1 00:00:00,690 --> 00:00:06,469 Hola chicos, aquí tenemos delante un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas 2 00:00:06,469 --> 00:00:17,030 que tiene la peculiaridad de que, primero, que no son ecuaciones lineales. 3 00:00:17,170 --> 00:00:20,989 Bueno, la de abajo sí que lo es, es una ecuación lineal, le representa una recta. 4 00:00:21,510 --> 00:00:25,609 Y la de arriba no es lineal, es una ecuación cuadrática, ¿verdad? 5 00:00:25,629 --> 00:00:29,050 Porque tenemos x al cuadrado y entonces ya no podemos llamarla lineal. 6 00:00:29,050 --> 00:00:34,670 Además tiene la peculiaridad de que tenemos despejada la y en función de x en las dos ecuaciones 7 00:00:34,670 --> 00:00:39,149 Eso significa que lo estamos viendo desde el punto de vista de funciones 8 00:00:39,149 --> 00:00:41,850 Por eso lo estamos viendo en el tema de funciones 9 00:00:41,850 --> 00:00:45,649 Porque vamos a ver la intersección entre rectas y parábolas 10 00:00:45,649 --> 00:00:50,310 Como este ejemplo en el que tenemos arriba una ecuación con la x y la y 11 00:00:50,310 --> 00:00:53,929 Pero la y está despejada en función de x y abajo lo mismo 12 00:00:53,929 --> 00:01:01,969 siendo una parábola, como ya he dicho, una función cuadrática, un polinomio de grado 2 arriba y un polinomio de grado 1 abajo. 13 00:01:02,770 --> 00:01:08,609 Y como ya sabéis, pues estas dos funciones son respectivamente una parábola y una recta, ¿verdad? 14 00:01:08,609 --> 00:01:14,609 Bueno, pues vamos a resolver el sistema analíticamente. 15 00:01:16,049 --> 00:01:22,549 Inicialmente lo vamos a resolver, pues lo podemos resolver por el método de sustitución. 16 00:01:23,310 --> 00:01:34,629 Pero, como por defecto en general los sistemas no lineales, como es este, pues normalmente se resuelven por defecto, por método de sustitución. 17 00:01:35,409 --> 00:01:41,390 Lo cierto es que aquí, como las i están despejadas, tanto arriba como abajo, pues podemos hacer el método de igualación sin ningún problema. 18 00:01:41,390 --> 00:01:50,969 E incluso el método de reducción también se podría hacer, aunque en principio el método de reducción no es el que se aplica en general para sistemas no lineales. 19 00:01:50,969 --> 00:01:58,049 Depende un poco de cómo esté configurado. 20 00:01:58,510 --> 00:02:03,430 Para resolverlo lo que hacemos es igualar las dos expresiones que tenemos ahí. 21 00:02:04,150 --> 00:02:18,150 La expresión de 2x más 2 la igualamos a la expresión de menos x cuadrado más 3x más 4. 22 00:02:18,150 --> 00:02:29,650 Entonces, con esto, lo que estamos buscando son los puntos, ¿verdad?, que las x, ¿verdad?, que hacen que las y de las dos funciones sean iguales, ¿vale? 23 00:02:29,949 --> 00:02:45,090 Entonces, bueno, pues avanzamos aquí y lo que tenemos, pasando todo al lado izquierdo, es x cuadrado, las x con las x, ¿verdad?, y nos quedaría aquí un menos x y luego el 2 menos 4, pues tendríamos un menos 2 y esto igual a cero. 24 00:02:45,990 --> 00:02:54,509 Ya tenemos aquí una ecuación general de segundo grado a la que vamos a aplicar la fórmula, ¿verdad? 25 00:02:54,830 --> 00:02:59,669 Que ya todos conocemos, así que menos b sería 1, menos menos 1, ¿verdad? 26 00:03:00,409 --> 00:03:04,229 Más menos la raíz cuadrada de 1 al cuadrado menos 4 por a por c. 27 00:03:04,669 --> 00:03:11,930 1 al cuadrado sería 1 menos 4 por a por c, como c es negativo, pues al final va a ser positivo, 28 00:03:11,930 --> 00:03:17,750 y 4 por a, que es 1, y por c, que es menos 2, pues lo que os digo, le saldría más 8. 29 00:03:18,789 --> 00:03:27,370 Por tanto, lo voy a 2 por 1 abajo, y tenemos 1 más menos la raíz cuadrada de 9, que es 3, partido por 2. 30 00:03:29,050 --> 00:03:35,830 Con el más tenemos 4 medios, que es un 2, y con el menos tendríamos menos 2 partido por 2, que es menos 1. 