1
00:00:00,000 --> 00:00:09,880
Bueno, vamos a hacer ejercicio donde nos dicen que hallemos el circuncentro de un triángulo con los vértices A3-1, B4-2 y C9-3.

2
00:00:10,500 --> 00:00:16,460
Tenemos que recordar que el circuncentro es la intersección de las mediatrices.

3
00:00:17,460 --> 00:00:20,559
Intersección de las mediatrices. ¿Y qué es una mediatriz?

4
00:00:21,219 --> 00:00:28,640
Pues una mediatriz es la perpendicular a un segmento en el punto medio.

5
00:00:28,640 --> 00:00:39,039
Es decir, si yo tengo aquí el segmento AB, pues yo por el punto medio M trazo una perpendicular.

6
00:00:39,579 --> 00:00:40,479
Esa es la mediatriz.

7
00:00:41,140 --> 00:00:43,340
Entonces, en nuestro caso, pues tenemos un triángulo.

8
00:00:44,340 --> 00:00:48,880
Da igual cómo representarlo, pero interesa mucho nombrarlo.

9
00:00:49,039 --> 00:00:52,159
Esto es A, esto es B y yo decido que eso es C.

10
00:00:52,159 --> 00:01:12,359
¿Vale? Entonces, para hallar la mediatriz, pues yo tengo el triángulo ABC, tiene un segmento que es AB, que está sobre una recta, sobre esta recta de aquí. ¿De acuerdo? Una recta que contiene AB.

11
00:01:12,359 --> 00:01:23,000
Entonces, ¿cómo puedo hallar yo el vector director de esa recta? Pues haciendo A, B.

12
00:01:23,700 --> 00:01:34,439
A, B, ¿qué ocurre? Pues que es las coordenadas de B, que es 4, 2, estas son las coordenadas de B, menos las coordenadas de A, que es 3, 1.

13
00:01:36,480 --> 00:01:41,719
Entonces, 4 menos 3 es 1, 2 menos 1 es 1, ¿de acuerdo?

14
00:01:42,359 --> 00:02:00,739
¿Qué ocurre? Que no solo la mediatriz, la mediatriz es una recta perpendicular, perpendicular a esta recta que contiene el segmento AB, pero además de ser perpendicular pasa por el punto medio que nosotros decidimos que se llama, por ejemplo, B.

15
00:02:01,459 --> 00:02:10,400
Entonces, para eso necesito ese punto medio y necesito un vector normal al vector director de la recta, ¿vale?

16
00:02:10,719 --> 00:02:13,939
¿Cuál es un vector o los dos vectores normales?

17
00:02:15,319 --> 00:02:22,900
Pues intercambiamos, en este caso son iguales, intercambiamos la coordenada x con la y y cambiamos el signo en 1,

18
00:02:23,080 --> 00:02:26,360
con lo cual las posibilidades son estas, ¿vale?

19
00:02:26,360 --> 00:02:40,919
Entonces, ¿qué ocurre? Este vector de aquí, por ejemplo, es normal a la recta que contiene AB, pero es el vector y vector de la perpendicular a AB.

20
00:02:40,919 --> 00:02:51,759
¿Cuál es el punto D? Pues el punto D es el punto medio, el punto medio del segmento AB.

21
00:02:51,759 --> 00:02:56,039
del segmento AB. Por lo tanto, D que es

22
00:02:56,039 --> 00:03:00,780
la coordenada A, la coordenada X del punto A

23
00:03:00,780 --> 00:03:04,060
más la coordenada X del punto B entre 2

24
00:03:04,060 --> 00:03:09,580
y la coordenada Y de A más la coordenada B de 2

25
00:03:09,580 --> 00:03:13,240
de la coordenada Y de B partido de 2.

26
00:03:13,240 --> 00:03:17,400
Por lo tanto, D que es igual a 3 más 4

27
00:03:17,400 --> 00:03:22,139
partido de 2 y 1 más 2 partido de 2

28
00:03:22,139 --> 00:03:25,759
es decir, es 7 medios, 3 medios

29
00:03:25,759 --> 00:03:29,180
con lo cual yo ya tengo

30
00:03:29,180 --> 00:03:32,939
la ecuación de la mediatriz

31
00:03:32,939 --> 00:03:38,240
la ecuación de la mediatriz de AB

32
00:03:38,240 --> 00:03:41,919
si lo tengo en paramétrica, que es

33
00:03:41,919 --> 00:03:44,780
x es igual al punto, ¿el punto cuál es?

