1 00:00:00,000 --> 00:00:10,000 Pues vamos a continuar con el tema de los polinomios. Ya en la clase anterior estuvimos viendo que es un polinomio, 2 00:00:10,000 --> 00:00:17,000 previamente que es el monomio, el término independiente, el grado, y nos adentramos en las operaciones con los polinomios. 3 00:00:17,000 --> 00:00:21,000 En concreto con la suma y resta de polinomios. 4 00:00:21,000 --> 00:00:32,000 En el aula virtual recordamos que tenemos un contenido teórico en el cual se explica todo lo que estamos viendo. 5 00:00:32,000 --> 00:00:41,000 Vamos a pasar a la parte donde nos quedamos el otro día. 6 00:00:41,000 --> 00:00:47,000 Lo último que vimos fue la parte del grado, el coeficiente principal, el término de un polinomio, 7 00:00:47,000 --> 00:00:58,000 el valor numérico de un polinomio, suma y resta de polinomios, y nos quedamos aquí en cómo se calcula el producto de polinomios. 8 00:00:58,000 --> 00:01:09,000 Antes de ver cómo vamos a multiplicar dos polinomios, tenemos un paso previo que es la multiplicación de un polinomio por un monomio. 9 00:01:09,000 --> 00:01:14,000 Un monomio que puede ser que tenga grado cero, es decir, donde no aparezca una parte literal, 10 00:01:14,000 --> 00:01:18,000 donde solo sea una parte numérica que multiplica a un polinomio. 11 00:01:18,000 --> 00:01:25,000 Como el primero de los ejemplos que podemos ver aquí, este que pone menos tres por, y viene aquí un paréntesis, 12 00:01:25,000 --> 00:01:31,000 o bien puede ser un monomio, como puede ser el caso del segundo ejemplo o el tercero, 13 00:01:31,000 --> 00:01:38,000 el de dos x al cubo que multiplica a un paréntesis o menos x que multiplica a un paréntesis. 14 00:01:38,000 --> 00:01:45,000 En este caso, ¿cómo se va a resolver? Se va a resolver multiplicando el monomio, este que tenemos fuera, 15 00:01:45,000 --> 00:01:51,000 por ejemplo el menos tres, va a multiplicar a cada uno de los términos que encontramos dentro del paréntesis, 16 00:01:51,000 --> 00:01:54,000 a cada uno de los términos que forma el polinomio. 17 00:01:54,000 --> 00:02:00,000 Luego el menos tres va a multiplicar a x al cuadrado, el menos tres va a multiplicar a menos cinco x, 18 00:02:00,000 --> 00:02:03,000 y el menos tres va a multiplicar a menos seis. 19 00:02:03,000 --> 00:02:07,000 Así vemos que menos tres por x al cuadrado es menos tres x al cuadrado, 20 00:02:07,000 --> 00:02:15,000 menos tres por el segundo término que es menos cinco x, menos por menos más, y tres por cinco, quince, quince x, 21 00:02:15,000 --> 00:02:19,000 y luego menos tres por menos seis, menos por menos más, más dieciocho. 22 00:02:19,000 --> 00:02:22,000 Ya estaría hecha esa multiplicación. 23 00:02:22,000 --> 00:02:29,000 En el segundo ejemplo, en el de dos x al cubo que multiplica a un polinomio, que lo pongo entre paréntesis, 24 00:02:29,000 --> 00:02:34,000 pues dos x al cubo va a multiplicar a cada uno de los términos de ese polinomio. 25 00:02:34,000 --> 00:02:37,000 Dos x al cubo multiplica a x al cuadrado. 26 00:02:37,000 --> 00:02:42,000 Lo podemos dejar aquí indicado, mirad, dos x al cubo multiplica a x al cuadrado. 27 00:02:42,000 --> 00:02:47,000 Luego, dos x al cubo multiplica a menos cinco x, pues dos x al cubo multiplica a cinco x. 28 00:02:47,000 --> 00:02:55,000 Ya se pone, el menos lo podemos poner aquí delante, o también podemos poner más dos x al cubo por menos cinco x, 29 00:02:55,000 --> 00:03:01,000 y luego ya multiplicaremos, y dos x al cubo por menos seis x, más por menos menos, ya ponemos el menos, 30 00:03:01,000 --> 00:03:03,000 y aquí está el dos x al cubo por seis. 31 00:03:03,000 --> 00:03:06,000 Y a continuación hacemos cada uno de esos productos. 32 00:03:06,000 --> 00:03:10,000 Podríamos haberlos hecho de golpe, pero bueno, así lo vemos mejor paso a paso. 33 00:03:10,000 --> 00:03:15,000 Dos x al cubo por x al cuadrado, las x son potencias que tienen la misma base, 34 00:03:15,000 --> 00:03:19,000 luego se deja la misma base que es la x, y sumamos los exponentes. 35 00:03:19,000 --> 00:03:25,000 x al cubo por x al cuadrado es tres más dos, cinco, pues dos por x elevado a cinco. 36 00:03:25,000 --> 00:03:29,000 En la segunda multiplicación, en la que tenemos dos x al cubo por cinco x, 37 00:03:29,000 --> 00:03:33,000 multiplicamos los coeficientes, dos por cinco, diez, 38 00:03:33,000 --> 00:03:38,000 y por otro lado, x al cubo por x, esta x tiene exponente uno. 39 00:03:38,000 --> 00:03:43,000 Luego sumamos los exponentes tres más uno, cuatro. 40 00:03:43,000 --> 00:03:47,000 Y el último de los productos, menos dos x al cubo por seis, 41 00:03:47,000 --> 00:03:50,000 multiplicamos los coeficientes, menos dos por seis es menos doce, 42 00:03:50,000 --> 00:03:54,000 y como parte literal solo tenemos x al cubo, pues se quedaría ahí. 43 00:03:54,000 --> 00:03:59,000 Este procedimiento se va a repetir cuando lo que hacemos es multiplicar dos polinomios. 