31 00:03:35,830 --> 00:03:44,069 Por tanto, esta es la primera solución para la X y esta sería la segunda solución para la X. Vamos a tener dos soluciones. 32 00:03:44,810 --> 00:03:54,069 Fijaros que una recta y una parábola, si pensamos en la gráfica que luego vamos a hacer, pues una recta puede cortar a una parábola en dos sitios. 33 00:03:55,030 --> 00:04:00,930 Es fácil de imaginar. También podría cortarlo solo en un punto cuando la recta sea justo tangente a la parábola 34 00:04:00,930 --> 00:04:08,310 o puede incluso no cortarse con ella porque esté por fuera, exterior a ella, a la parábola y entonces no tener solución en el sistema. 35 00:04:09,569 --> 00:04:21,250 Para cada x tenemos la y que corresponde, por eso lo hemos llamado sub 1 y sub 2, con esos subíndices, para simplemente controlar qué x va con qué y. 36 00:04:21,250 --> 00:04:25,149 entonces para la primera x que es la x sub 1 igual a 2 37 00:04:25,149 --> 00:04:28,490 vamos a sustituir en una de las dos ecuaciones 38 00:04:28,490 --> 00:04:31,209 o la de arriba o la de abajo daría exactamente lo mismo 39 00:04:31,209 --> 00:04:35,209 puesto que las hemos igualado y hemos obligado a que la x haga que valgan lo mismo 40 00:04:35,209 --> 00:04:39,449 entonces lo suyo es sustituir abajo que es más fácil 41 00:04:39,449 --> 00:04:42,829 y lo vamos a llamar x sub 1 también puesto que es la primera x 42 00:04:42,829 --> 00:04:46,149 sustituyendo donde está la x el 2 43 00:04:46,149 --> 00:04:51,550 este 2 pues lo sustituimos en la x de la ecuación 44 00:04:51,550 --> 00:04:56,470 más 2, nos saldría 4 más 2, 6 45 00:04:56,470 --> 00:05:03,250 por tanto el primer punto, solución, el primer par x y sería 2, 6 46 00:05:03,250 --> 00:05:04,730 bueno, el primero nos ha salido, ¿verdad? 47 00:05:05,829 --> 00:05:11,050 bien, vamos ahora entonces con la segunda y, la segunda x, perdón 48 00:05:11,050 --> 00:05:15,029 bueno, para hallar la segunda y, la y, 2 49 00:05:15,029 --> 00:05:22,790 viene dada a partir de x igual a menos 1. 50 00:05:23,009 --> 00:05:27,930 Así que y sub 2 va a ser sustituyendo también a la de abajo porque no tenemos ningún problema. 51 00:05:29,370 --> 00:05:34,290 Y recordad que siempre sustituimos las x cuando son negativas con paréntesis, muy importante, 52 00:05:34,430 --> 00:05:39,990 pues nos quedaría menos 2 más 2, que se anula, y nos queda un 0. 53 00:05:39,990 --> 00:05:51,930 Por tanto, el punto de intersección o el segundo par solución sería menos uno de x y cero de y. 54 00:05:52,990 --> 00:05:59,350 Así que ya tenemos aquí delante las dos soluciones posibles del sistema. 55 00:06:00,050 --> 00:06:07,790 Es decir, cuando la x vale dos, la y tiene que valer seis para que se cumplan las dos ecuaciones a la vez. 56 00:06:07,790 --> 00:06:13,769 Y cuando la x vale menos 1, la y debe valer 0 para que se cumplan también las dos ecuaciones a la vez. 57 00:06:14,449 --> 00:06:23,389 Bueno, ¿eso gráficamente qué significa? Pues significa que estos son los dos puntos en los que las dos gráficas intersectan, ¿no? 58 00:06:23,490 --> 00:06:27,509 Es decir, que tienen en común esos dos puntos. 59 00:06:28,189 --> 00:06:35,810 Por tanto, nos va a servir, por ejemplo, si los dibujamos directamente, pues nos van a servir para hacer ya la recta, por ejemplo, 60 00:06:35,810 --> 00:06:38,930 porque dados dos puntos, ¿verdad?, ya tenemos fijada la recta. 61 00:06:39,490 --> 00:06:42,810 Entonces, bueno, pues para hacer la recta podemos... 62 00:06:43,689 --> 00:06:45,329 Voy a utilizar este espacio que tenemos aquí 63 00:06:45,329 --> 00:06:49,189 para hacer la tabla de valores para la recta 64 00:06:49,189 --> 00:06:51,709 y podemos empezar a dibujar la recta directamente. 65 00:06:52,509 --> 00:06:56,910 La recta que es, como ya tenemos ahí arriba, 2x más 2. 