1
00:00:14,339 --> 00:00:21,160
Buenas, en este vídeo vamos a intentar explicar los distintos casos que se nos pueden presentar para calcular el área bajo una función.

2
00:00:21,719 --> 00:00:30,640
El caso 1 es el caso más sencillo en el cual nosotros tenemos la función f de x igual a x al cuadrado

3
00:00:30,640 --> 00:00:40,280
y ya nos dicen los límites de integración entre 0 y 1, entre x igual a 0 y x igual a 1.

4
00:00:40,280 --> 00:01:03,240
Nosotros sabemos que el área es igual a la integral entre 0 y 1 de esa función f de x, esta función es inmediata, x al cuadrado, recordemos que es la integral de toda función polinómica x elevado a n diferencial de x, es igual a x elevado a n más 1 partido n más 1 más k.

5
00:01:03,240 --> 00:01:18,219
Este más k es las indefinidas. Si nosotros tenemos una función definida, pues lo que hacemos es poner los límites de integración. Este 1 lo ponemos aquí y este 0 lo ponemos aquí.

6
00:01:18,219 --> 00:01:28,599
¿Y eso cómo se traduce? Pues primero sustituimos, una vez que ya hemos integrado en el x al cubo partido de 3, que es la integral de x al cuadrado,

7
00:01:29,299 --> 00:01:43,260
sustituimos la x por 1, en este caso sería 1 al cubo partido de 3, y luego le restamos el sustituir en esta función, es decir, en la integral ya realizada,

8
00:01:43,260 --> 00:01:47,079
la x por el límite superior que en este caso es 0

9
00:01:47,079 --> 00:01:50,980
un tercio menos 0 pues nos queda un tercio

10
00:01:50,980 --> 00:01:54,019
es decir, todo este área que está aquí en negro

11
00:01:54,019 --> 00:01:58,700
que esta es la función f de x igual a x al cuadrado

12
00:01:58,700 --> 00:02:01,280
esto es los límites de integración entre 0 y 1

13
00:02:01,280 --> 00:02:08,099
pues todo este área sombreada en negro y ahora en medio verde

14
00:02:08,099 --> 00:02:11,219
pues es un tercio unidades al cuadrado

15
00:02:11,219 --> 00:02:16,520
Recordar que las áreas se miden en metros al cuadrado o centímetros al cuadrado.

16
00:02:16,699 --> 00:02:20,860
Cuando no nos dicen qué unidades, siempre se pone unidades al cuadrado.

17
00:02:21,219 --> 00:02:21,259
¿Vale?

18
00:02:21,360 --> 00:02:24,740
Súper importante, unidades cuadradas.

19
00:02:25,219 --> 00:02:25,379
¿Vale?

20
00:02:25,960 --> 00:02:31,639
Lo importante que tenemos que saber nosotros en el cálculo de área es saber representar nuestra función.

21
00:02:32,199 --> 00:02:35,439
Las funciones polinómicas son bastante sencillas.

22
00:02:35,439 --> 00:02:46,860
Partimos las rectas, que es la función polinómica de primer grado, mx más n, donde nosotros al tener dos puntos de una recta, pues ya tenemos definida toda la recta.

23
00:02:46,860 --> 00:03:04,699
Con lo cual, si nuestra función es de primer grado, lo que hacemos es, por ejemplo, los cortes con los ejes, tanto x como y, una vez que yo ya tenga el corte con las x y el corte con las y, yo uno y ya tengo lo que es mi función polinómica, que es una recta.

24
00:03:04,699 --> 00:03:25,520
En el caso de tener una función de segundo grado, que es del tipo ax al cuadrado más bx más c, nos puede ocurrir dos cosas, ¿no? Puede ser una función del tipo así u otra función hacia arriba, es una parábola, y lo que tenemos que tener muy claro es precisamente, pues, esto.

25
00:03:25,520 --> 00:03:46,639
Si es, digamos, con los cuernos hacia abajo o los cuernos hacia arriba, pues ver también si tiene cortes con los ejes de las X o no, porque muchas veces nos podemos encontrar, por ejemplo, una función parabólica cuyo máximo sea negativo y vaya hacia abajo, pues si te das cuenta aquí no llega a cortar nunca al eje de los X.

26
00:03:46,639 --> 00:04:02,740
Sin embargo, si es una función parabólica con los cuernos hacia arriba y el mínimo es positivo, pues vemos que tampoco va a cortar al eje de las X que va hacia arriba, ¿no? Entonces eso es importante de cara también a las áreas, ¿no?

27
00:04:03,680 --> 00:04:10,039
Luego, como es el caso 2, me interesa mucho porque es una ecuación de tercer grado.

28
00:04:10,180 --> 00:04:14,960
Normalmente las ecuaciones de tercer grado suelen tener tres raíces.

29
00:04:15,120 --> 00:04:19,279
Las que aparecen en el BAU todas tienen tres raíces.

30
00:04:19,399 --> 00:04:20,300
¿Y eso qué significa?

31
00:04:20,500 --> 00:04:25,639
En una función de tercer grado, voy a cambiar un momentillo el color.