44 00:03:59,000 --> 00:04:03,000 Lo que pasa es que en este caso, lo que vamos a hacer va a ser multiplicar 45 00:04:03,000 --> 00:04:14,000 todos los términos de un polinomio por todos los términos del otro polinomio. 46 00:04:14,000 --> 00:04:18,000 Escribimos un ejemplo, y además vamos a poder hacerlo de dos formas, 47 00:04:18,000 --> 00:04:21,000 o bien escribiéndolo en fila, como vamos a ver aquí abajo, 48 00:04:21,000 --> 00:04:25,000 o bien como una multiplicación, como hacemos multiplicaciones con números 49 00:04:25,000 --> 00:04:30,000 que ponemos primero un término, debajo el otro, el por, 50 00:04:30,000 --> 00:04:32,000 y vamos multiplicando término a término. 51 00:04:32,000 --> 00:04:35,000 Vamos a multiplicar estos dos polinomios. 52 00:04:35,000 --> 00:04:39,000 El polinomio p, que es x al cubo menos cinco x al cuadrado más siete, 53 00:04:39,000 --> 00:04:43,000 y el polinomio q de x, que es x al cuadrado más tres x menos uno. 54 00:04:43,000 --> 00:04:48,000 Como haremos con la forma de multiplicación clásica, 55 00:04:48,000 --> 00:04:51,000 lo que vamos a hacer va a ser coger el primer término, 56 00:04:51,000 --> 00:04:53,000 por ejemplo el menos uno de la derecha a la izquierda, 57 00:04:53,000 --> 00:04:56,000 y el menos uno va a multiplicar a todos los términos del otro polinomio. 58 00:04:56,000 --> 00:04:58,000 El menos uno multiplica al siete, 59 00:04:58,000 --> 00:05:01,000 el menos uno multiplica a menos cinco x al cuadrado, 60 00:05:01,000 --> 00:05:04,000 y el menos uno va a multiplicar a x al cubo. 61 00:05:04,000 --> 00:05:07,000 Menos uno por siete, menos siete. 62 00:05:07,000 --> 00:05:10,000 Menos uno por menos cinco x al cuadrado, menos por menos más, 63 00:05:10,000 --> 00:05:12,000 y uno por cinco, cinco x al cuadrado. 64 00:05:12,000 --> 00:05:14,000 Si os fijáis, debemos dejar aquí un hueco, 65 00:05:14,000 --> 00:05:19,000 porque nos va a facilitar luego la suma de todos los términos que aparezcan. 66 00:05:19,000 --> 00:05:22,000 El menos siete, no hay parte literal, no hay x. 67 00:05:22,000 --> 00:05:24,000 Ese grado es cero. 68 00:05:24,000 --> 00:05:28,000 X elevado a uno, la x no nos ha salido nada, 69 00:05:28,000 --> 00:05:30,000 pero iría aquí. 70 00:05:30,000 --> 00:05:32,000 Luego lo dejamos en blanco. 71 00:05:32,000 --> 00:05:36,000 Después vendría menos uno por menos cinco x al cuadrado, 72 00:05:36,000 --> 00:05:39,000 que hemos dicho que es más cinco x al cuadrado, grado dos. 73 00:05:39,000 --> 00:05:45,000 Menos uno por x al cubo, menos, por más menos, pues menos x al cubo. 74 00:05:46,000 --> 00:05:48,000 Ya he multiplicado todo con el menos uno, 75 00:05:48,000 --> 00:05:50,000 pues ahora hago lo mismo con el tres x. 76 00:05:50,000 --> 00:05:52,000 El tres x va a multiplicar al siete, 77 00:05:52,000 --> 00:05:55,000 el tres x va a multiplicar a menos cinco x al cuadrado, 78 00:05:55,000 --> 00:05:57,000 y el tres x va a multiplicar a x al cubo. 79 00:05:57,000 --> 00:06:01,000 Luego, tres x por siete, siete por tres, veintiuna, veintiuna x. 80 00:06:01,000 --> 00:06:04,000 Y lo pongo en la columna de donde tengo aquí la x, 81 00:06:04,000 --> 00:06:08,000 del grado uno, que era esta que habíamos dejado en blanco. 82 00:06:08,000 --> 00:06:11,000 Tres x por menos cinco x al cuadrado. 83 00:06:11,000 --> 00:06:13,000 Si multiplico los coeficientes, 84 00:06:13,000 --> 00:06:15,000 tres por menos cinco me da menos quince, 85 00:06:15,000 --> 00:06:18,000 y luego x elevado a uno por x elevado a dos, 86 00:06:18,000 --> 00:06:20,000 dos más uno, tres, x elevado a tres, 87 00:06:20,000 --> 00:06:23,000 pues menos quince, x elevado a tres. 88 00:06:23,000 --> 00:06:25,000 Y lo coloco debajo de las x al cubo. 89 00:06:25,000 --> 00:06:28,000 Finalmente, tres x por x al cubo, 90 00:06:28,000 --> 00:06:30,000 tres por unos tres, 91 00:06:30,000 --> 00:06:33,000 y x por x al cubo, somos exponentes, 92 00:06:33,000 --> 00:06:36,000 tres más uno, cuatro, pues tres x elevado a cuatro. 93 00:06:36,000 --> 00:06:38,000 Me queda así de término, 94 00:06:38,000 --> 00:06:40,000 el x al cuadrado, pues x al cuadrado por siete, 95 00:06:40,000 --> 00:06:42,000 siete x al cuadrado, 96 00:06:42,000 --> 00:06:45,000 debajo de los términos que estén al cuadrado. 97 00:06:45,000 --> 00:06:48,000 x al cuadrado por menos cinco x al cuadrado, 98 00:06:48,000 --> 00:06:50,000 que da menos cinco x elevado a cuatro, 99 00:06:50,000 --> 00:06:52,000 pues busco la columna de el x elevado a cuatro 100 00:06:52,000 --> 00:06:54,000 y coloco el menos cinco x elevado a cuatro. 101 00:06:54,000 --> 00:06:56,000 Y x al cuadrado por x al cubo, 102 00:06:56,000 --> 00:06:58,000 es x elevado a cinco, 103 00:06:58,000 --> 00:07:00,000 porque hay dos más tres cinco en los exponentes. 