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00:00:12,269 --> 00:00:17,510
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:17,510 --> 00:00:22,030
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:22,030 --> 00:00:26,769
de la unidad PR5 dedicada a la teoría de muestras y las distribuciones en el muestreo.

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00:00:31,179 --> 00:00:35,240
En la videoclase de hoy resolveremos el ejercicio propuesto 2.

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00:00:47,570 --> 00:00:53,429
En este ejercicio se nos pide considerar datos de población española a 1 de enero de 2023.

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00:00:54,390 --> 00:00:59,310
Tenemos la población total en el país, algo más de 48 millones de personas,

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00:00:59,450 --> 00:01:03,030
aquí está la cifra exacta, de las cuales son nacidas en el extranjero

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00:01:03,030 --> 00:01:06,329
algo más de 6 millones de personas, aquí tenemos la cifra exacta.

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00:01:07,069 --> 00:01:10,549
Y se nos pide que consideremos una cierta localidad de 20.000 habitantes

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00:01:10,549 --> 00:01:15,849
y calculemos la probabilidad de que en esa localidad haya menos de 2.500 personas

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00:01:15,849 --> 00:01:21,090
nacidas en el extranjero y de que haya menos de 17.400 personas nacidas en España.

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00:01:21,989 --> 00:01:28,909
Lo primero que vamos a hacer es transformar este ejercicio tal y como se nos ha dado en términos de una proporción.

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00:01:29,390 --> 00:01:35,709
La proporción que vamos a considerar es, a la vista de los datos que tenemos, la de personas nacidas en el extranjero.

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00:01:36,349 --> 00:01:41,469
Podemos calcular de la población española la proporción poblacional.

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00:01:42,049 --> 00:01:46,870
Tenemos el dato total de personas nacidas en el extranjero, el dato total de personas en España

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00:01:46,870 --> 00:01:53,349
y aquí tenemos pi, el resultado del cálculo de esa proporción poblacional, 0,1266.

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00:01:54,709 --> 00:01:59,109
Vamos a considerar una variable aleatoria X mayúscula binomial

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00:01:59,109 --> 00:02:03,409
que cuente el número de personas nacidas en el extranjero.

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00:02:04,049 --> 00:02:07,989
Y vamos a considerar un número de repeticiones igual a estos 20.000 habitantes

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00:02:07,989 --> 00:02:12,370
en la población, en la localidad en la que estamos estudiando.

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00:02:12,370 --> 00:02:19,389
esa localidad de sus 20.000 habitantes de esa localidad suponen una muestra puesto que es un

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00:02:19,389 --> 00:02:25,490
subconjunto de la población total española y los datos la probabilidad que se nos pregunta acerca

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00:02:25,490 --> 00:02:31,229
de las personas nacidas en el extranjero dentro de esa localidad las vamos a transformar en

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00:02:31,229 --> 00:02:36,789
preguntas acerca de la proporción muestral considerando esa muestra de 20.000 habitantes

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00:02:37,330 --> 00:02:52,750
Como vemos aquí, la variable aleatoria x, que cuenta el número de personas nacidas en el extranjero, va a seguir una distribución binomial con 20.000, con número de repeticiones igual a 20.000, y con una proporción de éxito que va a coincidir con la poblacional.

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00:02:52,750 --> 00:03:08,949
Nos preguntamos por la proporción muestral y sabemos que esa proporción va a seguir una distribución normal con media igual a la probabilidad de éxito poblacional, a la proporción poblacional pi que habíamos calculado y era igual a 0,1266

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00:03:08,949 --> 00:03:17,330
y desviación típica que se calcula como la red cuadrada de pi por 1 menos pi dividido entre n en el tamaño de la muestra.

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00:03:18,330 --> 00:03:22,849
Haciendo el cálculo, la desviación típica es igual a 0,0024.

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00:03:23,650 --> 00:03:30,849
Ahora que tenemos el conocimiento de que la proporción muestral sigue una distribución normal con esta media y esta desviación típica,

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00:03:31,629 --> 00:03:38,969
se nos pide por la probabilidad de que de estas 20.000 personas haya menos de 2.500 nacidas en el extranjero.

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00:03:39,569 --> 00:03:44,229
Tenemos que transformar la pregunta en términos de la proporción muestral.

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00:03:44,229 --> 00:03:49,129
2.500 personas nacidas en el extranjero de 20.000 habitantes

33
00:03:49,129 --> 00:03:52,430
equivale a una proporción igual a 0,125.

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00:03:53,169 --> 00:03:57,330
Así pues, se nos pide por la probabilidad de que la proporción muestral

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00:03:57,330 --> 00:03:59,210
sea menor que 0,125.

