1
00:00:02,740 --> 00:00:24,109
Lo primero, recordad los ejes de coordenadas. Al eje horizontal le llamamos X, al eje vertical le llamamos Y y en estos momentos estamos trabajando en el plano.

2
00:00:24,109 --> 00:00:41,880
En el plano delimitado por unos ejes que se llaman 0x, ox y el eje oi. El punto 0,0 es el punto de corte donde se cruzan ambos ejes.

3
00:00:41,880 --> 00:00:53,719
Entonces vamos a hacer aquí una pequeña escala, para que no me quede tan concentrado me voy de dos en dos cuadritos y vosotros podéis hacer lo mismo en el cuaderno si queréis tomar apuntes.

4
00:00:53,859 --> 00:01:01,219
Hacia la derecha son positivos y hacia la izquierda negativos y en el eje Y hacia arriba son positivos y hacia abajo negativos.

5
00:01:04,900 --> 00:01:07,620
Entonces vamos a empezar, ya os digo, en el plano.

6
00:01:07,620 --> 00:01:16,459
Vamos a ver cómo expresaríamos en el plano un punto

7
00:01:16,459 --> 00:01:20,980
A los puntos los vamos a llamar por letras mayúsculas

8
00:01:20,980 --> 00:01:23,120
Por ejemplo P, Q y así

9
00:01:23,120 --> 00:01:28,359
P, Q, R, se suele empezar por la P de punto y luego vamos siguiendo

10
00:01:28,359 --> 00:01:32,900
Entonces imaginaos que os digo, vamos a coger el punto P

11
00:01:32,900 --> 00:01:37,359
Cuyas coordenadas son 1, menos 2

12
00:01:37,359 --> 00:01:42,700
¿Dónde estaría ese punto?

13
00:01:45,319 --> 00:01:46,519
¿Lo sabréis dibujar?

14
00:01:48,319 --> 00:01:52,260
El punto 1 menos 2

15
00:01:52,260 --> 00:01:57,060
El primer valor indica hacia dónde tengo que moverme en el eje X

16
00:01:57,060 --> 00:02:00,739
Y el segundo valor indica hacia dónde tengo que moverme en el eje Y

17
00:02:00,739 --> 00:02:03,719
Entonces, mi punto P estaría

18
00:02:03,719 --> 00:02:07,799
Voy a hacer los negativos de aquí

19
00:02:07,799 --> 00:02:11,259
Estaría en el 1 menos 2

20
00:02:11,259 --> 00:02:12,639
O sea, estaría justamente aquí

21
00:02:12,639 --> 00:02:18,020
Sandra, ¿lo ves?

22
00:02:23,159 --> 00:02:32,360
Bueno, venga, pues ahora vamos a ver qué es un vector

23
00:02:32,360 --> 00:02:37,219
Imaginaos que digo, voy a mover mi punto P

24
00:02:37,219 --> 00:02:46,060
Le voy a mover 2 menos 3

25
00:02:46,060 --> 00:03:03,409
Eso significa que desde donde estoy, no desde el origen, voy a moverme dos unidades hacia la derecha y tres unidades hacia abajo, ¿vale?

26
00:03:04,469 --> 00:03:14,030
Entonces, ¿cómo haría eso? Pues si desde donde estoy me muevo dos hacia la derecha, son una y dos, recordad que yo estoy tomando las unidades cada dos cuadraditos

27
00:03:14,030 --> 00:03:17,650
O sea, sería como una suma

28
00:03:17,650 --> 00:03:21,330
Me voy dos a la derecha y tres hacia abajo

29
00:03:21,330 --> 00:03:23,110
Una, dos y tres

30
00:03:23,110 --> 00:03:24,169
Me voy aquí

31
00:03:24,169 --> 00:03:26,169
¿Vale?

32
00:03:26,550 --> 00:03:28,830
O sea, me desplazo dos hacia la derecha

33
00:03:28,830 --> 00:03:30,789
Que son una y dos

34
00:03:30,789 --> 00:03:33,490
Y tres hacia abajo

35
00:03:33,490 --> 00:03:34,590
Porque tengo un menos tres

36
00:03:34,590 --> 00:03:36,610
Una, dos y tres

37
00:03:36,610 --> 00:03:38,110
¿Vale? O sea, me he venido hasta aquí

38
00:03:38,110 --> 00:03:41,870
Bueno, pues a esto que he hecho

39
00:03:41,870 --> 00:03:55,090
A decir que este punto se desplaza 2, menos 3, lo representamos así, mediante una línea que une el origen con el final y una flecha.

40
00:03:57,110 --> 00:04:13,479
Y a esto se le llama vector, concretamente a este se le llama vector desplazamiento, porque he movido mi punto P, y ahora le voy a llamar a este P'.