34
00:03:44,780 --> 00:03:51,120
¿El 7 medios, 3 medios? Pues nada, 7 medios, la i vale 3 medios.

35
00:03:51,439 --> 00:04:00,000
¿Y cuál es el vector director de la mediatriz? Pues uno de los normales a la resta que contiene a b.

36
00:04:00,219 --> 00:04:05,419
Por ejemplo, yo elijo el 1 menos 1, pues aquí más c y aquí menos t.

37
00:04:06,180 --> 00:04:11,620
¿De acuerdo? Esta es la ecuación de la mediatriz de a b.

38
00:04:11,620 --> 00:04:26,740
¿Vale? ¿Cómo puedo pasarlo esto a continua? Pues en este caso sencillo, porque como el parámetro de la t es 1 y el otro es menos 1, si yo sumo estas dos ecuaciones, ¿qué tengo?

39
00:04:26,740 --> 00:04:41,939
Si yo la sumo, pues tengo x más y igual a 7 medios más 3 medios, 7 medios más 3 medios, es decir, x más y igual a 10 medios, que es 5.

40
00:04:42,560 --> 00:04:59,550
¿Qué ocurre? Pues que si yo lo igualo a cero, me refiero, dejo el término independiente en el primero, esta es la ecuación implícita asociada a esta ecuación paramétrica de la resta media.

41
00:04:59,550 --> 00:05:28,839
Es decir, lo que quiero dejar claro es que esta ecuación y esta es la misma, una en paramétrica, la otra en implícita, ambas son la de la mediatriz de A y B, y esta mediatriz de A y B es perpendicular a la recta que contiene A y B, y además pasa por el punto medio que hemos hallado que es D.

42
00:05:28,839 --> 00:05:51,170
¿De acuerdo? Como el circuncentro es la intersección de mediatrices, voy a hallar ahora la mediatriz, por ejemplo, de AC. ¿De acuerdo? Voy a hallar la mediatriz de AC. ¿Cuál es la mediatriz de AC?

43
00:05:51,170 --> 00:06:11,189
Pues yo tengo A que vale 3, 1, tengo C que vale 9, menos 3, pues ¿qué necesito? Por un lado necesito el punto medio, el punto medio de A y C, ¿cuál es el punto medio?

44
00:06:11,189 --> 00:06:28,410
Pues es 3 más 9 medios y la otra es 1 menos 3 medios, es decir, 9 más 3 es 12, 12 medios es 6 y 1 menos 3 es menos 2, menos 2 entre 2 es menos 1, ¿de acuerdo?

45
00:06:28,410 --> 00:06:48,389
Ese es el punto medio del lado del triángulo AC. ¿De acuerdo? Aquí vemos que este es el punto E que acabamos de calcular. Esto es AC, el punto medio es E. ¿Vale? Entonces esto es E.

46
00:06:48,389 --> 00:07:06,910
Por otro lado, yo quiero saber el vector director de AC, es decir, el vector de la recta que contiene al segmento AC. Esto es 9-3, que es el punto C, menos el punto A, que es 3-1.

47
00:07:06,910 --> 00:07:20,430
¿Vale? Siempre para ya el vector AC se recta el extremo final menos el origen. ¿Vale? Entonces esto es 6 y esto es menos 4.

48
00:07:20,430 --> 00:07:27,209
Y aquí, muy importante, este es el vector director de la recta que contiene el segmento AC.

49
00:07:28,350 --> 00:07:35,589
Cualquiera que sea proporcionada a él es paralelo a este vector.

50
00:07:35,750 --> 00:07:42,990
Con lo cual, este es el vector director de la recta que contiene AC, pero también lo es 3 menos 2.

51
00:07:42,990 --> 00:07:48,990
Es decir, yo divido entre 2 cada uno de ellos, tengo el vector 3 menos 2.

52
00:07:48,990 --> 00:08:00,050
O si, por ejemplo, yo multiplico por 2, el 12 menos 8 también es un vector que es paralelo a esta recta.