104 00:07:00,000 --> 00:07:02,000 Y a continuación, ¿qué hago? 105 00:07:02,000 --> 00:07:05,000 Pues ya pongo esta rayita y voy a sumar, ¿vale? 106 00:07:05,000 --> 00:07:07,000 Pues menos siete, no tengo nada más con lo que sumarlo, 107 00:07:07,000 --> 00:07:09,000 veinte y una x, 108 00:07:09,000 --> 00:07:11,000 términos con x al cuadrado, cinco x al cuadrado 109 00:07:11,000 --> 00:07:13,000 más siete x al cuadrado, 110 00:07:13,000 --> 00:07:15,000 doce x al cuadrado. 111 00:07:15,000 --> 00:07:18,000 Sumo los términos con x cubo, los términos con x a la cuarta, 112 00:07:18,000 --> 00:07:20,000 los términos con x elevado a cinco, 113 00:07:20,000 --> 00:07:22,000 y en esta suma recuerda que solo sumamos los coeficientes, 114 00:07:22,000 --> 00:07:25,000 se mantiene lo que es la parte literal. 115 00:07:25,000 --> 00:07:27,000 Esta sería una forma de hacerlo. 116 00:07:27,000 --> 00:07:30,000 La otra, la veis aquí a continuación escrita, ¿vale? 117 00:07:30,000 --> 00:07:32,000 Pongo el primer polinomio en un paréntesis 118 00:07:32,000 --> 00:07:35,000 y el segundo polinomio en otro paréntesis. 119 00:07:35,000 --> 00:07:39,000 Pero procedemos de la misma manera, ¿vale? 120 00:07:39,000 --> 00:07:42,000 Cojo el primer polinomio, este, 121 00:07:42,000 --> 00:07:45,000 y lo voy a multiplicar entero por x al cuadrado. 122 00:07:45,000 --> 00:07:47,000 Aquí lo veo indicado. 123 00:07:47,000 --> 00:07:48,000 ¿Digo más? 124 00:07:48,000 --> 00:07:51,000 Lo voy a multiplicar por el segundo, que es el tres x, 125 00:07:51,000 --> 00:07:54,000 y después lo voy a multiplicar por menos uno, 126 00:07:54,000 --> 00:07:56,000 que aquí ya viene con el menos. 127 00:07:56,000 --> 00:07:59,000 Y luego ya lo que hago es multiplicarlo término a término. 128 00:08:00,000 --> 00:08:03,000 Podemos hacerlo de la forma que nos parezca más fácil 129 00:08:03,000 --> 00:08:05,000 o más compleja a cada uno de nosotros, ¿vale? 130 00:08:05,000 --> 00:08:08,000 Podemos desarrollarlo multiplicando término a término, 131 00:08:08,000 --> 00:08:11,000 o bien con esta otra forma, que también es término a término, 132 00:08:11,000 --> 00:08:13,000 pero a lo mejor más organizada 133 00:08:13,000 --> 00:08:17,000 y de una forma de multiplicación más clásica. 134 00:08:17,000 --> 00:08:19,000 Y una propiedad que aquí tenemos 135 00:08:19,000 --> 00:08:22,000 es que cuando yo multiplico dos polinomios, 136 00:08:22,000 --> 00:08:24,000 el grado del polinomio resultante 137 00:08:24,000 --> 00:08:28,000 va a ser la suma del grado de los dos polinomios. 138 00:08:28,000 --> 00:08:32,000 En este caso, si el polinomio p de x tiene grado 3, 139 00:08:32,000 --> 00:08:36,000 porque el término con mayor grado es x al cubo, 140 00:08:36,000 --> 00:08:40,000 y q de x es de grado 2 por el x al cuadrado, 141 00:08:40,000 --> 00:08:46,000 el producto de p por q va a tener grado 3 más 2, 5. 142 00:08:46,000 --> 00:08:51,000 Esto en cuanto a lo que es el producto de los polinomios. 143 00:08:51,000 --> 00:08:54,000 Aquí tenemos unos cuantos para practicar. 144 00:08:54,000 --> 00:08:57,000 Podemos hacer alguno, ¿vale? 145 00:08:57,000 --> 00:09:01,000 Por ejemplo, el 2x al cubo, el primero de ellos, 146 00:09:01,000 --> 00:09:04,000 más 6x al cuadrado más 8, 147 00:09:04,000 --> 00:09:08,000 que multiplica a 4x menos 4. 148 00:09:08,000 --> 00:09:12,000 Y vamos a pasar al papel. 149 00:09:12,000 --> 00:09:14,000 Pues aquí lo tenemos. 150 00:09:14,000 --> 00:09:16,000 A ver si enfoco un poquito la cámara. 151 00:09:16,000 --> 00:09:18,000 Aquí mejor. 152 00:09:18,000 --> 00:09:21,000 Podemos hacerlo de varias formas, como hemos dicho. 153 00:09:21,000 --> 00:09:25,000 Puedo coger todo el polinomio y lo multiplico por 4x, 154 00:09:25,000 --> 00:09:28,000 todo el polinomio lo multiplico por menos 4, 155 00:09:28,000 --> 00:09:32,000 o lo pongo en forma de producto de multiplicación. 156 00:09:32,000 --> 00:09:36,000 Yo lo voy a poner que quizás sea más sencillo, 157 00:09:36,000 --> 00:09:40,000 pues como la multiplicación que habéis hecho toda la vida. 158 00:09:40,000 --> 00:09:42,000 Así multiplicamos. 159 00:09:42,000 --> 00:09:45,000 De tal forma que cojo el menos 4 y lo multiplico por todo. 160 00:09:45,000 --> 00:09:48,000 Menos 4 por 8, menos 32. 161 00:09:48,000 --> 00:09:52,000 Menos 4 por más 6x al cuadrado, menos por más menos, 162 00:09:52,000 --> 00:09:55,000 6 por 4, 24x al cuadrado. 163 00:09:55,000 --> 00:09:58,000 Como el menos 32 tiene grado cero, 164 00:09:58,000 --> 00:10:01,000 después vendría la x, que no tengo ninguna de momento, 165 00:10:01,000 --> 00:10:04,000 pues aquí a continuación, menos 24x al cuadrado. 166 00:10:04,000 --> 00:10:08,000 Dejo el hueco por si luego me saliera algo de grado 1. 167 00:10:08,000 --> 00:10:12,000 Y menos 4 por 2x al cubo, menos por más menos, 168 00:10:12,000 --> 00:10:16,000 y 2 por 4, 8x al cubo. 169 00:10:16,000 --> 00:10:19,000 He terminado con el menos 4, pues cojo el siguiente término, 170 00:10:19,000 --> 00:10:21,000 el 4x, y hago lo mismo. 