1
00:00:06,450 --> 00:00:09,990
En este vídeo vamos a ver cómo se extrae factor común.

2
00:00:10,369 --> 00:00:15,429
Es un recurso que podemos utilizar para factorizar polinomios,

3
00:00:15,750 --> 00:00:19,690
es decir, expresar un polinomio como productos de otros de grado menor.

4
00:00:23,289 --> 00:00:29,730
Extraer factor común se basa en la propiedad distributiva de la suma o resta.

5
00:00:32,810 --> 00:00:38,710
Esta propiedad nos dice que si multiplicamos un número a por una serie de sumandos,

6
00:00:38,710 --> 00:00:48,350
que he llamado B, C, D, E, etc., esto es igual a la suma del producto de A por cada uno de los sumandos,

7
00:00:48,689 --> 00:00:57,549
es decir, A por B más A por C más A por D más A por E, y así con todos los sumandos que nos aparezcan.

8
00:00:58,090 --> 00:01:03,890
Si leemos esta propiedad de derecha a izquierda, es decir, ahora tenemos una serie de sumandos factorizados,

9
00:01:03,890 --> 00:01:12,489
el factor que aparece repetido en todos ellos, en este caso A, se denomina factor común.

10
00:01:13,030 --> 00:01:23,530
De esta forma podemos escribir la propiedad al revés de derecha a izquierda como A, que es el factor común, multiplicando a los sumandos B, C, D, E.

11
00:01:24,409 --> 00:01:31,989
Esta propiedad también se aplica al producto de un número por una resta de números o bien combinación de sumas y restas.

12
00:01:31,989 --> 00:01:34,989
Veamos algunos ejemplos numéricos

13
00:01:34,989 --> 00:01:39,849
Tenemos la suma de dos cosas factorizadas, 5 por 6 y 5 por 7

14
00:01:39,849 --> 00:01:44,709
Evidentemente el factor que se repite en las dos sumas es el número 5

15
00:01:44,709 --> 00:01:54,290
Así que escribimos que 5 por 6 más 5 por 7 es lo mismo que 5 multiplicando, abriendo paréntesis, 6 más 7

16
00:01:54,290 --> 00:02:00,750
En el segundo ejemplo, 4 por 10 menos 4 por 7, el factor común es 4

17
00:02:00,750 --> 00:02:06,569
Así que podemos escribir 4 abriendo paréntesis por el producto de 10 menos 7.

18
00:02:11,229 --> 00:02:20,550
En este primer ejemplo vamos a extraer factor común en el polinomio 30x a la cuarta más 5x al cubo menos 15x al cuadrado.

19
00:02:21,409 --> 00:02:27,849
Es un polinomio de grado 4 constituido por tres términos, cada uno de los cuales son monomios,

20
00:02:27,849 --> 00:02:36,750
es decir, están factorizados como producto de un número llamado coeficiente por una letra, la x en este caso, elevada a exponente natural.

21
00:02:38,689 --> 00:02:47,990
Expresaremos el polinomio inicial como producto de un monomio que será el factor común por un polinomio de tres términos,

22
00:02:48,069 --> 00:02:53,789
los cuales hemos representado con cajitas y cuyo valor hallaremos posteriormente.

23
00:02:53,789 --> 00:03:02,270
Observar que los signos entre los términos del nuevo polinomio son los mismos que los que tenía el polinomio original

24
00:03:02,270 --> 00:03:10,909
Para hallar el coeficiente del factor común observamos los coeficientes del polinomio original

25
00:03:10,909 --> 00:03:14,490
En este caso son 30, 5 y 15

26
00:03:14,490 --> 00:03:17,629
Y vamos a calcular el máximo común divisor

27
00:03:17,629 --> 00:03:38,000
Para hallar el máximo común divisor, recordar que tenemos que hacer la descomposición factorial, en este caso de los números compuestos de 30 y de 15, porque 5 es número primo, y colocamos la descomposición factorial de la forma mostrada, unos encima de otros.

28
00:03:38,659 --> 00:03:46,300
Así, 30 es 2 por 3 por 5, 5 es igual a 5, y 15 es el producto de 3 por 5.

29
00:03:46,740 --> 00:03:50,180
Ahora buscamos las bases comunes con el menor exponente.

30
00:03:50,500 --> 00:03:55,259
Observamos que la que se repite en las tres descomposiciones factoriales es el número 5.

