1
00:00:00,240 --> 00:00:05,120
Bueno, vamos por fin con el último ejercicio del examen, el ejercicio 5, que era un integral.

2
00:00:05,900 --> 00:00:11,419
Era un ejercicio en el que había que calcular el área definida por dos funciones.

3
00:00:11,419 --> 00:00:18,359
Una cúbica, f de x igual a x cubo, y una parábola, g de x igual a 2x cuadrado menos x.

4
00:00:18,820 --> 00:00:25,899
Bueno, ahí tenemos las dos funciones y lo que nos piden en primer lugar es determinar los puntos de intersección.

5
00:00:26,059 --> 00:00:29,079
Tenemos dos puntos de intersección, va a haber por lo que parece a y b.

6
00:00:29,079 --> 00:00:33,740
Después tenemos que demostrar que la función f está por encima de la función g

7
00:00:33,740 --> 00:00:37,759
Y luego tenemos que calcular razonadamente el área entre las dos funciones

8
00:00:37,759 --> 00:00:38,859
Venga, vamos allá

9
00:00:38,859 --> 00:00:44,600
Para ello en el apartado a lo que deberemos hacer será igualar f de x a g de x

10
00:00:44,600 --> 00:00:47,899
Para saber cuando los valores de las funciones son iguales

11
00:00:47,899 --> 00:00:49,719
De ahí nos sale esta ecuación

12
00:00:49,719 --> 00:00:56,289
Y esa ecuación la resolvemos despejando

13
00:00:56,289 --> 00:01:00,710
Y como podemos sacar factor común aquí a la x

14
00:01:00,710 --> 00:01:06,310
Ups, ya iba a poner factorizado, veréis que eso nos va a dar una identidad notable

15
00:01:06,310 --> 00:01:11,709
Yo ya iba directamente a ponerla factorizada

16
00:01:11,709 --> 00:01:13,310
Vamos a ponerla paso a paso

17
00:01:13,310 --> 00:01:19,829
X por X cuadrado menos 2X más 1

18
00:01:19,829 --> 00:01:21,530
Y aquí había una X, ¿verdad?

19
00:01:22,709 --> 00:01:23,629
Igual a 0

20
00:01:23,629 --> 00:01:27,510
Y entonces de ahí tenemos dos posibles soluciones

21
00:01:27,510 --> 00:01:31,170
x igual a 0 o x cuadrado menos 2x más 1 igual a 0

22
00:01:31,170 --> 00:01:34,670
y esta última ecuación, como decía, es una identidad notable

23
00:01:34,670 --> 00:01:38,450
porque eso es x menos 1 al cuadrado igual a 0

24
00:01:38,450 --> 00:01:42,349
de donde la otra solución no hay más que otra

25
00:01:42,349 --> 00:01:44,790
x igual a 0 y x igual a 1 son las soluciones

26
00:01:44,790 --> 00:01:49,750
eso que implica, lo que implica es que las funciones

27
00:01:49,750 --> 00:01:53,750
se van a cortar en dos puntos, en el x, en la altura x

28
00:01:53,750 --> 00:01:57,230
y en la altura 1, x igual a 0 quiero decir y x igual a 1

29
00:01:57,230 --> 00:02:04,790
Vamos a calcular los puntos de corte, para ellos como que hiciésemos una tabla de valores para la función g y la función f

30
00:02:04,790 --> 00:02:09,530
que bueno, pues evidentemente van a valer lo mismo porque para eso son puntos de corte en el 0 y en el 1

31
00:02:09,530 --> 00:02:17,229
Si damos el valor a la función f, recordemos que la función f es x cubo, la función en el 0 vale 0 igual que la g

32
00:02:17,229 --> 00:02:21,289
y la función en el 1 igual que la g vale 1

33
00:02:21,289 --> 00:02:28,590
Bien, entonces tenemos dos puntos, por tanto, el punto 0, 0 y el punto 1, 1

34
00:02:28,590 --> 00:02:35,229
Los dibujamos, están como tal que ahí, ese sería mi punto A y ese es el punto B que nos están pidiendo

35
00:02:35,229 --> 00:02:36,449
Ya tenemos el apartado A

36
00:02:36,449 --> 00:02:42,110
Ahora en el apartado B nos piden que la función f de x sea mayor o igual que g de x

37
00:02:42,110 --> 00:02:45,750
Bueno, pues, ¿cómo lo podemos probar?

38
00:02:45,930 --> 00:02:50,770
Primero, nos damos cuenta de que solo hay dos puntos de corte entre las dos funciones

39
00:02:50,770 --> 00:02:56,409
Y como son continuas, podemos buscar cuánto vale la función en el 1 medio, tanto la f como la g.

40
00:02:56,849 --> 00:03:00,110
Es decir, podemos evaluar la función en el 1 medio.

41
00:03:00,469 --> 00:03:04,530
La función en el 1 medio, si la evaluamos, es 1 medio al cubo.

42
00:03:04,610 --> 00:03:07,310
Vamos a hacerlo aquí por separado para ponerlo en orden.