41
00:04:13,479 --> 00:04:19,759
Es decir, un punto se define con dos coordenadas en el plano

42
00:04:19,759 --> 00:04:28,180
Y un vector tiene un origen, un final

43
00:04:28,180 --> 00:04:37,480
Pero resulta, la diferencia es que el vector tiene una dirección, un sentido y un valor

44
00:04:37,480 --> 00:04:41,959
¿Vale? Valor es lo que mida esta flecha de aquí

45
00:04:41,959 --> 00:05:05,240
O sea, un punto es una cosa estática, que solo la defino dándole sus coordenadas, pero el vector, en este caso, el que me sirve para decir cómo se ha desplazado mi punto P, el vector va a tener dirección, sentido y valor, y al valor concretamente se le llama módulo, ¿vale?

46
00:05:05,240 --> 00:05:39,420
No, porque tendrías una cosa distinta. Tú puedes hacer primero, si quieres, el venirte tres para abajo y luego dos a la derecha. Eso te da lo mismo. Pero no puedes hacer... Vamos a volver al punto P y vamos a utilizar otro vector de desplazamiento.

47
00:05:39,420 --> 00:05:44,759
Los vectores se representan con letras como u, v y se les pone una flechita encima.

48
00:05:45,480 --> 00:05:51,040
Vamos a mover el punto P, pero ahora según el vector, menos 2, 3.

49
00:05:52,160 --> 00:05:53,000
A ver a dónde llego.

50
00:05:57,600 --> 00:05:58,560
Venga, estábamos aquí.

51
00:05:59,160 --> 00:06:00,899
¿Qué significa hacer menos 2?

52
00:06:01,759 --> 00:06:03,540
Que vengo para la izquierda.

53
00:06:04,000 --> 00:06:04,959
1 y 2.

54
00:06:05,199 --> 00:06:05,699
Y llego aquí.

55
00:06:05,980 --> 00:06:07,319
Y 3 voy hacia arriba.

56
00:06:07,560 --> 00:06:09,100
1, 2 y 3.

57
00:06:09,220 --> 00:06:10,139
Y llegaría aquí.

58
00:06:10,139 --> 00:06:15,139
¿Vale? O sea, no es lo mismo. El vector este es...

59
00:06:15,959 --> 00:06:18,139
No, pero me refiero a que...

60
00:06:21,079 --> 00:06:24,500
Sí. Bueno, si esto va a ser... estemos empezando.

61
00:06:25,899 --> 00:06:31,939
¿Por qué? ¿Te preocupa alguna cosa? Porque esto hay que entenderlo para poder entender lo siguiente, ¿vale?

62
00:06:32,459 --> 00:06:33,100
Es curioso.

63
00:06:34,060 --> 00:06:39,459
Sí, sí. De hecho, vamos a utilizar este ejemplo, esta cosa que has preguntado. No va a venir bien.

64
00:06:39,459 --> 00:07:05,240
Bien, fijaos, las características de un vector son el módulo, es su valor, las unidades que mide, tiene una dirección y tiene un sentido.

65
00:07:05,240 --> 00:07:13,139
Entonces, los dos vectores que hemos utilizado, el 2, menos 3 y el menos 2, 3

66
00:07:13,139 --> 00:07:16,199
Tienen la misma dirección, pero sentido contrario

67
00:07:16,199 --> 00:07:20,060
La dirección es la de la recta en la que están

68
00:07:20,060 --> 00:07:24,480
Pero uno va, digamos, hacia abajo y otro va hacia arriba

69
00:07:24,480 --> 00:07:28,959
Entonces, estas son las características de un vector

70
00:07:28,959 --> 00:07:37,360
La dirección y el sentido solo se pueden ver gráficamente o a través de ángulos y cosas así

71
00:07:37,360 --> 00:07:40,339
Pero el módulo le tenemos que aprender a calcular

72
00:07:40,339 --> 00:07:43,319
Pero el módulo es muy fácil, muy fácil de calcular

73
00:07:43,319 --> 00:07:47,399
Porque para calcular el módulo podemos utilizar el teorema de Pitágoras

74
00:07:47,399 --> 00:08:31,329
Os enseño un ejemplo.

75
00:08:31,350 --> 00:08:48,309
¿Por qué? Pues porque yo estaba en el punto A y me he ido hasta B. Entonces me dicen que el vector es 4, 5. Y me piden que calcule cuál es el valor, o sea, cuánto vale, cuánto mide la línea azul, si la tuviera que medir.

76
00:08:48,309 --> 00:08:54,230
Bueno, pues ¿cuánto mide la línea azul? Es la hipotenusa de un triángulo

77
00:08:54,230 --> 00:09:02,110
¿Y cuánto valen los lados del triángulo? Pues justo lo que me he desplazado hacia la derecha y lo que me he desplazado hacia arriba

78
00:09:02,110 --> 00:09:07,029
O sea, que lo que tengo aquí entre paréntesis son los dos catetos de un triángulo

79
00:09:08,330 --> 00:09:13,429
Con lo cual lo que mide el vector es la hipotenusa

80
00:09:13,429 --> 00:09:22,009
O sea, el módulo de un vector lo vamos a calcular como el lado al cuadrado más el lado al cuadrado y a eso le hacemos la raíz.