66 00:06:58,910 --> 00:07:03,709 La x y la y, pues pueden ser, por ejemplo, 67 00:07:03,709 --> 00:07:08,790 el 0,2 que es el punto de corte con el eje Y 68 00:07:08,790 --> 00:07:10,589 el 0,2 69 00:07:10,589 --> 00:07:16,550 y otro punto puede ser uno de los dos que hemos calculado ahí 70 00:07:16,550 --> 00:07:19,529 o otro diferente, por ejemplo podemos sustituir el punto 71 00:07:19,529 --> 00:07:24,110 la X igual a menos 3 y nos quedaría 72 00:07:24,110 --> 00:07:31,019 2 por menos 3 más 2 que sería menos 6 más 2 73 00:07:31,019 --> 00:07:34,220 sería menos 4 74 00:07:34,220 --> 00:07:48,980 Y tenemos aquí otro punto de intersección que es el , bueno, pues estos dos puntos ya nos saldrían, pero también los puntos que hemos hallado antes en la resolución analítica. 75 00:07:49,800 --> 00:07:59,560 Vamos a dibujarlo, sería , estamos aquí, y el punto , que estaría aquí. 76 00:07:59,560 --> 00:08:05,699 Vale, uniendo estos dos puntos pues ya nos saldría la recta que tenemos 77 00:08:05,699 --> 00:08:25,129 Esto de un lado, vamos por aquí y esto es el otro 78 00:08:25,129 --> 00:08:27,189 Vale, pues ya tenemos ahí la recta dibujada 79 00:08:27,189 --> 00:08:36,429 Vale, para hacer la parábola pues tenemos que hacer los apartados importantes de la parábola 80 00:08:36,429 --> 00:08:40,789 Que son, pues ya sabéis, la orientación, el vértice, los puntos de corte con los ejes 81 00:08:40,789 --> 00:08:45,309 Y bueno, pues algún otro valor si lo necesitamos, ¿verdad? 82 00:08:45,429 --> 00:08:57,090 Entonces, voy a borrar esta parte de aquí para poder hacer todo lo que necesitamos de la parábola. 83 00:08:58,190 --> 00:09:09,029 Vale, pues para dibujar la parábola, vamos a hacerlo en azul, por ejemplo, o en verde, pues vamos a bajar aquí la parábola y la parábola que tenemos es esta, 84 00:09:09,029 --> 00:09:17,019 en la cual tenemos que a es igual a menos 1 85 00:09:17,019 --> 00:09:22,080 y como es menor que 0 la orientación es negativa 86 00:09:22,080 --> 00:09:26,179 es decir, hacia abajo, las ramas son hacia abajo 87 00:09:26,179 --> 00:09:29,139 y esto ya nos da una pista para dibujarla 88 00:09:29,139 --> 00:09:31,840 después también tenemos la x del vértice 89 00:09:31,840 --> 00:09:34,740 que ya la vemos todos, que es menos b partido 2a 90 00:09:34,740 --> 00:09:39,240 la primera parte de la fórmula de la ecuación de segundo grado 91 00:09:39,240 --> 00:09:59,340 y menos b pues sería menos 3 partido 2 por menos 1, así que sería menos 3 partido menos 2, 3 medios, que si ya sabéis que es 1,5 para dibujarlo de forma sencilla, pues 1,5. 92 00:09:59,340 --> 00:10:08,080 Vale, la y del vértice corresponderá a f de la x del vértice, es decir, f de tres medios. 93 00:10:08,759 --> 00:10:17,539 Vale, entonces ahora tenemos que hacer cuentas con fracciones, porque en la parábola debemos sustituir el tres medios en la x. 94 00:10:18,240 --> 00:10:24,379 Entonces, menos paréntesis tres medios al cuadrado, donde está la x ponemos tres medios, 95 00:10:24,379 --> 00:10:30,480 y ya daros cuenta que el menos está por fuera del cuadrado, no le afecta el cuadrado al menos de la fórmula, 96 00:10:31,379 --> 00:10:41,100 y luego más 3 por 3 medios más 4. 97 00:10:41,100 --> 00:10:55,970 Vale, entonces aquí tenemos menos 9 cuartos más 9 medios y más 4. 98 00:10:55,970 --> 00:11:20,500 Bueno, pues reduciendo a común denominador, nos quedaría, ¿verdad? A ver, voy a apartar aquí. Nos quedaría menos 9 cuartos más 18 cuartos y más 16 cuartos. 99 00:11:20,500 --> 00:11:33,059 Bueno, pues haciendo aquí las cuentas al final nos va a quedar un 25 cuartos positivo y eso pues haciendo también la división para ver por dónde anda pues nos daría un 6,25. 100 00:11:33,059 --> 00:11:55,129 Así que el vértice es el punto 3 medios 25 cuartos. Este sería el vértice que también es importante para dibujarlo. 