buscamos, la parte que buscamos es la que solamente

145
00:10:32,799 --> 00:10:35,840
tiene rayas azules

146
00:10:35,840 --> 00:10:41,039
y bueno, esto mismo lo podríamos

147
00:10:41,039 --> 00:10:45,159
a hacer de otra manera, si voy a volver a copiar

148
00:10:45,159 --> 00:10:53,940
a ver si me deja hacerlo bien

149
00:10:53,940 --> 00:11:04,240
pues tardo menos en volverlo a escribir, integral

150
00:11:04,240 --> 00:11:07,840
de f

151
00:11:07,840 --> 00:11:13,480
entre 2 y 4, bueno

152
00:11:13,480 --> 00:11:17,440
ahora da 17,33, ahora lo voy a cambiar

153
00:11:17,440 --> 00:11:21,480
aparte de ponerlo por supuesto en azul

154
00:11:21,480 --> 00:11:24,899
voy a poner una opacidad un poco mayor

155
00:11:24,899 --> 00:11:26,879
de acuerdo

156
00:11:26,879 --> 00:11:33,100
y lo vamos a dejar así

157
00:11:33,100 --> 00:11:38,470
aquí vamos a poner la integral

158
00:11:38,470 --> 00:11:42,750
de g entre 2 y 4

159
00:11:42,750 --> 00:11:50,059
que la vamos a poner en rojo

160
00:11:50,059 --> 00:12:02,440
y también con un color más ampliado

161
00:12:02,440 --> 00:12:04,220
de tal manera que nos queda como morado

162
00:12:04,220 --> 00:12:09,039
lo que nos interesaría sería la zona azul

163
00:12:09,039 --> 00:12:13,019
bueno, y ya simplemente

164
00:12:13,019 --> 00:12:15,779
el valor de la integral sería

165
00:12:15,779 --> 00:12:18,279
con las letras que hemos utilizado aquí

166
00:12:18,279 --> 00:12:25,059
a menos b más c menos d

167
00:12:25,059 --> 00:12:31,820
y el resultado sería 18,67

168
00:12:31,820 --> 00:12:35,220
es el resultado del ejercicio 2

169
00:12:35,220 --> 00:12:40,120
ahora lo vamos a hacer de otra manera

170
00:12:40,120 --> 00:12:43,919
en la vista CAS voy a escribir

171
00:12:43,919 --> 00:12:48,440
f menos y le voy a restar

172
00:12:48,440 --> 00:12:52,320
la función g

173
00:12:52,320 --> 00:12:56,659
entre 0 y 2, que es menos x cuadrado

174
00:12:56,659 --> 00:13:00,779
más 2x, eso nos da 4x

175
00:13:00,779 --> 00:13:03,100
vamos a llamar pdx

176
00:13:03,100 --> 00:13:05,580
a su integral

177
00:13:05,580 --> 00:13:07,399
para eso escribimos

178
00:13:07,399 --> 00:13:08,940
dos puntos igual

179
00:13:08,940 --> 00:13:11,440
con objeto de que

180
00:13:11,440 --> 00:13:11,980
me

181
00:13:11,980 --> 00:13:15,139
ponga como función

182
00:13:15,139 --> 00:13:17,740
¿de acuerdo? entonces pdx

183
00:13:17,740 --> 00:13:19,519
en la función

184
00:13:19,519 --> 00:13:20,620
voy a poner $5

185
00:13:20,620 --> 00:13:22,460
que es la línea

186
00:13:22,460 --> 00:13:25,039
que quiero integrar y el

187
00:13:25,039 --> 00:13:27,220
$ significa que es dinámico, es decir

188
00:13:27,220 --> 00:13:29,220
si yo cambiara el contenido de la línea

189
00:13:29,220 --> 00:13:37,100
5, el contenido de la línea 6 se actualizaría, bueno, pues ya tengo la función 2x cuadrado

190
00:13:37,100 --> 00:13:45,460
que es la integral y ahora como vemos que p de 0 es 0, muy fácilmente, pues lo voy

191
00:13:45,460 --> 00:13:53,259
a escribir en una sola línea, p de 0, p de 2 menos p de 0, de acuerdo, vale 8, ahora