171 00:10:21,000 --> 00:10:24,000 4x por 8, 8 por 4, 32x. 172 00:10:24,000 --> 00:10:26,000 Mirad el hueco que hemos dejado. 173 00:10:26,000 --> 00:10:29,000 32x. 174 00:10:29,000 --> 00:10:32,000 4x por 6x al cuadrado, 6 por 4, 24. 175 00:10:32,000 --> 00:10:35,000 Y x por x al cuadrado, 2 más 1, 3. 176 00:10:35,000 --> 00:10:38,000 Pues 24x al cubo. 177 00:10:38,000 --> 00:10:42,000 Pues más 24x al cubo. 178 00:10:42,000 --> 00:10:46,000 Y 4x por 2x al cubo, 4 por 2, 8. 179 00:10:46,000 --> 00:10:51,000 Y x por x al cubo es x a la cuarta, pues 8x a la cuarta. 180 00:10:51,000 --> 00:10:54,000 Y ahora sumamos todo. 181 00:10:54,000 --> 00:10:57,000 Menos 32, 32x, 182 00:10:57,000 --> 00:11:01,000 menos 24x al cuadrado. 183 00:11:01,000 --> 00:11:03,000 En x al cubo sí tengo cosas que sumar, ¿vale? 184 00:11:03,000 --> 00:11:08,000 Menos 8 más 24, más 16x al cubo. 185 00:11:08,000 --> 00:11:13,000 Y 8x a la cuarta, pues 8x a la cuarta. 186 00:11:13,000 --> 00:11:15,000 ¿Vale? 187 00:11:15,000 --> 00:11:18,000 Muchas veces en los ejercicios, en vez de venir así puestos, 188 00:11:18,000 --> 00:11:26,000 pues me van a decir que p de x es, pues 2x al cubo más 6x al cuadrado más 8, 189 00:11:26,000 --> 00:11:32,000 y que q de x, pues es el otro, es 4x menos 4. 190 00:11:32,000 --> 00:11:36,000 Y te pueden decir que calcules pues p de x por q de x. 191 00:11:36,000 --> 00:11:38,000 Y ya directamente multiplicamos. 192 00:11:38,000 --> 00:11:40,000 Puede que haya algún ejercicio que me diga, 193 00:11:40,000 --> 00:11:48,000 bueno, pues yo lo que quiero hacer es 2 veces p de x más 3 veces q de x. 194 00:11:48,000 --> 00:11:50,000 ¿Qué debería hacer? 195 00:11:50,000 --> 00:11:54,000 Por ejemplo, aquí, pues p de x, que es este polinomio, 196 00:11:54,000 --> 00:11:58,000 primero lo multiplico por 2, el 2 multiplica a todo, 197 00:11:58,000 --> 00:12:01,000 el q de x lo multiplico todo por 3 y luego sumo. 198 00:12:01,000 --> 00:12:04,000 ¿Vale? Vamos a hacerlo, porque esto en los cuestionarios que tenéis 199 00:12:04,000 --> 00:12:06,000 os aparecen cosas así. 200 00:12:06,000 --> 00:12:09,000 Pues 2 por p de x, ¿quién es? 201 00:12:09,000 --> 00:12:15,000 2x al cubo más 6x al cuadrado y más 8, 202 00:12:15,000 --> 00:12:22,000 más 3 por q de x, que es 4x menos 4. 203 00:12:22,000 --> 00:12:25,000 Bueno, pues este 2 multiplica cada uno de los términos. 204 00:12:25,000 --> 00:12:28,000 El 2 multiplica a 2x al cubo, ¿vale? 205 00:12:28,000 --> 00:12:32,000 El 2 multiplica a 6x al cuadrado y multiplica a 8. 206 00:12:32,000 --> 00:12:37,000 Lo mismo con el 3, el 3 multiplica a 4x, el 3 multiplica a menos 4. 207 00:12:37,000 --> 00:12:43,000 Pues 2 por 2, 4x al cubo, más 2 por 6, 12x al cuadrado, 208 00:12:43,000 --> 00:12:46,000 y 2 por 8, 16. 209 00:12:46,000 --> 00:12:53,000 Ahora, más 3 por 4x, 3 por 4, 12x, y más 3 por menos 4, menos 12. 210 00:12:53,000 --> 00:12:56,000 Una vez que ya he multiplicado todo, ¿qué hago? 211 00:12:56,000 --> 00:12:58,000 Pues sumarlo, las x al cubo con las x al cubo, 212 00:12:58,000 --> 00:13:00,000 las x al cuadrado con las x al cuadrado, 213 00:13:00,000 --> 00:13:04,000 las x con las x, y los números, los términos independientes consigo mismo. 214 00:13:04,000 --> 00:13:08,000 4x al cubo, solo tengo este término de x al cubo. 215 00:13:08,000 --> 00:13:12,000 Al cuadrado solo tengo 12x al cuadrado. 216 00:13:12,000 --> 00:13:18,000 Término en x, también solo tengo este, más 12x. 217 00:13:18,000 --> 00:13:23,000 Y ahora, numéricos tengo 16 menos 12 más 4. 218 00:13:23,000 --> 00:13:29,000 Pues ya habríamos terminado en este caso el ejercicio, ¿vale? 219 00:13:31,000 --> 00:13:37,000 Algunos productos característicos y que son muy importantes, ¿vale? 220 00:13:37,000 --> 00:13:40,000 Son los que se llaman las identidades notables. 221 00:13:40,000 --> 00:13:44,000 Son algunos que podemos resolver sin necesidad de multiplicar, mirad. 222 00:13:44,000 --> 00:13:48,000 Uno de ellos es cuando tengo lo que se llama el cuadrado de una suma, 223 00:13:48,000 --> 00:13:53,000 a más b al cuadrado, este de aquí. 224 00:13:53,000 --> 00:13:56,000 O si lo queremos ver con números, aquí tenemos un ejemplo, 225 00:13:56,000 --> 00:13:59,000 x más 3, todo ello elevado al cuadrado. 226 00:13:59,000 --> 00:14:04,000 Tengo una suma con dos términos y está elevado al cuadrado. 227 00:14:04,000 --> 00:14:09,000 En esta multiplicación, en esta potencia, 228 00:14:09,000 --> 00:14:12,000 siempre va a ser una fórmula que podemos aprender, 229 00:14:12,000 --> 00:14:14,000 pero que también podemos deducir, ¿vale? 230 00:14:14,000 --> 00:14:16,000 Que es el cuadrado del primero, a al cuadrado, 231 00:14:16,000 --> 00:14:18,000 más el cuadrado del segundo, b al cuadrado, 232 00:14:18,000 --> 00:14:21,000 más dos veces el primero por el segundo, 233 00:14:21,000 --> 00:14:23,000 más dos veces a por b. 234 00:14:23,000 --> 00:14:25,000 ¿De dónde sale esta fórmula? Pues mirad. 