81
00:09:22,710 --> 00:09:24,909
O sea, es la hipotenusa de un triángulo rectángulo.

82
00:09:27,370 --> 00:09:27,570
¿Vale?

83
00:09:31,039 --> 00:09:39,639
Entonces, si nos venimos aquí a nuestro vector, el azul, que el otro era otra prueba,

84
00:09:39,639 --> 00:09:57,919
Vamos a llamarle u. Para nosotros es, si le ponemos esta flechita aquí encima, implica que estamos hablando de vectores y no de puntos, que lo podemos confundir.

85
00:09:57,919 --> 00:10:03,519
Para nosotros U es el vector 2 menos 3

86
00:10:03,519 --> 00:10:14,360
U es el vector 2 menos 3

87
00:10:14,360 --> 00:10:17,279
Entonces, vamos a calcular su valor

88
00:10:17,279 --> 00:10:20,480
Bueno, pues su valor es

89
00:10:20,480 --> 00:10:24,950
Se expresa así

90
00:10:24,950 --> 00:10:29,149
Metiéndolo entre dos barras

91
00:10:29,149 --> 00:10:29,610
¿Vale?

92
00:10:31,610 --> 00:10:34,110
El módulo de un vector se expresa así

93
00:10:34,110 --> 00:10:37,110
esto es una flechita

94
00:10:37,110 --> 00:10:39,169
que aquí en la pizarra me sale un poco mal

95
00:10:39,169 --> 00:10:42,470
pues es

96
00:10:42,470 --> 00:10:44,590
ya os digo el valor

97
00:10:44,590 --> 00:10:47,250
de la hipotenusa del triángulo

98
00:10:47,250 --> 00:10:48,830
rectángulo

99
00:10:48,830 --> 00:10:50,450
que forman sus coordenadas

100
00:10:50,450 --> 00:10:53,470
o sea es la raíz cuadrada de 2 al cuadrado

101
00:10:53,470 --> 00:10:54,090
más

102
00:10:54,090 --> 00:10:56,230
menos 3 al cuadrado

103
00:10:56,230 --> 00:11:00,570
luego es la raíz cuadrada

104
00:11:00,570 --> 00:11:02,730
de 4 más 9

105
00:11:02,730 --> 00:11:08,009
es raíz de 3

106
00:11:08,009 --> 00:11:09,870
lo que ve

107
00:11:09,870 --> 00:11:12,289
lo podéis hacer con la calculadora

108
00:11:12,289 --> 00:11:14,049
o lo dejamos así como raíz de 3

109
00:11:14,049 --> 00:11:19,649
¿vamos bien?

110
00:11:24,600 --> 00:11:25,899
bueno, pues la cosa se complica

111
00:11:25,899 --> 00:11:27,340
cuando nos vamos al espacio

112
00:11:27,340 --> 00:11:37,879
imaginaos que os digo

113
00:11:37,879 --> 00:11:41,809
tenemos el vector

114
00:11:41,809 --> 00:11:43,110
v

115
00:11:43,110 --> 00:11:47,759
dado por 2

116
00:11:47,759 --> 00:11:48,860
3

117
00:11:48,860 --> 00:11:50,200
3

118
00:11:50,200 --> 00:11:57,240
¿qué significa eso?

119
00:11:57,279 --> 00:11:59,179
del punto que puso antes, ¿verdad?

120
00:11:59,840 --> 00:12:01,980
no, cuando no te dicen nada

121
00:12:01,980 --> 00:12:04,179
es muy buena pregunta, Miguel.

122
00:12:04,299 --> 00:12:05,919
Cuando no te dicen nada, partimos de aquí,

123
00:12:06,139 --> 00:12:06,899
del 0, del 0.

124
00:12:08,159 --> 00:12:10,220
Entonces ahora necesitamos

125
00:12:10,220 --> 00:12:11,500
tres ejes.

126
00:12:13,440 --> 00:12:14,500
En el espacio

127
00:12:14,500 --> 00:12:15,960
este suele ser el eje Y

128
00:12:15,960 --> 00:12:17,259
y este suele ser el eje Z.

129
00:12:18,100 --> 00:12:20,159
Pero dibujar en un papel una cosa

130
00:12:20,159 --> 00:12:22,320
del espacio ya es muy complicada.

131
00:12:22,679 --> 00:12:23,960
Entonces me tendría que venir

132
00:12:23,960 --> 00:12:26,179
dos por aquí, tres por aquí

133
00:12:26,179 --> 00:12:27,200
y tres hacia arriba.

134
00:12:27,840 --> 00:12:30,059
Y no voy a tener ni idea de volumen ni nada.