53
00:08:00,129 --> 00:08:07,129
Con lo cual, aquí lo que nos interesa es que mientras más pequeños tengamos los vectores y rectores, pues mejor.

54
00:08:07,410 --> 00:08:14,889
Como son proporcionales, pues son paralelos y no ocurre nada.

55
00:08:15,290 --> 00:08:18,490
Pero nosotros lo que tenemos que hallar es uno normal, ¿vale?

56
00:08:18,490 --> 00:08:23,790
En vez de quedarnos con el 6 menos 4, lo suyo sería quedarnos con el 3 menos 2.

57
00:08:23,889 --> 00:08:29,850
Si lo hacemos con el 6 menos 4, también es correcto, pero mientras menores tengamos los números, mejor, ¿vale?

58
00:08:30,230 --> 00:08:35,710
Entonces, como sabemos que este y este son paralelos, pues me da igual quedarme con el más pequeño.

59
00:08:35,710 --> 00:08:41,409
Pero ahora yo tengo que hallar, como la mediatría es perpendicular al segmento AC,

60
00:08:41,409 --> 00:08:54,690
tengo que hallar uno que es normal o perpendicular o ortogonal, todo esto es lo mismo, ¿vale? Normal, perpendicular, ortogonal.

61
00:08:54,950 --> 00:09:06,549
¿Qué es lo que hago? Pues nada, cambio la coordenada x por la y, con lo cual sería el menos 2, 3 y a uno de ellos le cambio el signo, pues por ejemplo, al menos 3.

62
00:09:06,549 --> 00:09:18,769
O también podría ser el 2, 3, es decir, cambio la x con la y y le he cambiado el signo al menos 2 y pasa a ser 2, ¿vale?

63
00:09:19,029 --> 00:09:27,909
Entonces, ¿qué ocurre? Yo ya tengo un punto de la mediatriz y tengo este sí que es el vector director de la mediatriz, ¿vale?

64
00:09:27,909 --> 00:09:52,549
Entonces, en paramétrica, el punto es el 6, la i vale menos 1, y el vector director de la mediatriz, este es el vector director de la mediatriz, que a su vez es perpendicular al vector director de la recta que contiene a c.

65
00:09:53,429 --> 00:09:57,909
Entonces, aquí hacemos más 2c y aquí más 3c.

66
00:09:58,710 --> 00:10:17,549
En el vídeo anterior os dije que a la hora de hallar la intersección de dos rectas es mejor tenerla en paramétrica, pero la podemos hacer, no hay problema, lo único es cambiarle a 1 en vez de T, cambiarle a S, pero si la tenemos en implícita yo creo que todavía es un poquito más sencilla.

67
00:10:17,549 --> 00:10:44,370
Lo único que tenemos que pasar de paramétrica a implícita. En este caso, siempre lo que tenemos que hacer es hacer la reducción de este sistema quitándonos las 3. Por lo tanto, si yo este lo multiplico por 3, que tengo 3x es igual a 18 más 6x, y si este lo multiplico por 2, pues tengo 2y igual a menos 2 más 6x.

68
00:10:44,370 --> 00:11:06,450
Si yo era recto estas dos ecuaciones, yo tengo 3x menos 2y igual a 20 y veo que las tres se me van. Con lo cual, mi ecuación en implícita, esta es en paramétrica, es correcta, y la implícita es 3x menos 2y menos 20 igual a 0.

69
00:11:06,450 --> 00:11:31,309
Y esta es la ecuación de la mediatriz de AC. ¿Qué ocurre? Que yo lo que necesito es el circuncentro, y el circuncentro es la intersección de las dos mediatrices.

70
00:11:31,309 --> 00:11:52,049
Vamos a recopilar la información. Yo por un lado tenía la mediatriz de AC era 3X menos 2Y menos 20 igual a 0, que es la que he hallado aquí, 3X menos 2Y menos 20.

71
00:11:52,049 --> 00:12:14,549
Y luego tenía la mediatriz de AB, que era x más y menos 5 igual a 0, ¿vale? La mediatriz de AB era x más y menos 5 igual a 0.

72
00:12:14,549 --> 00:12:27,970
Esto al final que es un sistema de ecuaciones lineales, que no solo lo que estamos familiarizados es con 3x menos 2y igual a 20 y x más y igual a 5.

