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Muy buenas. Hoy vamos a montar juntos un kit de herramientas. Pero no uno cualquiera, ¿eh?

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00:00:05,900 --> 00:00:10,980
Va a ser un kit lleno de, bueno, de llaves maestras para descifrar todo tipo de puzles

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00:00:10,980 --> 00:00:15,919
matemáticos. Esas cosas que vemos por todas partes, en la ciencia, en la ingeniería,

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00:00:16,359 --> 00:00:19,199
incluso en el día a día. Sí, hablo de las ecuaciones.

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00:00:19,660 --> 00:00:23,899
A ver, ¿qué me dicen de esto? Impresiona un poco a primera vista, ¿verdad? Pues que

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00:00:23,899 --> 00:00:28,679
no nos engañe la apariencia. En el fondo, no son más que acertijos, puzles que están

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00:00:28,679 --> 00:00:33,359
ahí esperando a que alguien los resuelva. Y eso es justo lo que vamos a hacer. En los próximos

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00:00:33,359 --> 00:00:38,740
minutos vamos a descubrir juntos las estrategias para abrir estas cerraduras matemáticas, por muy

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00:00:38,740 --> 00:00:44,299
complejas que parezcan. Vale, pues vamos al lío. Empezamos a desvelar esos secretos. ¿Por dónde?

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00:00:44,640 --> 00:00:50,340
Pues por lo más fundamental, el verdadero punto de partida de todo esto, el arte de encontrar la

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X. Aquí tenemos la base, el cimiento de todo, la ecuación de primer grado. La forma general es esa

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00:00:56,219 --> 00:01:02,420
que vemos, ax más b igual a cero. ¿Y el objetivo? Pues es súper directo, encontrar ese único valor

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00:01:02,420 --> 00:01:07,439
de x que hace que la igualdad sea cierta, que la balanza, por así decirlo, esté perfectamente

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00:01:07,439 --> 00:01:12,780
equilibrada. Y para conseguir ese equilibrio, aquí tenemos un plan de ataque que la verdad es que es

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00:01:12,780 --> 00:01:18,420
infalible. Son tres pasitos. Primero, si hay denominadores, fuera, hay que despejar el campo

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00:01:18,420 --> 00:01:23,620
de juego. Segundo, los paréntesis, adiós, simplificamos. Y tercero, que este es el movimiento

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00:01:23,620 --> 00:01:29,340
clave, agrupamos todo lo que lleva a X a un lado, los números al otro y listo, ya se lo queda despejar

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00:01:29,340 --> 00:01:34,900
nuestra incógnita. Es un proceso súper metódico que, oye, siempre funciona. Vale, esto está genial

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00:01:34,900 --> 00:01:40,400
para las ecuaciones de primer grado, pero ¿qué pasa cuando la X está elevada al cuadrado? Ahí ya no

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00:01:40,400 --> 00:01:44,920
podemos despejarla tan fácilmente. Para eso necesitamos añadir una nueva herramienta a

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nuestro kit y es una de las grandes, la llave maestra para las ecuaciones cuadráticas. Y aquí

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la tenemos, la famosa fórmula cuadrática. Ojo que esta es una de las herramientas más potentes de

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00:01:55,340 --> 00:01:59,840
todo nuestro arsenal. Sirve para cualquier ecuación de segundo grado. Piensan en las

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cosas que modelan estas ecuaciones, desde la trayectoria de un proyectil hasta los beneficios

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de una empresa. Pues bien, esta fórmula nos da la solución, o las soluciones. Es sin duda la

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00:02:08,800 --> 00:02:14,000
llave universal. Pero ojo, que tengamos una herramienta así de potente no significa que

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00:02:14,000 --> 00:02:19,020
haya que usarla siempre. A veces no hace falta sacar la artillería pesada. Si a la ecuación

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00:02:19,020 --> 00:02:24,199
le falta el término b o el c o sea si son incompletas podemos tomar atajos que la b es

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00:02:24,199 --> 00:02:29,259
cero pues despejamos x al cuadrado directamente que la c es cero sacamos factor común x es como

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00:02:29,259 --> 00:02:34,379
saber cuándo usar un destornillador de precisión en vez de un taladro percutor eso es pensar con

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00:02:34,379 --> 00:02:39,639
estrategia de eso van las mates al final y aquí viene un truco que es bueno es una pasada si

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00:02:39,639 --> 00:02:44,979
imaginan poder saber cuántas soluciones va a tener una ecuación sin tener que resolverla entera pues

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00:02:44,979 --> 00:02:49,860
se puede. La clave está en el discriminante. Ese pequeño cálculo, b al cuadrado menos 4ac,

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00:02:50,280 --> 00:02:55,159
es como una bola de cristal para nuestra ecuación. Si sale positivo, pum, dos soluciones reales. Si