135
00:12:30,639 --> 00:12:31,279
Para eso está

136
00:12:31,279 --> 00:12:34,100
el geogebra, ese mismo vector

137
00:12:34,100 --> 00:12:41,879
ese mismo vector

138
00:12:41,879 --> 00:12:43,860
lo tengo aquí

139
00:12:43,860 --> 00:12:48,409
eso es, el geogebra nos permite

140
00:12:48,409 --> 00:12:50,289
hacer este tipo de cosas, dibujar en tres

141
00:12:50,289 --> 00:12:51,309
dimensiones, vale

142
00:12:51,309 --> 00:12:53,870
dos, tres y tres

143
00:12:53,870 --> 00:12:56,289
o sea me he venido dos por el rojo

144
00:12:56,289 --> 00:12:58,669
tres por el

145
00:12:58,669 --> 00:13:00,129
azul y tres por el verde

146
00:13:00,129 --> 00:13:02,289
y he llegado a este punto de aquí

147
00:13:02,289 --> 00:13:04,070
entonces mi vector

148
00:13:04,070 --> 00:13:06,669
es el que está representado con la línea negra

149
00:13:06,669 --> 00:13:20,929
¿Vale? Nosotros obviamente en un papel y en ejercicios y eso no vamos a poder hacer este tipo de dibujos, pero sí que es muy útil que veamos, que nos hagamos una idea en el espacio a qué se refieren.

150
00:13:21,870 --> 00:13:29,309
¿Vale? Pregunto, ¿cómo calcularíamos cuánto vale el valor de este vector, el módulo de este vector?

151
00:13:30,029 --> 00:13:32,529
Ahí tenemos este...

152
00:13:32,529 --> 00:13:38,250
Es exactamente igual. La raíz cuadrada de 2 al cuadrado más 3 al cuadrado más 3 al cuadrado.

153
00:13:39,490 --> 00:13:43,730
¿Vale? O sea, que estemos en el espacio, lo único que añadimos es una coordenada más.

154
00:13:44,610 --> 00:13:49,549
Pero todo lo que veamos para el plano lo podemos llevar al espacio.

155
00:13:50,649 --> 00:13:50,950
¿De acuerdo?

156
00:13:50,950 --> 00:14:00,909
Bueno, vamos a intentar trabajar en el plano, pero que en el espacio sería exactamente igual.

157
00:14:00,909 --> 00:14:02,830
lo que pasa es que con una coordenada más

158
00:14:02,830 --> 00:14:03,590
¿de acuerdo?

159
00:14:05,649 --> 00:14:06,509
bueno, pues vuelvo

160
00:14:06,509 --> 00:14:08,929
a este de aquí

161
00:14:08,929 --> 00:14:11,330
y vamos a ver

162
00:14:11,330 --> 00:14:11,710
que

163
00:14:11,710 --> 00:14:15,110
más cosas que tenemos que saber

164
00:14:15,110 --> 00:14:16,409
de los vectores

165
00:14:16,409 --> 00:14:19,269
vuelvo a

166
00:14:19,269 --> 00:14:20,389
al plano

167
00:14:20,389 --> 00:14:23,049
que es mucho más sencillo

168
00:14:23,049 --> 00:14:24,110
y luego

169
00:14:24,110 --> 00:14:26,710
lo extendemos al espacio

170
00:14:26,710 --> 00:14:29,129
hablando de forma

171
00:14:29,129 --> 00:14:34,590
genérica, ya os digo, un vector, le llamamos, con la V de vector le ponemos una flechita

172
00:14:34,590 --> 00:14:41,970
encima y le damos dos coordenadas. Esas dos coordenadas, para hablar así en general,

173
00:14:42,110 --> 00:14:49,029
las vamos a llamar V1 y V2. Vuelvo a dibujar aquí, aunque sea un poco una chapuza, los

174
00:14:49,029 --> 00:14:59,259
ejes de coordenadas. Las flechas indican las direcciones positivas, nada más. Y me voy

175
00:14:59,259 --> 00:15:11,269
dibujar aquí un vector, el vector v. Bueno, pues entonces, v1 es esto, esta distancia,

176
00:15:11,490 --> 00:15:19,710
lo que he ido por el eje de las x. ¿Vale? La primera de las coordenadas es, si empiezo

177
00:15:19,710 --> 00:15:26,230
aquí en el punto 0, 0, lo que me desplazo por el eje x, hacia la derecha, y si tuviera

178
00:15:26,230 --> 00:15:34,230
un signo menos, iría hacia la izquierda. Y v2 es lo que me desplazo por el eje vertical.

179
00:15:38,340 --> 00:15:46,539
Esto sería v2. Entonces, si voy v1 para la derecha y v2 para arriba, llego aquí, a este

180
00:15:46,539 --> 00:15:52,460
punto. Y entonces mi vector es la línea que va del origen al punto a donde he llegado.