235 00:14:25,000 --> 00:14:28,000 Si yo multiplico a más b por a más b, 236 00:14:28,000 --> 00:14:31,000 ya que un cuadrado es multiplicar un número por sí mismo, 237 00:14:31,000 --> 00:14:35,000 y hago la multiplicación, me va a dar, pues esto, 238 00:14:35,000 --> 00:14:37,000 el cuadrado de uno, el cuadrado del otro, 239 00:14:37,000 --> 00:14:40,000 y dos veces un número por el otro. 240 00:14:40,000 --> 00:14:43,000 De tal forma que sin necesidad de multiplicar, 241 00:14:43,000 --> 00:14:46,000 sino aplicando en las esta identidad notable, 242 00:14:46,000 --> 00:14:49,000 si yo veo aquí, en el segundo, 243 00:14:49,000 --> 00:14:51,000 2x más 5, todo ello al cuadrado, 244 00:14:51,000 --> 00:14:55,000 pues yo ya sé que debo de calcular 2x al cuadrado, 245 00:14:55,000 --> 00:14:58,000 más el 5 al cuadrado, 246 00:14:58,000 --> 00:15:02,000 y por otro lado, dos veces 2x por 5, 247 00:15:02,000 --> 00:15:05,000 dos veces 2x por 5. 248 00:15:05,000 --> 00:15:07,000 Aplico la fórmula, ¿vale? 249 00:15:07,000 --> 00:15:09,000 Y automáticamente ya es calcular 2x al cuadrado, 250 00:15:09,000 --> 00:15:12,000 es 2x por 2x, que es 4x al cuadrado, 251 00:15:12,000 --> 00:15:17,000 más 2 por 2, 4 por 5, 20x, 252 00:15:17,000 --> 00:15:19,000 y 5 al cuadrado, 25. 253 00:15:19,000 --> 00:15:23,000 ¿Vale? Esto sería el cuadrado de una suma. 254 00:15:23,000 --> 00:15:26,000 Mismo caso, cuadrado de una diferencia, 255 00:15:26,000 --> 00:15:28,000 en vez de tener a más b, todo ello al cuadrado, 256 00:15:28,000 --> 00:15:31,000 tenemos a menos b elevado al cuadrado. 257 00:15:31,000 --> 00:15:34,000 En este caso, es muy parecido y lo que nos va a cambiar 258 00:15:34,000 --> 00:15:36,000 va a ser un signo, mirad. 259 00:15:36,000 --> 00:15:39,000 Donde antes teníamos más dos veces el primero por el segundo, 260 00:15:39,000 --> 00:15:42,000 el más 2ab, ahora va a ser negativo. 261 00:15:42,000 --> 00:15:45,000 Luego, el cuadrado de una diferencia va a ser 262 00:15:45,000 --> 00:15:48,000 el cuadrado del primero, más cuadrado del segundo, 263 00:15:48,000 --> 00:15:52,000 y ahora cambia menos dos veces el primero por el segundo. 264 00:15:52,000 --> 00:15:57,000 Aquí lo tenéis hecho para que veáis de dónde sale la fórmula. 265 00:15:57,000 --> 00:16:00,000 Igualmente, si yo me lo encuentro como un ejercicio 266 00:16:00,000 --> 00:16:03,000 y debo de resolverlo usando la identidad notable, 267 00:16:03,000 --> 00:16:05,000 5x menos 4, todo ello al cuadrado, 268 00:16:05,000 --> 00:16:08,000 pues será el cuadrado del primero, 269 00:16:08,000 --> 00:16:10,000 5x, todo ello al cuadrado, 270 00:16:10,000 --> 00:16:13,000 más el cuadrado del segundo, el 4 al cuadrado, 271 00:16:13,000 --> 00:16:16,000 y ahora menos dos veces el primer término, 272 00:16:16,000 --> 00:16:19,000 que es 5x, por el segundo término, que es 4, 273 00:16:19,000 --> 00:16:22,000 y a partir de aquí ya es resolver. 274 00:16:26,000 --> 00:16:29,000 Otro caso que nos vamos a encontrar es 275 00:16:29,000 --> 00:16:33,000 si yo tengo un producto de una suma por una diferencia, 276 00:16:33,000 --> 00:16:37,000 una suma y una diferencia donde los términos son los mismos, 277 00:16:37,000 --> 00:16:41,000 mirad, a más b por a menos b, me cambia aquí un signo, 278 00:16:41,000 --> 00:16:44,000 numéricamente, mirad, con polinomios, 279 00:16:44,000 --> 00:16:47,000 2x más 1 por 2x menos 1, 280 00:16:47,000 --> 00:16:50,000 o x más 5y por x menos 5y. 281 00:16:50,000 --> 00:16:53,000 No se trata del mismo polinomio, 282 00:16:53,000 --> 00:16:56,000 simplemente tienen dos términos y fijaros, 283 00:16:56,000 --> 00:16:58,000 nos cambia el signo en uno de ellos. 284 00:16:58,000 --> 00:17:01,000 Aquí tenéis la fórmula que nos va a dar, 285 00:17:01,000 --> 00:17:04,000 de dónde viene, aquí lo he resuelto, 286 00:17:04,000 --> 00:17:07,000 y es el cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo, 287 00:17:07,000 --> 00:17:10,000 que es negativo, es el que lo vamos a tener 288 00:17:10,000 --> 00:17:13,000 en uno como positivo y en otro como negativo. 289 00:17:14,000 --> 00:17:17,000 El cuadrado del primero del que no cambia el signo por 2x 290 00:17:17,000 --> 00:17:20,000 es el que no cambia el signo por 2x, todo ello al cuadrado, 291 00:17:20,000 --> 00:17:23,000 menos el cuadrado del segundo, 292 00:17:23,000 --> 00:17:26,000 el segundo cuál es? el 1 menos 1 al cuadrado, 293 00:17:26,000 --> 00:17:28,000 aquí está mal escrito, pone menos 12, 294 00:17:28,000 --> 00:17:31,000 este 2 tiene que haber ido arriba como exponente, 295 00:17:31,000 --> 00:17:34,000 2x todo ello al cuadrado menos 1 al cuadrado, 296 00:17:34,000 --> 00:17:37,000 2x todo al cuadrado, 2x por 2x es 4x al cuadrado, 297 00:17:37,000 --> 00:17:40,000 menos 1 por 1 es 1. 