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sale cero, solo una. Y si sale negativo, pues no hay soluciones en los números reales. Es como

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00:02:59,960 --> 00:03:04,919
echar un vistazo rápido al futuro. Genial. Bueno, ya controlamos las lineales y las

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00:03:04,919 --> 00:03:09,139
cuadráticas. Es hora de subir de nivel. Ahora vamos a ver la estrategia maestra,

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00:03:09,360 --> 00:03:13,740
el truco del almendruco, para enfrentarse a esas ecuaciones que a primera vista parecen

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00:03:13,740 --> 00:03:20,680
monstruosas. El secreto, transformarlas en algo que ya conocemos. Aquí está la idea clave de esta

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00:03:20,680 --> 00:03:26,580
parte. No se trata de aprenderse de memoria docenas de métodos nuevos. ¡Qué va! Se trata de dominar

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00:03:26,580 --> 00:03:33,340
un único concepto, la transformación. La idea es que toda ecuación compleja es en realidad una más

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00:03:33,340 --> 00:03:39,080
simple que va disfrazada. Y nuestro trabajo como solucionadores de puzles es precisamente quitarle

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00:03:39,080 --> 00:03:45,520
esa máscara. Miren esto, por ejemplo, una ecuación bicuadrada. Con ese x a la cuarta, la verdad es que

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00:03:45,520 --> 00:03:51,080
parece un hueso duro de roer. Bueno, pues este es exactamente el tipo de disfraz del que estábamos

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00:03:51,080 --> 00:03:57,919
hablando. Pero, ¿y si le damos un pequeño giro? Aquí viene el truco que es súper ingenioso. Vamos

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00:03:57,919 --> 00:04:04,300
a usar un alias. Vamos a decir que una nueva variable, a la que llamaremos z, es igual a x

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00:04:04,300 --> 00:04:09,639
al cuadrado. Un simple cambio de nombre. ¡Y magia! Con esa sustitución tan tonta,

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00:04:10,020 --> 00:04:14,439
nuestra ecuación de cuarto grado, que parecía súper intimidante, se transforma en una vieja

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00:04:14,439 --> 00:04:19,920
amiga. Una ecuación cuadrática normal y corriente que ya sabemos resolver de sobra. Le hemos quitado

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00:04:19,920 --> 00:04:24,939
el disfraz. Y claro, una vez que encontremos el valor de z, solo tenemos que deshacer el cambio

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00:04:24,939 --> 00:04:31,000
para hallar la x original. Es brillante. Y lo mejor es que esta idea tan brillante no sirve

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00:04:31,000 --> 00:04:36,019
solo para las bicuadradas. ¡Qué va! También funciona de maravilla para algunas ecuaciones

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00:04:36,019 --> 00:04:41,000
exponenciales. Ya saben, las que describen cosas como el crecimiento de poblaciones o la

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00:04:41,000 --> 00:04:47,120
desintegración radiactiva. Hacemos un cambio de variable parecido, como z igual a a elevado a x,

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00:04:47,399 --> 00:04:52,439
y de repente las convertimos en problemas que ya sabemos cómo atacar. Es una estrategia súper,

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00:04:52,639 --> 00:04:57,779
súper versátil. Vale, siguiente estrategia en nuestro kit. Esta se centra en la limpieza. Sí,

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00:04:57,779 --> 00:05:01,639
sí como lo oyan. Se trata de arremangarse y quitar de en medio todo lo que estorba,

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00:05:01,819 --> 00:05:05,500
fracciones, raíces, para poder llegar al corazón del problema sin obstáculos.

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00:05:06,040 --> 00:05:10,939
Empezamos por las ecuaciones racionales. Estas son las que tienen la X metida en el denominador.

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00:05:11,399 --> 00:05:16,259
La clave, como se pueden imaginar, es quitar esos denominadores para que todo sea más sencillo. Pero

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00:05:16,259 --> 00:05:22,300
mucho cuidado, porque este proceso a veces crea lo que podríamos llamar soluciones fantasma. Soluciones

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00:05:22,300 --> 00:05:27,100
que parecen correctas en la ecuación simplificada, pero que en la original nos harían dividir por

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00:05:27,100 --> 00:05:32,300
cero. Y eso en matemáticas está prohibidísimo. Por eso es vital, pero vital, comprobar siempre

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00:05:32,300 --> 00:05:37,600
el resultado final. Vamos con otro caso. ¿Qué pasa si la X está atrapada, prisionera, dentro

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00:05:37,600 --> 00:05:43,300
de una raíz cuadrada? Hablamos de las ecuaciones irracionales. Pues la estrategia es parecida. Hay

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00:05:43,300 --> 00:05:49,100
que liberarla. Primero, dejamos la raíz sola a un lado de la ecuación. Y luego, ¡zas!, el movimiento