32
00:04:25,639 --> 00:04:42,240
Si yo tengo aquí mi función de tercer grado y tengo tres raíces, ¿vale? Pues va a hacer que yo tenga aquí, por ejemplo, una raíz, aquí otra, en este caso coincide con cero, pero no tiene por qué, y aquí la tercera raíz, ¿no?

33
00:04:42,240 --> 00:05:01,759
Bueno, esto es muy importante porque normalmente el área, si nos piden el área de la función respecto al eje o X, pues nosotros aquí tenemos distintos casos. Siempre que esté la función por encima de la X es positivo y el área es positiva.

34
00:05:01,759 --> 00:05:15,120
Sin embargo, aquí, si nosotros hacemos los límites de integración, nos va a salir el área negativa, porque la función está por debajo del valor de las si es negativa.

35
00:05:15,420 --> 00:05:21,199
¿Qué ocurre? Que el área siempre es positiva. Entonces, en este caso, lo que hacemos es el valor absoluto.

36
00:05:21,860 --> 00:05:31,939
Vamos a ir al ejemplo que tenemos, que es x al cubo menos x, esa es una función de tercer grado, con lo cual va a tener tres raíces,

37
00:05:32,060 --> 00:05:38,160
vemos que es una función incompleta, si fuese completa no nos quedaría más remedio que hacer Ruffini,

38
00:05:38,160 --> 00:05:44,019
pero sin embargo aquí lo que vemos es que podemos sacar factor común, sacar factor común x,

39
00:05:44,019 --> 00:06:05,060
Si yo saco factor común x, me queda el otro polinomio x cuadrado menos 1, esto es una igualdad notable, si no nos acordamos de la igualdad notable, pues aquí lo que podemos aplicar es la típica fórmula de x, de ecuación de segundo grado,

40
00:06:05,060 --> 00:06:08,259
ecuación de segundo grado donde

41
00:06:08,259 --> 00:06:13,600
nosotros hacemos que x es igual a

42
00:06:13,600 --> 00:06:15,779
b al cuadrado más menos

43
00:06:15,779 --> 00:06:20,660
perdona, b al cuadrado no, a ver, perdona, menos b

44
00:06:20,660 --> 00:06:25,040
ay que coraje, que va a ser rápido

45
00:06:25,040 --> 00:06:29,379
y estoy tardando más, es menos b

46
00:06:29,379 --> 00:06:32,899
más menos b al cuadrado menos 4ac

47
00:06:32,899 --> 00:06:44,639
partido de 2a, y nosotros en este caso, si x cuadrado menos 1, vaya tela, x cuadrado menos 1, nosotros lo hacemos por esta fórmula de aquí de toda la vida,

48
00:06:45,120 --> 00:06:53,680
pues también nos sale el x más 1 y el x menos 1. ¿Esto qué significa? Pues que nosotros tenemos aquí tres raíces, tres raíces, que es x igual a 0,

49
00:06:53,680 --> 00:07:12,060
Aquí es x menos 1 y aquí x más 1. Gráficamente, pues gráficamente podemos observar que nuestra función f de x corta al eje de las x en x igual a menos 1, que está aquí. Aquí está el menos 1, aquí está el 0 y aquí está el 1.

50
00:07:12,060 --> 00:07:17,220
Es importante saber si estamos en la parte de arriba o en la parte de abajo

51
00:07:17,220 --> 00:07:24,079
¿Por qué? Porque esto, si yo hago los límites de integración entre menos 1 y 0 me va a salir positivo

52
00:07:24,079 --> 00:07:29,120
Y si yo hago la integral entre 0 y 1 me va a salir negativa

53
00:07:29,120 --> 00:07:33,379
¿Por qué? Porque la función está en los valores de i negativos

54
00:07:33,379 --> 00:07:51,100
¿Qué ocurre? Que en este caso de aquí, que yo sé que está por debajo del eje OX, pues hacemos el valor absoluto. El valor absoluto porque las áreas siempre son positivas. ¿De acuerdo?

55
00:07:51,100 --> 00:08:14,439
¿Cierto? Entonces, ¿qué nos ocurre? Pues que aquí hay una propiedad que nos decía de las integrales definidas, es que si nosotros estamos, por ejemplo, entre a y b, ¿vale? Tenemos un intervalo ab y c pertenece a dicho intervalo, es decir, c es un punto intermedio del intervalo ab,

56
00:08:14,439 --> 00:08:32,379
Pues la integral entre a, b de f de x diferencial de x nosotros podemos hacer que es de a a c f de x diferencial de x más de c a b f de x diferencial de x, ¿de acuerdo?

57
00:08:32,600 --> 00:08:42,340
Y esto es súper importante porque nos permite precisamente en estos casos cuando yo hago la integral de menos 1 a 1, pues yo la puedo separar en dos, ¿no?

58
00:08:42,340 --> 00:08:46,159
En este caso, la separaría desde menos 1 a 0 y de 0 a 1.