298 00:17:44,000 --> 00:17:47,000 Bueno, aquí tenéis para practicar, 299 00:17:47,000 --> 00:17:50,000 unos cuantos ejercicios, 300 00:17:50,000 --> 00:17:55,000 y también tenemos la última hoja, 301 00:17:58,000 --> 00:18:01,000 esta de aquí, unos cuantos ejercicios de repaso, 302 00:18:01,000 --> 00:18:04,000 tanto de lo que vimos el otro día, 303 00:18:04,000 --> 00:18:06,000 como de lo que hemos comentado, ahora mirad, 304 00:18:06,000 --> 00:18:09,000 por ejemplo, en el ejercicio 6, me dice, 305 00:18:09,000 --> 00:18:12,000 dados los polinomios P, Q y R, 306 00:18:12,000 --> 00:18:15,000 calcula la suma, la resta, el producto, 307 00:18:15,000 --> 00:18:18,000 la división, que no vamos a verla de momento, 308 00:18:18,000 --> 00:18:21,000 es cuestión de, bueno, 309 00:18:21,000 --> 00:18:24,000 coger el polinomio que nos toque y operar, 310 00:18:24,000 --> 00:18:27,000 otros vienen ya dados, opera y simplifica, 311 00:18:27,000 --> 00:18:30,000 me cuenta multiplicaciones, restas, multiplicaciones, 312 00:18:30,000 --> 00:18:33,000 recordar jerarquía de las operaciones, 313 00:18:33,000 --> 00:18:36,000 primero voy a multiplicar, y lo último voy a sumar o restar, 314 00:18:36,000 --> 00:18:39,000 y una cosa que nos falta por ver, 315 00:18:39,000 --> 00:18:42,000 es el sacar factor común, 316 00:18:42,000 --> 00:18:45,000 que nos aparece aquí en el ejercicio 8, mirad, 317 00:18:45,000 --> 00:18:48,000 y me voy a ir al papel, para que lo veamos mejor, 318 00:18:48,000 --> 00:18:51,000 me voy a copiar el primero, 319 00:18:51,000 --> 00:18:54,000 el de 5X al cubo, más 15X al cuadrado, 320 00:18:54,000 --> 00:18:57,000 menos 10X, 321 00:18:57,000 --> 00:19:00,000 y aunque podamos hacerlo de manera, 322 00:19:00,000 --> 00:19:03,000 pues un poco más rigurosa, 323 00:19:03,000 --> 00:19:06,000 en nuestro caso vamos a intentar hacerlo 324 00:19:06,000 --> 00:19:09,000 un poquito más a ojo, 325 00:19:09,000 --> 00:19:12,000 sacar factor común, 326 00:19:12,000 --> 00:19:15,000 es encontrar algún factor, 327 00:19:15,000 --> 00:19:18,000 un factor es algo que está multiplicando, 328 00:19:18,000 --> 00:19:21,000 y que sea común que esté en los tres términos, 329 00:19:21,000 --> 00:19:24,000 en el 5X al cubo, el 15X al cuadrado y el menos 10X, 330 00:19:24,000 --> 00:19:27,000 yo quiero conseguir escribir mi polinomio 331 00:19:27,000 --> 00:19:30,000 como un producto, 332 00:19:30,000 --> 00:19:33,000 un producto donde un término es común a los tres factores, 333 00:19:33,000 --> 00:19:36,000 yo me doy cuenta de que el 5, 334 00:19:36,000 --> 00:19:39,000 está en los tres términos, 335 00:19:39,000 --> 00:19:42,000 si no, está el 5, 336 00:19:42,000 --> 00:19:45,000 este 5 me sale de 5X1, 337 00:19:45,000 --> 00:19:48,000 15 me sale de 3X5, 338 00:19:48,000 --> 00:19:51,000 y el 10 me sale de 2X5, 339 00:19:51,000 --> 00:19:54,000 esto es como si yo estuviera buscando un común divisor, 340 00:19:54,000 --> 00:19:57,000 o un máximo común divisor, 341 00:19:57,000 --> 00:20:00,000 por ejemplo, tendría el 5, 342 00:20:00,000 --> 00:20:03,000 un divisor común de 5, de 15 y de 10, 343 00:20:03,000 --> 00:20:06,000 lo mismo con la parte literal, 344 00:20:06,000 --> 00:20:09,000 yo buscaría, en este caso, el que esté multiplicando, 345 00:20:09,000 --> 00:20:12,000 digamos que la misma letra esté, 346 00:20:12,000 --> 00:20:15,000 pero para poder sacar el factor común, 347 00:20:15,000 --> 00:20:18,000 tendrá que ser con el exponente más chiquitito, 348 00:20:18,000 --> 00:20:21,000 porque aquí solo tengo una X, 349 00:20:21,000 --> 00:20:24,000 no puedo sacar un X al cuadrado, 350 00:20:24,000 --> 00:20:27,000 porque lo máximo que puedo dividir es por una X, 351 00:20:28,000 --> 00:20:31,000 el 5 sería factor común, 352 00:20:31,000 --> 00:20:34,000 porque divide a 5, divide a 15, divide a 10, 353 00:20:34,000 --> 00:20:37,000 y aquí tengo también X1, 354 00:20:37,000 --> 00:20:40,000 porque puede dividir a ellos, 355 00:20:40,000 --> 00:20:43,000 5X, ¿por qué no multiplico para llegar a X al cubo? 356 00:20:43,000 --> 00:20:46,000 para llegar a 5, pues por 1, 357 00:20:46,000 --> 00:20:49,000 y de X a X al cubo, ¿cuántas me faltan? 358 00:20:49,000 --> 00:20:52,000 en exponentes 3, menos 1, 2, 359 00:20:52,000 --> 00:20:55,000 me faltaría una X al cuadrado, 360 00:20:56,000 --> 00:20:59,000 mira, si yo multiplico 5 por 1, 5, 361 00:20:59,000 --> 00:21:02,000 y X por X al cuadrado, 1 más 2, 3, 362 00:21:02,000 --> 00:21:05,000 me voy con el 15, 15 entre 5 me da 3, 363 00:21:05,000 --> 00:21:08,000 3 por 5, 15, pues digo más 3, 364 00:21:08,000 --> 00:21:11,000 y las X, aquí tenía elevado a 2, 365 00:21:11,000 --> 00:21:14,000 y si puedo sacar solo una factor común, 366 00:21:14,000 --> 00:21:17,000 pues 2 menos 1, 1, 367 00:21:17,000 --> 00:21:20,000 y si multiplico 5X por 3X, 5 por 3, 15, 368 00:21:20,000 --> 00:21:23,000 y X elevado a 1 por X elevado a 1 es X elevado