181
00:15:52,460 --> 00:16:05,539
¿Vale? Entonces, hemos dicho, el módulo del vector se representa, metiéndolo así entre barras de valor absoluto

182
00:16:05,539 --> 00:16:10,220
Algunas veces lo veréis como dobles, pero es lo mismo, nos referimos a la misma cosa

183
00:16:10,220 --> 00:16:15,460
Y es la raíz cuadrada de v1 al cuadrado más v2 al cuadrado

184
00:16:15,460 --> 00:16:19,779
Porque esto no deja de ser un triángulo rectángulo

185
00:16:19,779 --> 00:16:40,779
Y este lado de aquí también es V2. Entonces conozco cateto, cateto y el vector, el V, es la hipotenusa. V1, V2 son los catetos y V es la hipotenusa. Por eso el módulo lo calculo como raíz cuadrada de V1 al cuadrado más V2 al cuadrado.

186
00:16:40,779 --> 00:17:05,960
Más cosas. La pendiente de la recta donde está contenido el vector me puede servir para saber la dirección.

187
00:17:05,960 --> 00:17:15,910
Entonces la pendiente de una recta siempre se suele llamar M

188
00:17:15,910 --> 00:17:24,299
Cuando veíamos funciones decíamos las rectas son de este tipo

189
00:17:24,299 --> 00:17:27,440
M, X, más N

190
00:17:27,440 --> 00:17:30,980
Esto es una línea recta

191
00:17:30,980 --> 00:17:35,400
A N le llamamos ordenada en el origen y M en la pendiente

192
00:17:35,400 --> 00:17:38,519
Que me da una idea de si está inclinada hacia un lado o hacia el otro

193
00:17:38,519 --> 00:17:54,440
Si es muy grande la inclinación o no. Entonces, esta recta, las rectas son infinitas, es la que os estoy dibujando con puntos suspensivos, es la que me indica la dirección de este vector.

194
00:17:54,440 --> 00:18:08,259
Entonces, la dirección de este vector es su pendiente y la pendiente es siempre la V2 partido de la V1. O sea, lo que subo dividido por lo que avanzo.

195
00:18:09,480 --> 00:18:24,470
Cuando me dicen, uy, ¿qué cuesta más grande? Es de un 10%. Significa que subo 10 metros cuando avanzo 100, ¿vale? 10% de pendiente. Lo que subo entre lo que avanzo.

196
00:18:24,470 --> 00:18:53,710
Bueno, pues esto me lleva a una cosa que podría ser perfectamente una pregunta, un ejercicio, que sería, ¿cómo sé si dos vectores son paralelos?

197
00:18:54,769 --> 00:19:10,589
O sea, a mí me dan este vector, y me voy a dibujar otro por aquí de color verde cualquiera. Este vector, más o menos se ve que son paralelos.

198
00:19:10,589 --> 00:19:24,450
Pero, ¿cómo, matemáticamente, cómo determino si son paralelos o no, dos vectores? Pues porque tienen que tener la misma dirección y entonces la misma dirección la tienen si tienen la misma pendiente.

199
00:19:25,910 --> 00:19:31,869
Luego, requisito para que dos vectores sean paralelos, que tengan la misma pendiente.

200
00:19:31,869 --> 00:19:56,750
Bien, hablando en general, si hemos puesto un vector v, vamos a llamar al otro w, y sus coordenadas van a ser w1 y w2.

201
00:19:56,750 --> 00:20:24,720
Bueno, pues V y W son paralelos si al hacer el cociente V2 partido por V1 me da lo mismo que al dividir V2 entre V1

202
00:20:24,720 --> 00:20:27,579
O sea, tienen la misma pendiente

203
00:20:27,579 --> 00:21:23,480
Vamos a poner un ejemplo, vamos a poner números para que se entienda un poquito mejor

204
00:21:23,480 --> 00:21:40,170
Vamos a suponer que v es el vector 2, 4 y w es el vector 1, 2.

205
00:21:45,000 --> 00:21:46,740
¿Pensáis que son paralelos?

206
00:21:58,660 --> 00:22:01,720
Hay que dividir 4 entre 2, ¿vale?

207
00:22:01,839 --> 00:22:03,720
Esta entre esta y me da 2.

208
00:22:04,039 --> 00:22:09,319
Y aquí dividimos 2 entre 1 y también me da 2, ¿vale?

209
00:22:09,880 --> 00:22:12,579
Luego, son paralelos entre ellos.

210
00:22:12,579 --> 00:22:15,480
Dicho de otra manera

211
00:22:15,480 --> 00:22:17,480
V

212
00:22:17,480 --> 00:22:21,400
Es 2

213
00:22:21,400 --> 00:22:24,480
Por W

214
00:22:24,480 --> 00:22:25,880
Si os fijáis

215
00:22:25,880 --> 00:22:28,140
He multiplicado a este número por 2

216
00:22:28,140 --> 00:22:28,799
Y a este también

217
00:22:28,799 --> 00:22:32,640
Y así me sale el 2, 4

218
00:22:32,640 --> 00:22:34,359
O sea, dos vectores

219
00:22:34,359 --> 00:22:36,759
Son paralelos si uno de ellos

220
00:22:36,759 --> 00:22:38,779
Es el producto

221
00:22:38,779 --> 00:22:40,440
Del otro por un número

222
00:22:40,440 --> 00:22:47,859
Venga, Miguel, dime otro vector paralelo a estos