192
00:13:53,259 --> 00:13:55,299
voy a hacer lo mismo que en la línea 5

193
00:13:55,299 --> 00:13:57,460
f menos

194
00:13:57,460 --> 00:13:58,700
pero ahora voy a escribir

195
00:13:58,700 --> 00:14:01,019
x cuadrado menos 2x

196
00:14:01,019 --> 00:14:04,860
voy a llamar q de x

197
00:14:04,860 --> 00:14:08,490
a la integral

198
00:14:08,490 --> 00:14:13,289
de la línea 8

199
00:14:13,289 --> 00:14:21,429
y ahora pues si, voy a hacer por separado

200
00:14:21,429 --> 00:14:22,230
q de 4

201
00:14:22,230 --> 00:14:24,710
q de 2

202
00:14:24,710 --> 00:14:30,039
de acuerdo

203
00:14:30,039 --> 00:14:33,399
entonces tendríamos

204
00:14:33,399 --> 00:14:34,940
q de 4

205
00:14:34,940 --> 00:14:37,399
menos Q de 2

206
00:14:37,399 --> 00:14:42,740
a ver

207
00:14:42,740 --> 00:14:44,539
lo he hecho mal

208
00:14:44,539 --> 00:14:46,440
menos Q de 2

209
00:14:46,440 --> 00:14:51,159
32 tercios y lógicamente

210
00:14:51,159 --> 00:14:53,200
el dólar 7 más el dólar 12

211
00:14:53,200 --> 00:15:00,799
es lo que me daría

212
00:15:00,799 --> 00:15:03,539
56 tercios

213
00:15:03,539 --> 00:15:04,779
que es

214
00:15:04,779 --> 00:15:05,899
la solución

215
00:15:05,899 --> 00:15:08,460
si se lo hubiéramos pedido aquí

216
00:15:08,460 --> 00:15:09,600
desde el principio

217
00:15:09,600 --> 00:15:11,919
dado que siempre va por encima

218
00:15:11,919 --> 00:15:14,899
sí que me

219
00:15:14,899 --> 00:15:15,720
valdría

220
00:15:15,720 --> 00:15:19,159
hacer por encima del eje x

221
00:15:19,159 --> 00:15:21,120
y hubiera podido poner la integral

222
00:15:21,120 --> 00:15:25,080
de f menos g

223
00:15:25,080 --> 00:15:28,100
entre 0 y 4

224
00:15:28,100 --> 00:15:31,399
y GeoGebra es tan sencillo

225
00:15:31,399 --> 00:15:33,159
o tan listo que nos hubiera dado

226
00:15:33,159 --> 00:15:34,759
el 18,67

227
00:15:34,759 --> 00:15:36,480
directa

228
00:15:36,480 --> 00:15:38,220
directamente, ¿de acuerdo?

229
00:15:39,360 --> 00:15:41,340
este 18,67

230
00:15:41,340 --> 00:15:44,039
pues se puede poner

231
00:15:44,039 --> 00:15:47,159
como 56 tercios

232
00:15:47,159 --> 00:15:48,320
si nosotros ponemos

233
00:15:48,320 --> 00:15:50,279
texto fracción

234
00:15:50,279 --> 00:15:54,529
y

235
00:15:54,529 --> 00:15:58,950
pues nos sale el 56 tercios

236
00:15:58,950 --> 00:16:00,730
que

237
00:16:00,730 --> 00:16:02,730
podríamos

238
00:16:02,730 --> 00:16:05,070
poner aquí como colofón

239
00:16:05,070 --> 00:16:07,029
del área

240
00:16:07,029 --> 00:16:08,830
por cierto, podríamos editarlo

241
00:16:08,830 --> 00:16:10,210
escribiendo aquí delante

242
00:16:10,210 --> 00:16:11,429
entre comillas

243
00:16:11,429 --> 00:16:12,909
área

244
00:16:12,909 --> 00:16:15,590
igual, cierro comillas

245
00:16:15,590 --> 00:16:16,809
más

246
00:16:16,809 --> 00:16:18,669
texto fracción

247
00:16:18,669 --> 00:16:21,549
área

248
00:16:21,549 --> 00:16:23,470
56 tercios

249
00:16:23,470 --> 00:16:25,870
y bueno, pues hemos visto un poco la vista

250
00:16:25,870 --> 00:16:27,610
CAS, como hacer integrales

251
00:16:27,610 --> 00:16:29,970
con el área por debajo

252
00:16:29,970 --> 00:16:30,669
de la curva

253
00:16:30,669 --> 00:16:33,429
y ya está