a 2, 369 00:21:24,000 --> 00:21:27,000 con el 10, pues 10 entre 5 es 2, 370 00:21:27,000 --> 00:21:30,000 pero va negativo, menos 2, 371 00:21:30,000 --> 00:21:33,000 y ahora la X, ¿vale? 372 00:21:33,000 --> 00:21:36,000 tengo X elevado a 1, 373 00:21:36,000 --> 00:21:39,000 y tengo X elevado a 1, si la saco fuera, 374 00:21:39,000 --> 00:21:42,000 de 1 a 1 me queda 0, no me queda más, 375 00:21:42,000 --> 00:21:45,000 claro, si yo multiplico ahora 5 por menos 2, menos 10, 376 00:21:45,000 --> 00:21:48,000 y X por nada más X, 377 00:21:48,000 --> 00:21:51,000 esto sería sacar factor común, saco factor común, 378 00:21:51,000 --> 00:21:54,000 5X, otro ejercicio, 379 00:21:54,000 --> 00:21:57,000 que tengamos, por ejemplo, 380 00:21:57,000 --> 00:22:00,000 en el B, 381 00:22:00,000 --> 00:22:03,000 vamos a copiarlo, el B es 382 00:22:03,000 --> 00:22:06,000 3XY 383 00:22:06,000 --> 00:22:09,000 menos 2X cuadrado Y 384 00:22:09,000 --> 00:22:12,000 más XY al cuadrado, 385 00:22:12,000 --> 00:22:15,000 me voy al papel, 386 00:22:15,000 --> 00:22:18,000 aquí, ¿vale? 387 00:22:18,000 --> 00:22:21,000 en este caso tengo tres términos, 388 00:22:21,000 --> 00:22:24,000 pues yo tengo que ver qué está multiplicando 389 00:22:24,000 --> 00:22:27,000 de manera común en estos tres monomios, 390 00:22:27,000 --> 00:22:30,000 primero, como coeficiente, la parte numérica, 391 00:22:30,000 --> 00:22:33,000 y aquí tengo un 3, que solo lo puedo dividir 392 00:22:33,000 --> 00:22:36,000 entre 1 y entre 3, 393 00:22:36,000 --> 00:22:39,000 el 2, que solo lo puedo dividir entre 1 y entre 2, 394 00:22:39,000 --> 00:22:42,000 y el 1 entre 1, luego, aquí, de coeficiente común, 395 00:22:42,000 --> 00:22:45,000 como mucho puedo sacar el 1, que no me aporta nada, 396 00:22:45,000 --> 00:22:48,000 pero ahora me fijo en las letras, tengo X, 397 00:22:48,000 --> 00:22:51,000 y la X está en todas, ¿no? 398 00:22:51,000 --> 00:22:54,000 X elevado a 1, X elevado a 2, X elevado a 1, 399 00:22:54,000 --> 00:22:57,000 pues la más chiquitita es X elevado a 1, pues, 400 00:22:57,000 --> 00:23:00,000 voy a poder sacar como factor común X elevado a 1, 401 00:23:00,000 --> 00:23:03,000 ¿y la Y es común? Está en el primer término, 402 00:23:03,000 --> 00:23:06,000 está en el segundo y está en el tercero, 403 00:23:06,000 --> 00:23:09,000 sí, pues también la puedo sacar como factor común, 404 00:23:09,000 --> 00:23:12,000 ¿con qué exponente? Pues elevado a 1, elevado a 1 y elevado a 2, 405 00:23:12,000 --> 00:23:15,000 X por Y va a ser factor común, 406 00:23:15,000 --> 00:23:18,000 lo voy a sacar fuera, ¿a qué multiplica? Pues, 407 00:23:18,000 --> 00:23:21,000 nos fijamos en el 3XY, el 3 no lo he tocado, 408 00:23:21,000 --> 00:23:24,000 la X tenía 1 y sacó 1 fuera, 409 00:23:24,000 --> 00:23:27,000 pues 1 menos 1 es 0, Y tenía 1 y la sacó fuera, 410 00:23:27,000 --> 00:23:30,000 pues ya está, claro, 3 por XY, 3XY. 411 00:23:30,000 --> 00:23:33,000 Siguiente término, el menos 2, hemos dicho 412 00:23:33,000 --> 00:23:36,000 que no tocábamos la parte del coeficiente, 413 00:23:36,000 --> 00:23:39,000 y ahora voy a las X, tengo 1 hasta 2, 414 00:23:39,000 --> 00:23:42,000 me falta 1, pues X elevado a 1, 415 00:23:42,000 --> 00:23:45,000 la 6 tenía 1 y necesito total 1, 416 00:23:45,000 --> 00:23:48,000 pues ya la tengo, no puedo poner nada más. 417 00:23:48,000 --> 00:23:51,000 Si yo multiplicara, fijaros, menos 2X por XY, 418 00:23:51,000 --> 00:23:54,000 menos 2, X por X es X al cuadrado y la Y, lo tengo. 419 00:23:54,000 --> 00:23:57,000 Y en el tercer término, 420 00:23:57,000 --> 00:24:00,000 es coeficiente más 1, y a ver, la X 421 00:24:00,000 --> 00:24:03,000 tenía X elevado a 1 y ya la tengo fuera, 422 00:24:03,000 --> 00:24:06,000 y la Y era elevado a 2 y he sacado 1 fuera, 423 00:24:06,000 --> 00:24:09,000 si yo 1 a 2, me falta 1, pues Y, 424 00:24:09,000 --> 00:24:12,000 y si multiplico XY por Y, fijaros, 425 00:24:12,000 --> 00:24:15,000 XX y la Y, Y por Y, suma exponentes, 426 00:24:15,000 --> 00:24:18,000 1 más 1, 2. 427 00:24:18,000 --> 00:24:21,000 Luego ya estaría sacado factor común. 428 00:24:21,000 --> 00:24:24,000 Con esto quedaría visto 429 00:24:24,000 --> 00:24:27,000 lo básico de este tema. 430 00:24:27,000 --> 00:24:30,000 Podemos irnos al aula virtual, 431 00:24:30,000 --> 00:24:33,000 y si vamos a algunos de los cuestionarios 432 00:24:33,000 --> 00:24:36,000 que tenemos, que se puede hacer, 433 00:24:36,000 --> 00:24:39,000 antes de comenzar el examen, 434 00:24:39,000 --> 00:24:42,000 entre las preguntas que nos aparezcan, 435 00:24:42,000 --> 00:24:45,000 con polinomios, el primero me dice 436 00:24:45,000 --> 00:24:48,000 quién es P, quién es R, 437 00:24:48,000 --> 00:24:51,000 calcula el polinomio Q tal que P más Q sea igual a R. 438 00:24:51,000 --> 00:24:54,000 Si yo aquí me pide calcular Q, tengo que despejarlo, 439 00:24:54,000 --> 00:24:57,000 pues esta P la tengo que pasar restando. 