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00:04:00,169 --> 00:04:02,389
Lo primero que vamos a hacer, igual que en el ejercicio anterior,

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00:04:02,389 --> 00:04:07,930
es tipificar. Tenemos que esta P en el interior del suceso,

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00:04:08,030 --> 00:04:11,069
que es la proporción muestral, sigue una distribución normal

39
00:04:11,069 --> 00:04:13,789
que no es la estándar. Tiene esta media y esta desviación típica.

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00:04:14,229 --> 00:04:20,269
Pues bien, en el suceso lo que vamos a hacer es, en todos los términos, restar la media, dividir entre la desviación típica,

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00:04:20,769 --> 00:04:28,149
y entonces transformamos P, que sigue una distribución normal que no es estándar, en esta Z, que sí sigue una distribución estándar.

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00:04:28,569 --> 00:04:34,529
Se nos pregunta, en última instancia, por la probabilidad de que Z, normal estándar, que sigue una normal estándar,

43
00:04:34,970 --> 00:04:39,310
sea menor que este valor de abscisa menos 0,67, negativo.

44
00:04:39,810 --> 00:04:44,170
Lo primero que vamos a hacer es considerar la simetría de la distribución normal.

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00:04:44,310 --> 00:04:53,269
La probabilidad de que z sea menor que esta abscisa negativa coincide con la probabilidad de que z sea mayor que el correspondiente simétrico, la abscisa positiva, 0,67.

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00:04:54,089 --> 00:04:59,050
Aquí tenemos una cola de la derecha, puesto que tenemos probabilidad de que z sea mayor que 0,67.

47
00:04:59,750 --> 00:05:06,089
En la tabla de la distribución normal tenemos únicamente las colas de la izquierda, así que tenemos que considerar el suceso contrario.

48
00:05:06,089 --> 00:05:13,889
Esta probabilidad que se nos pide es igual a 1 menos la probabilidad del suceso contrario, esto es, que z sea menor o igual que 0,67.

49
00:05:14,689 --> 00:05:22,269
Esta probabilidad la podemos leer en la tabla de la distribución normal, es 0,7486, y al final la probabilidad que se nos pide,

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00:05:22,810 --> 00:05:34,889
la de que haya menos de 2.500 personas de esta localidad nacidas en el extranjero, esto es, que la proporción muestral sea menor que 0,125, resulta ser 0,2514.

51
00:05:34,889 --> 00:05:58,610
En el siguiente apartado se nos pide por la probabilidad de que haya menos de 17.400 personas nacidas en España. Puesto que nosotros estamos hablando de probabilidad de éxito, definiendo éxito a personas nacidas en el extranjero, tenemos que transformar la pregunta para que la proporción que calculemos se corresponda a personas nacidas en el extranjero.

52
00:05:58,610 --> 00:06:24,009
Lo que tenemos que hacer es de los 20.000 habitantes de la localidad restar estas 17.400 personas nacidas en España y entonces vemos que esto equivale a que haya 2.600 personas nacidas en el extranjero y la probabilidad que se nos pide que haya menos de 17.400 personas nacidas en España equivale a que haya más de 2.600 personas nacidas en el extranjero.

53
00:06:24,009 --> 00:06:41,089
La proporción de estas 2.600 personas referente a un total de habitantes de la localidad igual a 20.000 es 0,13, así que se nos pide calcular la probabilidad de que la proporción muestral de personas nacidas en el extranjero sea mayor que 0,13.

54
00:06:41,709 --> 00:07:00,009
Como he mencionado en el apartado anterior, lo primero que hemos de hacer es tipificar, puesto que tenemos P que sigue una distribución normal no estándar, restamos su media, dividimos entre su desviación típica y transformamos la pregunta de P a una pregunta en términos de Z que sigue una distribución normal estándar.

55
00:07:01,009 --> 00:07:04,550
En este caso es la probabilidad de que Z sea mayor que 1,42.

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00:07:05,129 --> 00:07:09,730
Se trata de una cola de la derecha con una abstisa positiva, así que hemos de utilizar el suceso contrario.

57
00:07:10,389 --> 00:07:16,290
Esta probabilidad es 1 menos la probabilidad del suceso contrario, que Z sea menor o igual que 1,42.

58
00:07:17,029 --> 00:07:19,910
Esta probabilidad se puede leer en la tabla de la distribución normal.

59
00:07:19,910 --> 00:07:28,829
Y en última instancia, la probabilidad pedida, la de que haya menos de 17.400 personas nacidas en España en esa localidad de 20.000 habitantes,

60
00:07:28,829 --> 00:07:37,829
que equivale a que la proporción de personas nacidas en el extranjero sea mayor que 0,13, resulta ser 0,0778.

61
00:07:41,980 --> 00:07:47,560
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

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00:07:48,300 --> 00:07:52,420
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

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00:07:53,220 --> 00:07:57,980
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

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00:07:58,519 --> 00:07:59,939
Un saludo y hasta pronto.