223
00:22:47,859 --> 00:22:49,000
Lo vamos a llamar U

224
00:22:49,000 --> 00:22:51,299
Inventátenlo

225
00:22:51,299 --> 00:22:52,039
3, 4

226
00:22:52,039 --> 00:22:54,279
3

227
00:22:54,279 --> 00:22:57,950
Piénsalo bien

228
00:22:57,950 --> 00:23:01,430
Si coges este, por ejemplo, y le multiplicas por 3

229
00:23:01,430 --> 00:23:02,150
¿Cuánto te daría?

230
00:23:02,990 --> 00:23:03,509
3

231
00:23:03,509 --> 00:23:07,210
3 por 1, 3

232
00:23:07,210 --> 00:23:08,049
¿Y 3 por 2?

233
00:23:09,529 --> 00:23:10,049
6

234
00:23:10,049 --> 00:23:13,569
Este también sería paralelo a los otros

235
00:23:13,569 --> 00:23:14,950
¿No lo pillas?

236
00:23:16,069 --> 00:23:29,359
Multiplica al v, vamos a llamar a este, al vector, este, este es este caso concreto.

237
00:23:29,359 --> 00:23:42,420
Digo que si te fijas, si coges el vector w y lo multiplicas por 2, hay que multiplicar a la primera coordenada por 2, y 2 por 1 es 2, y a la segunda coordenada por 2, 2 por 2 es 4.

238
00:23:42,420 --> 00:23:50,420
Entonces podemos decir que v, en este ejemplo concreto, v es 2 por w

239
00:23:50,420 --> 00:23:55,059
Y digo, vamos a inventarnos otro

240
00:23:55,059 --> 00:23:58,940
Pues hemos cogido el w, pero en este caso lo he multiplicado por 3

241
00:23:58,940 --> 00:24:03,920
¿Y qué me queda? 3 por 1 es 3 y 3 por 2 es 6

242
00:24:03,920 --> 00:24:08,740
¿Vale? Entonces u es 3 por w

243
00:24:08,740 --> 00:24:23,039
Venga, otro, vamos a llamarle a este el vector j, por ponerle una letra a cualquiera.

244
00:24:24,259 --> 00:24:26,559
Venga Sandra, invéntatelo tú, que sea paralelo.

245
00:24:29,710 --> 00:24:30,630
4, 8.

246
00:24:31,009 --> 00:24:32,750
4, 8, muy bien.

247
00:24:35,230 --> 00:24:45,289
Entonces, para comprobar si dos vectores son paralelos, podemos comprobar que si dividimos la segunda coordenada entre la primera, nos da el mismo valor.

248
00:24:45,490 --> 00:24:53,089
en los vectores. O si uno es múltiplo de otro. Si sale de multiplicar al otro por un

249
00:24:53,089 --> 00:25:07,200
número cualquiera. Y los vectores son perpendiculares, esto es muy curioso y nos lo vamos a aprender

250
00:25:07,200 --> 00:25:12,519
también. ¿Cómo sabemos? Bueno, cómo a partir de un vector dado vamos a calcular

251
00:25:12,519 --> 00:25:37,230
un vector perpendicular a él. Entonces vamos a escribir, dado un vector v, que es v1, v2,

252
00:25:44,069 --> 00:26:06,380
obtenemos un vector perpendicular cambiando las coordenadas, cambiando el orden de las

253
00:26:06,380 --> 00:26:47,859
coordenadas e invirtiendo una de ellas. Entonces, por ejemplo, el que teníamos antes, v, 2,

254
00:26:47,859 --> 00:27:03,920
4, conseguimos un vector perpendicular, que lo vamos a llamar w, si hacemos 4, menos 2,

255
00:27:03,920 --> 00:27:14,059
Por ejemplo, o un vector u que fuera menos 4, 2.

256
00:27:35,710 --> 00:27:36,930
Vamos a hacer un ejercicio.

257
00:27:48,900 --> 00:28:09,630
Dado el vector menos 3, obtener un vector paralelo y uno perpendicular al mismo.

258
00:28:32,579 --> 00:28:33,539
Lo hacéis vosotros, ¿eh?

259
00:28:34,000 --> 00:29:16,140
Venga, amiga, el uno paralelo.

260
00:29:30,220 --> 00:29:33,339
2, menos 6.

261
00:29:33,339 --> 00:30:00,690
A ver si me lo dibujo. Dos. Son paralelos. De hecho están en la misma. Como el origen es el 0,0, el negro y el azul son paralelos.

262
00:30:02,049 --> 00:30:12,549
Sandra, una perpendicular. Recuerda, cambiamos de orden las coordenadas e invertimos el signo de una de ellas.