440 00:24:57,000 --> 00:25:00,000 Lo que tengo que calcular será R menos P, 441 00:25:00,000 --> 00:25:03,000 en el segundo me dice quién es P, 442 00:25:03,000 --> 00:25:06,000 quién es Q y quién es R, 443 00:25:06,000 --> 00:25:09,000 y me dice que calcule 2P menos 3R, 444 00:25:09,000 --> 00:25:12,000 pues multiplico el polinomio P por 2 445 00:25:12,000 --> 00:25:15,000 todos sus términos, 446 00:25:15,000 --> 00:25:18,000 multiplico el polinomio R 447 00:25:18,000 --> 00:25:21,000 todos sus términos por 3, 448 00:25:21,000 --> 00:25:24,000 y luego pues restamos. 449 00:25:24,000 --> 00:25:27,000 Importante, este menos afecta a todo 450 00:25:27,000 --> 00:25:30,000 va a cambiar el signo a todo, 451 00:25:30,000 --> 00:25:33,000 no RX sino al 3RX, 452 00:25:33,000 --> 00:25:36,000 me van a cambiar ahí todos los signos. 453 00:25:36,000 --> 00:25:39,000 En este otro de aquí tenemos Q y R 454 00:25:39,000 --> 00:25:42,000 y que calcule P tal que P menos Q 455 00:25:42,000 --> 00:25:45,000 sea igual a R. 456 00:25:45,000 --> 00:25:48,000 Si el que yo no conozco es P, 457 00:25:48,000 --> 00:25:51,000 pues lo que tengo que hacer es dejarlo solito. 458 00:25:51,000 --> 00:25:54,000 Este menos Q lo paso a la derecha, 459 00:25:54,000 --> 00:25:57,000 la operación que yo debo hacer será 460 00:25:57,000 --> 00:26:00,000 R más Q. 461 00:26:00,000 --> 00:26:03,000 ¿Qué más ejercicios podemos encontrar? 462 00:26:03,000 --> 00:26:06,000 Pues fijaros, 463 00:26:06,000 --> 00:26:09,000 otro igual de sumas y restas, 464 00:26:09,000 --> 00:26:12,000 P menos Q más R, 465 00:26:12,000 --> 00:26:15,000 otro de restas, 466 00:26:15,000 --> 00:26:18,000 en el octavo P más Q por R, 467 00:26:18,000 --> 00:26:21,000 pues tenemos que multiplicar Q por R 468 00:26:21,000 --> 00:26:24,000 y luego sumarlo al polinomio P. 469 00:26:29,000 --> 00:26:32,000 Y a ver si quiere pasar de página, 470 00:26:32,000 --> 00:26:35,000 y en este último pues ya veis, 471 00:26:35,000 --> 00:26:38,000 aquí tenemos un producto, pero si os fijáis, 472 00:26:38,000 --> 00:26:41,000 yo puedo multiplicar término a término 473 00:26:41,000 --> 00:26:44,000 o también puedo verlo como una identidad notable 474 00:26:44,000 --> 00:26:47,000 de las que hemos visto y una identidad notable, 475 00:26:47,000 --> 00:26:50,000 en este caso, que tengo el producto 476 00:26:50,000 --> 00:26:53,000 lo calculáis y busquéis aquí la respuesta. 477 00:26:53,000 --> 00:26:56,000 O en este otro dice, 478 00:26:56,000 --> 00:26:59,000 escribe los términos que faltan en las siguientes igualdades. 479 00:26:59,000 --> 00:27:02,000 Aquí busca como una identidad notable, 480 00:27:02,000 --> 00:27:05,000 fijaros que está aquí elevado a 4. 481 00:27:05,000 --> 00:27:08,000 Y aquí hay un término que está un poco más elevado 482 00:27:08,000 --> 00:27:11,000 en lugar que tendré que poner un exponente. 483 00:27:11,000 --> 00:27:14,000 Si yo me fijo y digo, bueno, es una suma, 484 00:27:14,000 --> 00:27:17,000 un cuadrado, pues el cuadrado de una suma, 485 00:27:18,000 --> 00:27:21,000 yo me quedo con que el 16X al cuadrado 486 00:27:21,000 --> 00:27:24,000 es el primero de los cuadrados 487 00:27:24,000 --> 00:27:27,000 y el 49I cuadrado será el segundo de los cuadrados. 488 00:27:27,000 --> 00:27:30,000 16, el opuesto del cuadrado 489 00:27:30,000 --> 00:27:33,000 es la raíz cuadrada, pues 490 00:27:33,000 --> 00:27:36,000 la raíz cuadrada de 16 es 4. 491 00:27:36,000 --> 00:27:39,000 Y X, si ya tengo elevado a 4, 492 00:27:39,000 --> 00:27:42,000 es porque ya está elevado al cuadrado, 493 00:27:42,000 --> 00:27:45,000 luego tengo que hacerle la raíz cuadrada de 4, 494 00:27:45,000 --> 00:27:48,000 4X al cuadrado. 495 00:27:48,000 --> 00:27:51,000 De tal forma que si yo elevara al cuadrado, 496 00:27:51,000 --> 00:27:54,000 4X al cuadrado, al cuadrado tendré 4x4, 497 00:27:54,000 --> 00:27:57,000 16, y X al cuadrado, al cuadrado, 498 00:27:57,000 --> 00:28:00,000 2x2, 4. Lo mismo con el otro cuadrado, 499 00:28:00,000 --> 00:28:03,000 que es el 49I al cuadrado. 500 00:28:03,000 --> 00:28:06,000 49 es 7 al cuadrado, pues 7. 501 00:28:06,000 --> 00:28:09,000 Y la I al cuadrado es I por I. 502 00:28:09,000 --> 00:28:12,000 Es I, busco su raíz cuadrada. 503 00:28:12,000 --> 00:28:15,000 De I al cuadrado, qué número he multiplicado por sí mismo, 504 00:28:15,000 --> 00:28:18,000 me da I al cuadrado. 505 00:28:18,000 --> 00:28:21,000 Y podéis comprobar el desarrollo que nos da esto de aquí. 506 00:28:21,000 --> 00:28:24,000 Así con todos ellos. 507 00:28:24,000 --> 00:28:27,000 El segundo es el cuadrado de una diferencia 508 00:28:27,000 --> 00:28:30,000 y en el último es el producto de una suma por una diferencia. 509 00:28:30,000 --> 00:28:33,000 Y con esto quedaría visto 510 00:28:33,000 --> 00:28:36,000 lo que es el tema de polinomios.