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00:05:49,100 --> 00:05:54,399
clave. Elevamos los dos lados al cuadrado. La raíz se esfuma y nos queda un problema muchísimo más

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00:05:54,399 --> 00:06:00,420
fácil de manejar. Pero un momento, alto ahí. Al igual que pasaba antes, elevar al cuadrado a veces

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00:06:00,420 --> 00:06:05,339
también crea soluciones impostoras. Así que la regla de oro, el mandamiento número uno que no

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00:06:05,339 --> 00:06:10,279
nos podemos saltar jamás en estos casos es comprobar siempre las soluciones en la ecuación

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00:06:10,279 --> 00:06:15,680
original, la del principio de todo. Y este principio de deshacer o limpiar también se

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00:06:15,680 --> 00:06:20,199
aplica a las ecuaciones con logaritmos. Aquí el objetivo es usar las propiedades de los logaritmos

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00:06:20,199 --> 00:06:24,920
para juntar términos, para simplificar, hasta que podamos quitar la palabra logaritmo de la

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00:06:24,920 --> 00:06:29,879
ecuación y nos quede algo mucho más manejable. ¿Y como ya se estarán imaginando? Pues sí,

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00:06:30,160 --> 00:06:35,319
es obligatorio comprobar que las soluciones son válidas. Los logaritmos tienen sus propias normas.

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00:06:35,620 --> 00:06:39,879
Y la más importante es que no existen los logaritmos de números negativos ni de celo.

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00:06:39,920 --> 00:06:45,079
Así que, una vez más, la comprobación final no es opcional. Es absolutamente crucial para

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00:06:45,079 --> 00:06:48,519
asegurarnos de que la solución que hemos encontrado tiene sentido de verdad.

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00:06:48,519 --> 00:07:10,860
Bueno, hasta ahora hemos lidiado con ecuaciones que tenían una sola incógnita. Pero llegamos al último nivel de este recorrido. ¿Qué pasa cuando tenemos varias ecuaciones y varias incógnitas y todas están relacionadas? Pues que entramos en el mundo de los sistemas de ecuaciones. Esto es súper importante en campos como la economía, la logística, las redes de tráfico… ¡Vamos allá!

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00:07:10,860 --> 00:07:15,459
A la hora de resolver un sistema de ecuaciones lineales nos podemos encontrar con tres finales

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00:07:15,459 --> 00:07:20,980
posibles. Uno, que haya una única solución. A esto se le llama compatible determinado. Dos,

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00:07:21,220 --> 00:07:26,699
que haya infinitas soluciones y sería compatible indeterminado. Y tres, que no haya ninguna solución

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00:07:26,699 --> 00:07:32,500
y entonces es incompatible. Y esto, que puede sonar un poco abstracto, se ve de maravilla con

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00:07:32,500 --> 00:07:38,899
un simple gráfico. Si pensamos que cada ecuación es una recta, la cosa queda clarísima. Si las

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00:07:38,899 --> 00:07:44,519
rectas se cortan en un punto, esa es la solución. Si las dos rectas son en realidad la misma, una

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00:07:44,519 --> 00:07:50,259
encima de la otra, pues claro, tienen infinitos puntos en común. Y si son rectas paralelas que

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00:07:50,259 --> 00:07:55,699
no se tocan nunca, pues no hay solución. La geometría a veces lo hace todo mucho más fácil

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00:07:55,699 --> 00:08:00,540
de entender. Y para resolver estos sistemas sin tener que dibujar, tenemos tres métodos principales,

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00:08:00,879 --> 00:08:05,300
las tres últimas herramientas de nuestro kit. Está el método de reducción, que va de eliminar

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00:08:05,300 --> 00:08:10,439
una variable sumando o restando las ecuaciones. Luego el de sustitución. Despejamos una incógnita

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00:08:10,439 --> 00:08:15,600
en una ecuación y la sustituimos en la otra. Y por último, el de igualación, donde despejamos

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00:08:15,600 --> 00:08:20,139
la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualamos los resultados. Al final, son tres

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00:08:20,139 --> 00:08:26,040
caminos distintos que nos llevan al mismo destino. Y ahí está. Un kit herramientas bastante completo,

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00:08:26,120 --> 00:08:30,720
¿no creen? Un juego de llaves maestras para resolver un montón de ecuaciones. Hemos pasado

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00:08:30,720 --> 00:08:35,580
del simple despeje a la transformación estratégica y a la resolución de sistemas. Ahora que el kit

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00:08:35,580 --> 00:08:40,580
está montado y las herramientas están listas, la pregunta que queda en el aire es ¿qué ceradura

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00:08:40,580 --> 00:08:42,480
matemática se animarán a abrir ahora?