263
00:30:12,549 --> 00:30:16,329
menos 3, menos 1

264
00:30:16,329 --> 00:30:19,730
entonces me dejo aquí

265
00:30:19,730 --> 00:30:22,150
1, 2, 3

266
00:30:22,150 --> 00:30:27,359
este vector

267
00:30:27,359 --> 00:30:33,730
que estoy dibujando en estos momentos

268
00:30:33,730 --> 00:30:34,990
pues es

269
00:30:34,990 --> 00:30:36,769
forma un ángulo de 90 grados

270
00:30:36,769 --> 00:30:38,990
es perpendicular al V

271
00:30:38,990 --> 00:30:43,420
este es el U

272
00:30:43,420 --> 00:30:45,039
y este es el V2

273
00:30:45,039 --> 00:30:47,839
bueno

274
00:30:47,839 --> 00:31:03,019
vamos a ver

275
00:31:03,019 --> 00:31:05,079
operaciones con vectores

276
00:31:05,079 --> 00:31:57,549
Lo más facilito. A ver, un punto más un vector es lo primero de todo lo que os conté, da lugar a un punto.

277
00:32:00,819 --> 00:32:14,119
O sea, si al principio lo que tengo es un punto y me digo, venga, a este punto le sumo un vector, ¿vale? El vector v.

278
00:32:14,119 --> 00:32:22,480
¿Cuál es el resultado? Un desplazamiento. Este punto se me ha venido aquí y el resultado es el punto P'.

279
00:32:22,480 --> 00:32:31,819
Si a un punto le sumo un vector, me da el punto en otro sitio. Pero es un punto. En fin, ya acabo el resultado.

280
00:32:31,819 --> 00:33:16,150
Si a un vector le sumo otro vector, me da un vector. Por ejemplo, si a este vector, voy a sumarle uno paralelo para no complicar la cosa, le sumo este, pues el resultado es un vector dos veces más largo.

281
00:33:16,150 --> 00:33:20,190
si tienen distinta dirección

282
00:33:20,190 --> 00:33:21,329
tengo que andar haciendo

283
00:33:21,329 --> 00:33:23,549
la suma de las coordenadas

284
00:33:23,549 --> 00:33:26,009
pero bueno, en principio nos quedamos

285
00:33:26,009 --> 00:33:27,109
con esta idea

286
00:33:27,109 --> 00:33:30,289
y si multiplico

287
00:33:30,289 --> 00:33:31,890
un número

288
00:33:31,890 --> 00:33:34,049
vamos a empezar a llamarle

289
00:33:34,049 --> 00:33:34,990
escalar

290
00:33:34,990 --> 00:33:37,609
un escalar es un número

291
00:33:37,609 --> 00:33:39,970
un número real

292
00:33:39,970 --> 00:33:41,890
un número perteneciente a R

293
00:33:41,890 --> 00:33:44,690
entonces si multiplico

294
00:33:44,690 --> 00:33:45,750
un escalar

295
00:33:45,750 --> 00:33:46,630
un número

296
00:33:46,630 --> 00:34:11,329
Por un vector, el resultado es un vector paralelo, que es lo que veíamos antes. Es el requisito para que dos vectores fueran paralelos.

297
00:34:11,329 --> 00:34:31,579
Ahora, viene la operación que vamos a ver hoy, más importante, que va a dar lugar a hacer ejercicios y eso, se llama, voy a escribir con mayúsculas, se llama producto escalar.

298
00:34:32,320 --> 00:34:53,079
El producto escalar es el producto de un vector por otro vector y es obligatorio representarlo con un puntito, aquí en medio.

299
00:34:54,260 --> 00:35:03,619
No se puede poner una X bajo ningún concepto porque entonces no es el producto escalar, es otra cosa que pasa con los vectores que se llama producto vectorial.

300
00:35:04,440 --> 00:35:31,559
El producto escalar de dos vectores es un número y se representa así, con un puntito entre el símbolo de los dos vectores.

301
00:35:31,559 --> 00:35:50,340
Bueno, pues el producto escalar de dos vectores es el módulo de un vector, o sea, su valor.

302
00:35:50,340 --> 00:36:02,340
El módulo del otro vector multiplicado por el coseno del ángulo que forman.

303
00:36:02,340 --> 00:36:22,949
forman. Pongo coseno de alfa siendo alfa el ángulo entre v y w. Otra formulita que hay

304
00:36:22,949 --> 00:37:28,480
que aprender. Para poder hacer los problemas, si recordáis, las coordenadas de un vector

305
00:37:28,480 --> 00:37:40,969
eran V1, V2. Entonces en caso del W las vamos a llamar V1 y V2. Bueno, pues el número que

306
00:37:40,969 --> 00:37:49,449
nos resulta del producto escalar lo podemos expresar así también. Multiplicamos la primera

307
00:37:49,449 --> 00:37:59,429
coordenada de los dos y le sumamos el producto de las segundas coordenadas. Ambas operaciones

308
00:38:00,429 --> 00:38:08,679
nos dan ese número que es el resultado del producto escalar.