101 00:11:55,129 --> 00:12:13,769 Bueno, si queréis lo podemos ir dibujando, y eso estaría, ya hemos dicho que es 1,5, 6,25, entonces 1,5 pues que estaría como por aquí, y 6,25 estaría como por aquí. 102 00:12:17,330 --> 00:12:24,029 Esa sería la X del vértice, que además sabemos que es un máximo, puesto que la parábola mira para abajo, ¿verdad? 103 00:12:24,029 --> 00:12:52,090 Bueno, los puntos de corte con los ejes, voy a borrar también para que podamos seguir, pues ya sabéis que lo que hacemos es la ecuación de segundo grado, cuando queremos el corte con el eje X, hacemos Y igual a cero, y entonces donde está la Y, ¿verdad?, pongo cero. 104 00:12:52,090 --> 00:12:55,110 y luego hacemos la ecuación de segundo grado 105 00:12:55,110 --> 00:12:59,830 que nos queda al poner la y igual a cero 106 00:12:59,830 --> 00:13:06,279 este sería el punto de corte con el eje x 107 00:13:06,279 --> 00:13:09,259 entonces tenemos x es igual a 108 00:13:09,259 --> 00:13:15,509 menos b más menos raíz cuadrada 109 00:13:15,509 --> 00:13:22,230 de 3 al cuadrado menos 4 por a por c 110 00:13:22,230 --> 00:13:23,549 que también va a salir más 111 00:13:23,549 --> 00:13:29,169 16 aquí partido 2 por menos 1 que es menos 2 112 00:13:29,169 --> 00:13:31,809 vale, tenemos un 113 00:13:31,809 --> 00:13:37,309 más menos 3 raíz cuadrada de 25 114 00:13:37,309 --> 00:13:41,629 que es un 5 partido por menos 2 115 00:13:41,629 --> 00:13:45,409 vale, cuando usamos el más 116 00:13:45,409 --> 00:13:48,809 pues tenemos menos 3 más 5 que serían 117 00:13:48,809 --> 00:13:52,590 menos más 2 perdón y con el menos 2 de abajo pues sería 118 00:13:52,590 --> 00:14:00,929 un menos 1 y luego con el menos tendríamos menos 3 menos 5 menos 8 partido menos 2 más 4 119 00:14:00,929 --> 00:14:15,750 o sea que los puntos de corte van a ser el menos 10 y el 40 también algo importante para dibujar 120 00:14:15,750 --> 00:14:24,169 la parábola. Podemos ya también irlo dibujando y tenemos en el menos uno cero, que además 121 00:14:24,169 --> 00:14:29,409 es el punto de corte, uno de los puntos de corte con la recta, y luego el cuatro cero 122 00:14:29,409 --> 00:14:37,600 que estaría como por aquí. Muy bien. Vale, puntos de corte con el eje y, que lo que hacemos 123 00:14:37,600 --> 00:14:44,950 es x igual a cero, es decir, vamos a hallar la y que corresponde a x igual a cero en nuestra 124 00:14:44,950 --> 00:14:54,070 parábola, ¿verdad? Entonces sustituimos aquí el 0, aquí y aquí, ¿verdad? Con lo cual nos quedaría 125 00:14:54,070 --> 00:15:04,450 directamente un 4. Este punto de corte es directamente el 04 con el eje Y. Otro punto 126 00:15:04,450 --> 00:15:14,629 interesante e importante para dibujar. Y este estaría como por, a ver, 04A. Bueno, pues ya nos 127 00:15:14,629 --> 00:15:18,470 podemos ir haciendo una idea de cómo es la parábola si este es el vértice, ¿verdad? 128 00:15:19,409 --> 00:15:28,269 Así que ya nos disponemos a dibujarla. Recordad que el vértice siempre es un punto, digamos, 129 00:15:28,409 --> 00:15:38,379 suave, no es un pico, y luego pues tenemos que ir dibujando. Bueno, la verdad es que 130 00:15:38,379 --> 00:15:47,210 aquí me es bastante más complicado, pero quedaría una cosa como esta. Y bueno, pues 131 00:15:47,210 --> 00:15:57,750 Podemos observar que los puntos de corte con los ejes han sido exactamente los que habíamos hallado antes, tanto este, ¿verdad?, como este. 132 00:15:59,190 --> 00:16:13,629 Este sería el 2, perdón, el menos 1, 0, ¿verdad?, el menos 1, 0, que es el que teníamos hallado analíticamente, y este sería el, si os fijáis, el 2, 6, que también teníamos hallado analíticamente. 133 00:16:13,629 --> 00:16:19,570 Tanto este como este, con lo cual ya está hecho gráficamente y analíticamente.