43
00:03:08,569 --> 00:03:16,129
Si calculamos f de x en el 1 medio, tendríamos que eso vale 1 medio al cubo, es decir, 1 octavo.

44
00:03:16,509 --> 00:03:19,830
Vamos a ver, vamos a ver, 1 octavo.

45
00:03:19,830 --> 00:03:26,889
Vamos a ver cuánto vale la función g. Recuerda que la función g era 2x cuadrado menos x.

46
00:03:27,330 --> 00:03:34,810
Entonces, pues sustituimos por el 1 medio, 2 por 1 medio al cuadrado menos x, menos 1 medio,

47
00:03:35,469 --> 00:03:42,710
valdrá 2 por 1 cuarto menos 1 medio es 0.

48
00:03:43,389 --> 00:03:45,710
¿La función vale 0? Sí, la función vale 0.

49
00:03:45,710 --> 00:03:50,090
Bueno, esta es una parábola que, bueno, pues que pasa por aquí, vamos a dibujarla.

50
00:03:51,090 --> 00:04:05,409
Entonces, pasa por ahí, menos b, efectivamente está bien, estaba comprobando dónde quedaba el vértice, va a pasar por ahí y por ahí y luego va a ir hacia acá.

51
00:04:06,030 --> 00:04:21,009
Y luego la cúbica, pues la función cúbica va a hacer algo tal que así, vamos a dibujarla de otro color, algo así.

52
00:04:21,009 --> 00:04:31,639
Bueno, pues entonces el área que tenemos que calcular es lo que queda en medio

53
00:04:31,639 --> 00:04:40,029
Vamos allá, entonces vamos a comprobar de todas formas

54
00:04:40,029 --> 00:04:43,910
Hay algo que no me encaja del todo, si esto sería un octavo

55
00:04:43,910 --> 00:04:46,949
Aquí este es el valor de un octavo, más o menos

56
00:04:46,949 --> 00:04:48,550
Eso es

57
00:04:48,550 --> 00:04:51,310
Entonces tenemos que calcular esa área

58
00:04:51,310 --> 00:04:54,350
Eso es el apartado C

59
00:04:54,350 --> 00:05:04,569
Como la cúbica está por encima, para calcular el área entre la función f y la función g

60
00:05:04,569 --> 00:05:09,509
Lo que vamos a tener que integrar es la función f de x menos g de x

61
00:05:09,509 --> 00:05:13,129
Esa función va a ser positiva porque f es mayor que g en el intervalo

62
00:05:13,129 --> 00:05:17,709
¿En qué intervalo? Pues de 0 a 1, que es donde se cortan las dos funciones

63
00:05:17,709 --> 00:05:21,470
Y ese es el área que tenemos que calcular, nos va a quedar así

64
00:05:21,470 --> 00:05:25,449
f va a ser mayor que g, por lo tanto esta resta es positiva

65
00:05:25,449 --> 00:05:29,689
y como se cortan para los valores de x igual a 0 y x igual a 1, pues ese es el área.

66
00:05:30,670 --> 00:05:34,069
Entonces vamos a sustituir los valores, calculamos la integral y se acaba.

67
00:05:34,850 --> 00:05:41,949
Entre 0 y 1 de x cubo menos 2x cuadrado menos x, esa es la g, ¿verdad?

68
00:05:42,870 --> 00:05:43,689
Diferencial de x.

69
00:05:44,730 --> 00:05:45,129
Calculemos.

70
00:05:53,329 --> 00:05:58,209
Y ahora es integral. Primero vamos a integrar y luego sustituir por los valores 0 y 1.

71
00:05:58,209 --> 00:06:10,670
La integral de x cubo es x cuarto partido por 4, la integral de menos 2x cuadrado será menos 2x cubo partido por 3 y la integral de x, x cuadrado partido por 2.

72
00:06:11,569 --> 00:06:24,939
Sustituyendo en el 0 y en el 1 obtendremos por la regla de Barrow, ahora lo que vamos a hacer es aplicar Barrow, para ello tendremos f mayúscula es esta, la primitiva,

73
00:06:24,939 --> 00:06:29,420
y pues f de 1 menos f de 0

74
00:06:29,420 --> 00:06:35,379
y eso es un cuarto menos dos tercios más un medio

75
00:06:35,379 --> 00:06:40,600
y eso es, si no me equivoco, pues tres cuartos menos dos tercios

76
00:06:40,600 --> 00:06:41,579
va a dar poquito, ¿verdad?

77
00:06:42,600 --> 00:06:45,660
3 por 3 es 9, 9 partido por 12

78
00:06:45,660 --> 00:06:49,399
menos 4 por 2 es 8, 8 partido por 12

79
00:06:49,399 --> 00:06:53,100
total 1 partido por 12 unidades cuadradas

80
00:06:53,100 --> 00:06:59,139
Esa es el valor de la integral y con eso se acaba el ejercicio y el examen entero.

81
00:06:59,779 --> 00:07:08,459
Espero que os haya resultado útil y nos vemos en los próximos ejercicios, en el próximo examen, si seguimos creciendo exámenes.

82
00:07:08,540 --> 00:07:08,860
Hasta luego.