31
00:03:55,919 --> 00:04:01,319
Ese es el máximo común divisor y por lo tanto el coeficiente de nuestro factor común.

32
00:04:02,080 --> 00:04:10,539
Para hallar la parte literal de nuestro factor común tenemos que observar la parte literal de los tres términos del polinomio inicial.

33
00:04:11,240 --> 00:04:15,539
En este caso x a la cuarta, x al cubo y x al cuadrado.

34
00:04:15,539 --> 00:04:22,579
Hay que coger la letra común que aparece en los tres términos, que es x, con el menor exponente.

35
00:04:23,180 --> 00:04:29,120
El menor exponente entre 2, 3 y 4 es 2. Por eso nos queda x al cuadrado.

36
00:04:30,620 --> 00:04:38,100
A continuación vamos a hallar los tres términos del nuevo polinomio al cual multiplica el factor común 5x al cuadrado.

37
00:04:38,100 --> 00:04:53,259
Para hallar el primer término vamos a dividir el término inicial del polinomio, es decir, 30x a la cuarta entre el factor común 5x al cuadrado

38
00:04:53,259 --> 00:04:58,339
planteamos la división 30x a la cuarta entre 5x al cuadrado

39
00:04:58,339 --> 00:05:02,220
y para realizarla dividimos primero los signos más entre más es más

40
00:05:02,220 --> 00:05:07,459
30 entre 5 es 6 y x a la cuarta entre x al cuadrado

41
00:05:07,459 --> 00:05:15,420
recordar que hay que restar los exponentes dado que es una división de potencias de la misma base x

42
00:05:15,420 --> 00:05:21,579
así nos queda el primer término del polinomio al cual multiplica el factor común 5x cuadrado

43
00:05:21,579 --> 00:05:30,350
es 6x al cuadrado. En la misma forma, para hallar el segundo término, vamos a dividir

44
00:05:30,350 --> 00:05:35,850
el segundo término del polinomio inicial, es decir, 5x al cubo, entre el factor común

45
00:05:35,850 --> 00:05:45,589
5x al cuadrado. 5 entre 5 es 1 y x al cubo entre x al cuadrado tenemos que restar el

46
00:05:45,589 --> 00:05:53,829
correspondiente 3 menos 2 nos queda x a la 1, que es x. El coeficiente 1 que multiplica

47
00:05:53,829 --> 00:05:57,189
la x lo podemos quitar, así que el resultado sería x.

48
00:06:03,050 --> 00:06:10,810
Para hallar el último término dividimos 15x al cuadrado entre 5x cuadrado, que es el factor

49
00:06:10,810 --> 00:06:17,430
común. 15 entre 5 es 3 y x al cuadrado entre x al cuadrado, restando los exponentes, 2

50
00:06:17,430 --> 00:06:25,110
menos 2 nos queda x a la 0, que es 1. Así que calculamos 3 por 1 y eso es igual a 3,

51
00:06:25,269 --> 00:06:33,629
que es el resultado. Así tenemos que el polinomio 30x a la cuarta más 5x al cubo menos 15x

52
00:06:33,629 --> 00:06:41,170
cuadrado es igual al producto del factor común 5x cuadrado por el polinomio 6x cuadrado más

53
00:06:41,170 --> 00:06:48,209
x menos 3, que es el resultado de este primer ejemplo. Veamos a continuación el segundo

54
00:06:48,209 --> 00:06:54,410
ejemplo. Vamos a extraer factor común en el polinomio 4ab cuadrado menos 3ab más 2a

55
00:06:54,410 --> 00:07:01,129
cuadrado b. Igual que en el ejemplo anterior, tenemos un polinomio de tres términos. Lo

56
00:07:01,129 --> 00:07:07,829
expresaremos como el producto del factor común por un nuevo polinomio de tres términos. Hemos

57
00:07:07,829 --> 00:07:14,829
representado con las cajitas y que hallaremos a continuación. Calculamos el coeficiente del

58
00:07:14,829 --> 00:07:22,129
factor común hallando el máximo común divisor de los coeficientes de los términos del polinomio

59
00:07:22,129 --> 00:07:30,290
dado, es decir, de 4, 3 y 2. Como resultado 1. Para hallar la parte literal fijémonos en las

60
00:07:30,290 --> 00:07:36,129
letras comunes que aparecen en los términos. Observamos que los tres tienen la letra A,

61
00:07:36,750 --> 00:07:44,509
así que tomamos la letra A con el menor exponente, que es un 1. También tienen los tres en común

62
00:07:44,509 --> 00:07:50,870
la letra B. Cogemos la letra B con el menor exponente, que también es un 1. Así el factor

63
00:07:50,870 --> 00:07:57,930
común es el producto de 1 por A por B, que es lo mismo que A por B. Como en el ejemplo

64
00:07:57,930 --> 00:08:03,610
anterior, para hallar los términos del polinomio que multiplica el factor común, vamos a ir

65
00:08:03,610 --> 00:08:09,529
dividiendo los términos del polinomio dado entre el factor común a por b.