309
00:38:09,579 --> 00:38:13,500
Cuando veáis el producto de dos vectores, no es un vector, es un número.

310
00:38:17,019 --> 00:38:20,960
Y lo podemos calcular según nos interese, de una forma o de la otra,

311
00:38:21,300 --> 00:38:24,659
y en los problemas a veces va a ser necesario utilizar las dos.

312
00:38:24,659 --> 00:39:34,239
El ejercicio pequeño. El producto escalar y el ángulo formado. Vectores u, 0, 2 y v, 1, menos 3.

313
00:39:34,239 --> 00:40:07,670
Bueno, pues, u por v, esto no es difícil, lo único que es, yo entiendo que hay que acostumbrarse a que es todo el vector y que tenga una flecha y que sea una dirección, un sentido, un módulo.

314
00:40:07,670 --> 00:40:12,690
U por V, lo primero que vamos a hacer es multiplicar las coordenadas

315
00:40:12,690 --> 00:40:19,750
La primera coordenada de uno y del otro, más la segunda coordenada de uno y del otro

316
00:40:19,750 --> 00:40:30,409
Entonces, 0 por 1 es 0, y más 2 por menos 3 es menos 6

317
00:40:30,409 --> 00:40:40,139
Esto se expresa en valor absoluto

318
00:40:40,139 --> 00:40:49,239
Menos 6 no tiene sentido que sea la longitud de un vector

319
00:40:49,239 --> 00:40:52,119
Entonces es el valor absoluto de esto

320
00:40:52,119 --> 00:40:58,500
Va a ser 6 unidades, si no me hablan de centímetros, ni de metros, ni nada de eso

321
00:40:58,500 --> 00:41:02,320
Venga, y ahora me dicen que qué ángulo forman

322
00:41:02,320 --> 00:41:06,619
Yo me imagino que el vector 0, 1 será una cosa así

323
00:41:06,619 --> 00:41:11,099
Y el vector 2, menos 3 a lo mejor es una cosa así

324
00:41:11,099 --> 00:41:21,800
Entonces, ¿qué ángulo es este? Este es el vector u y este es el vector v. El valor del resultado ya lo sé, menos 6.

325
00:41:21,800 --> 00:41:41,739
Y ahora utilizo la otra operación, que es que u por v es el módulo de u por el módulo de v por el coseno del ángulo que forman.

326
00:41:41,739 --> 00:41:46,579
Entonces, ¿cuál es el módulo de u?

327
00:41:47,699 --> 00:41:53,639
Es la raíz cuadrada de 0 al cuadrado más 2 al cuadrado

328
00:41:53,639 --> 00:42:01,889
Que es la raíz cuadrada de 2 al cuadrado que es 4, raíz de 4, o sea 2

329
00:42:01,889 --> 00:42:05,530
¿Y cuál es el módulo de v?

330
00:42:05,530 --> 00:42:15,679
Es la raíz cuadrada de 1 al cuadrado más menos 3 al cuadrado

331
00:42:15,679 --> 00:42:21,440
o sea, es la raíz cuadrada de 1 más 9, la raíz cuadrada de 10

332
00:42:21,440 --> 00:42:30,480
3 con 16

333
00:42:30,480 --> 00:42:40,280
bueno, pues entonces, del producto vectorial hecho así, multiplicando coordenadas

334
00:42:40,280 --> 00:42:42,559
he sacado que era menos 6

335
00:42:42,559 --> 00:42:52,059
y del producto vectorial expresado de la otra manera, pues yo sé que es el módulo de u, 2

336
00:42:52,059 --> 00:43:00,480
el módulo de v, 3,16, por el coseno del ángulo que forma.

337
00:43:13,690 --> 00:43:16,829
O sea, como tengo dos expresiones para el producto vectorial,

338
00:43:16,969 --> 00:43:19,710
pues utilizo la una o la otra según me convenga.

339
00:43:21,250 --> 00:43:25,570
En este caso he utilizado la primera para saber cuál es el valor del producto vectorial.

340
00:43:26,469 --> 00:43:31,809
Y ahora utilizo la segunda para ver cuánto vale el coseno.

341
00:43:31,809 --> 00:43:41,550
Entonces es menos 6 entre 2 por 3 con 16, es el coseno de alfa.

342
00:43:43,190 --> 00:44:02,750
Entonces, esa operación queda 0, 9, 4, 9, no sé qué abajo, es el total.

343
00:44:02,889 --> 00:44:08,789
6 entre eso es menos 0, 9, 4, 9.

344
00:44:08,789 --> 00:44:24,840
Y si a eso le hago el arcoseno, o sea, la inversa del coseno, me da que el ángulo es 161,7.

345
00:44:26,179 --> 00:44:40,659
Entonces, alfa es el arco coseno de menos 0,949, hecho con la calculadora.

346
00:44:45,159 --> 00:44:49,420
Y es redondeando 161,7 grados.