73
00:12:28,450 --> 00:12:32,750
Aquí podemos aplicar los tres métodos, reducción, sustitución o igualación.

74
00:12:32,850 --> 00:12:36,110
Yo voy a aplicar reducción.

75
00:12:36,990 --> 00:12:40,289
Vamos a ver qué coraje hay aquí.

76
00:12:40,289 --> 00:12:48,350
tengo 3x menos 2y igual a 20 y esta la voy a multiplicar por 2

77
00:12:48,350 --> 00:12:52,669
entonces tengo 2x más 2y igual a 10

78
00:12:52,669 --> 00:12:57,169
si yo lo sumo tengo aquí que 5x es igual a 30

79
00:12:57,169 --> 00:13:03,389
¿de dónde? x es igual a 30 quinto que es 6

80
00:13:03,389 --> 00:13:09,549
¿de acuerdo? entonces la coordenada x de mi circuncentro es 6

81
00:13:09,549 --> 00:13:21,370
Vamos a hallar la coordenada Y, pues aquí yo despejo, 6 más Y igual a 5, veo que Y es igual a 5 menos 6, es igual a menos 1.

82
00:13:22,029 --> 00:13:30,009
Entonces, el circuncentro va a tener coordenada 6 menos 1.

83
00:13:30,009 --> 00:13:45,549
Ahora haré otro vídeo donde en GeoGebra vamos a demostrar que efectivamente con las coordenadas de esos tres vértices el circuncentro me coincide con este punto 6-1.

84
00:13:45,549 --> 00:14:12,149
Bueno, vamos a hacer con GeoGebra el ejercicio del circuncentro, recordamos que hay un triángulo con un vértice en 3, 1, otro vértice B que es 4, 2, otro vértice 3 que es 9, menos 3, ¿vale?

85
00:14:12,149 --> 00:14:23,789
Si nosotros aquí quitamos zoom, vemos que tenemos tres puntos, los cuales si yo los uno, tengo el triángulo ABG.

86
00:14:25,110 --> 00:14:39,049
Si yo trazo la mediatriz, vemos que aquí nos lo medía directamente la mediatriz del segmento AB, pues es ese segmento AB que pasa por el punto medir.

87
00:14:39,049 --> 00:14:49,230
Y si yo, por ejemplo, hay un punto D de B6, pues me hace la perpendicular a B6, que pasa por el punto D.

88
00:14:49,809 --> 00:15:03,009
Y si nos fijamos, si nosotros hallamos la intersección de esta mediatriz, que es la mediatriz de AB, con la mediatriz de B6, obtengo un punto 6.

89
00:15:03,009 --> 00:15:16,409
Y aquí lo podemos ver, el punto 6 es precisamente el punto D, perdona, que es el circuncentro, que es la D coordinada 6 menos 1, como en el ejercicio que hemos hecho analíticamente.

90
00:15:16,409 --> 00:15:35,470
Si lo vemos gráficamente, no solo lo hemos resuelto, como lo hemos resuelto, recordamos un poco, yo tengo aquí un vector que tiene segmento AB, es decir, yo hallo AB, hallo un perpendicular a B y hago que pase por el punto medio.

91
00:15:35,470 --> 00:15:44,009
Yo para la mediatriz necesito el punto medio centro a B y un vector normal o perpendicular al vector A.

92
00:15:44,769 --> 00:15:55,590
Por otro lado, para la mediatriz de BC yo necesito primero el punto medio y una vez que tengo ese punto medio puedo hallar el vector BC y hallar uno normal o perpendicular.

93
00:15:57,049 --> 00:15:59,549
Podemos tener las ecuaciones en paramétrica.

94
00:15:59,549 --> 00:16:00,809
de paramétricas, pasamos

95
00:16:00,809 --> 00:16:03,529
de implícita, y en implícita

96
00:16:03,529 --> 00:16:04,809
lo que tenemos es un sistema

97
00:16:04,809 --> 00:16:07,389
de dos ecuaciones con dos incógnitas

98
00:16:07,389 --> 00:16:09,509
y hallamos la x y la y

99
00:16:09,509 --> 00:16:11,190
que en este caso va a ser