66
00:08:23,879 --> 00:08:34,679
Así obtenemos que nuestro polinomio 4ab cuadrado menos 3ab más 2a cuadrado b se puede escribir

67
00:08:34,679 --> 00:08:42,960
como el producto del factor común a por b por el polinomio 4b menos 3 más 2a. Como último ejemplo

68
00:08:42,960 --> 00:08:49,299
vamos a extraer factor común en el siguiente polinomio. Observar que también tiene tres términos.

69
00:08:50,759 --> 00:08:56,559
Lo expresaremos como el producto del factor común que veremos que no es un monomio en este ejemplo

70
00:08:56,559 --> 00:09:03,019
por un polinomio de tres términos los cuales hemos representado con las cajitas para hallar

71
00:09:03,019 --> 00:09:08,980
a continuación. Para hallar el coeficiente del factor común tenemos que calcular el máximo

72
00:09:08,980 --> 00:09:17,919
común divisor de 3, de 1 y 1. El máximo común divisor de 3, 1 y 1 es 1. Para hallar la parte

73
00:09:17,919 --> 00:09:24,879
literal observamos que en el polinomio original aparece la letra y en los dos primeros términos

74
00:09:24,879 --> 00:09:31,600
multiplicando, pero no en el tercero, así que no la podemos escribir. El binomio x cuadrado más 1

75
00:09:31,600 --> 00:09:37,820
aparece multiplicando en los tres términos. Por lo tanto, sí formará parte del factor

76
00:09:37,820 --> 00:09:44,519
común. Sí, el factor común es el producto de 1 por el binomio x cuadrado más 1, que

77
00:09:44,519 --> 00:09:51,159
es lo mismo que el binomio x cuadrado más 1. Calculemos a continuación el primer término

78
00:09:51,159 --> 00:09:57,440
del polinomio que multiplica el factor común. Para ello dividimos el primer término del

79
00:09:57,440 --> 00:10:03,259
polinomio original entre el factor común, que es x cuadrado más 1. Dividimos 3 entre

80
00:10:03,259 --> 00:10:10,159
1, que da 3, y entre 1 es la letra y, y el binomio x cuadrado más 1 entre el binomio

81
00:10:10,159 --> 00:10:18,000
x cuadrado más 1 da la unidad. Por lo tanto, el resultado nos queda 3y. Para hallar el

82
00:10:18,000 --> 00:10:24,399
segundo término, dividimos ahora y por x cuadrado más 1 entre x cuadrado más 1. Entre

83
00:10:24,399 --> 00:10:31,940
1 da 1, que no lo escribo, y entre 1 da y, y x cuadrado más 1 entre x cuadrado más

84
00:10:31,940 --> 00:10:37,220
1 vuelve a dar la unidad. Por lo tanto, el resultado es y.

85
00:10:40,519 --> 00:10:46,200
Terminamos hallando el tercer término. Para ello, dividimos x por x cuadrado más 1 entre

86
00:10:46,200 --> 00:10:54,379
x cuadrado más 1. Lo entre 1 daría 1, que no lo escribo, x entre 1 es x, y el binomio

87
00:10:54,379 --> 00:11:02,480
x cuadrado más 1 entre x cuadrado más 1 da 1. Por lo tanto el resultado es x. Nuestro

88
00:11:02,480 --> 00:11:10,159
resultado es el producto de x cuadrado más 1 por el polinomio 3y menos y más x. Daros

89
00:11:10,159 --> 00:11:17,179
cuenta que podemos simplificar nuestro resultado dado que 3y menos y son monomios semejantes

90
00:11:17,179 --> 00:11:18,820
cuyo resultado da 2.

91
00:11:20,240 --> 00:11:25,049
Así hemos obtenido la solución del ejemplo 3.