59
00:08:46,580 --> 00:08:52,620
Al final, yo lo que tengo que separarla es en función de las raíces de mi polinomio de tercer grado.

60
00:08:52,620 --> 00:09:02,039
Si yo tuviera un polinomio de cuarto grado, tendría cuatro raíces y lo que haría era dividir mi integral en tres integrales, ¿no?

61
00:09:02,039 --> 00:09:08,919
Desde x sub 1 a x sub 2, que son la primera raíz y la segunda raíz, de x sub 2 a x sub 3, que es la segunda y la tercera raíz,

62
00:09:08,919 --> 00:09:17,639
y de x sub 3 a x sub 4, que es el intervalo que comprende entre la raíz tercera y la raíz cuarta, ¿vale?

63
00:09:18,360 --> 00:09:25,879
Aquí que observamos, pues que el área total, vemos primero, vamos, aunque se ha hecho después, vamos a ver desde menos 1 a 0,

64
00:09:26,440 --> 00:09:34,299
de x al cubo menos x, estas son funciones integrales, perdona, inmediatas, de x al cubo es x al cuarto partido de 4,

65
00:09:34,299 --> 00:09:40,419
y de x, x al cuadrado partido de 2, vemos los límites de integración que va desde menos 1 a 0,

66
00:09:40,519 --> 00:09:47,879
primero sustituimos la x a 0, que da todo 0, todo esto tiende a 0, y luego sustituimos la x por menos 1.

67
00:09:48,879 --> 00:09:55,220
¿Qué vemos aquí? Pues que al final nos da un medio de unidades cuadradas, ¿no?

68
00:09:55,220 --> 00:09:59,179
Aquí como no dicen si es metro o es decímetro, es al final unidades cuadradas.

69
00:09:59,179 --> 00:10:04,200
aquí lo que tenemos es el valor absoluto

70
00:10:04,200 --> 00:10:07,039
el valor absoluto aquí si os fijáis entre menos 1 y 1

71
00:10:07,039 --> 00:10:10,139
y 0 como la f de x está por encima

72
00:10:10,139 --> 00:10:13,200
de 0

73
00:10:13,200 --> 00:10:16,220
la f de x positiva pues nos sale

74
00:10:16,220 --> 00:10:19,460
directamente el área

75
00:10:19,460 --> 00:10:21,840
perdona nos sale el área positiva

76
00:10:21,840 --> 00:10:25,019
aquí sin embargo entre 0 y 1 que está

77
00:10:25,019 --> 00:10:27,820
la f de x siempre por debajo de 0

78
00:10:27,820 --> 00:10:35,279
pues tenemos que hacer, como vemos aquí, el valor absoluto, porque si no, no saldría negativa.

79
00:10:36,220 --> 00:10:43,840
Se hace igual, es una integral inmediata, x cuarta entre 4 y la x, x al cuadro partido de 2,

80
00:10:43,919 --> 00:10:45,639
los límites de integración entre 0 y 1.

81
00:10:46,139 --> 00:10:53,519
Si nosotros los sustituimos y no ponemos los valores absolutos, aquí nos saldría menos un medio de unidades cuadradas,

82
00:10:53,519 --> 00:11:15,399
Que si nosotros al final sumamos este un medio positivo y este un medio negativo nos saldría cero, pero nosotros aquí tenemos distintas áreas, ¿no? Con lo cual siempre nos quedamos con el valor en positivo y aquí de cero a uno le hacemos ese valor absoluto de tal forma que me queda también un medio de unidades cuadradas.

83
00:11:15,399 --> 00:11:39,639
Por lo cual, ¿cuál es el área total? Pues al final un medio más un medio es igual a una unidad cuadrada, que es todo lo que mide aquí en negro. Entonces es súper importante saber en los polinomios de segundo, de tercer grado, de cuarto grado, de quinto, saber las raíces, es decir, los cortes de la función en el eje OX.

84
00:11:39,639 --> 00:11:57,059
¿De acuerdo? Vamos a irnos al tercer caso donde nosotros ya tenemos dos funciones. Por un lado tenemos x al cuadrado y por otro tenemos x. Lo que nos pide es el área que forman entre ambas funciones.

85
00:11:57,059 --> 00:12:12,559
Entonces, para ello es muy importante, lo primero que tenemos que hacer es, cuando nos dicen el área entre dos funciones, es igualarla. ¿Y para qué la igualamos? Pues precisamente para conseguir los puntos comunes de ellas dos, ¿no? Ver dónde se cortan esas dos funciones.

86
00:12:12,559 --> 00:12:17,299
aquí son muy fáciles tenemos x al cuadrado pues igual a x

87
00:12:17,299 --> 00:12:21,360
al final llevamos la x al primer miembro

88
00:12:21,360 --> 00:12:25,039
que como aquí está sumando pasa restando x al cuadrado menos x igual a 0

89
00:12:25,039 --> 00:12:29,139
aquí igual sacamos factor común x o si no

90
00:12:29,139 --> 00:12:31,639
nosotros aquí podemos aplicar perfectamente la

91
00:12:31,639 --> 00:12:36,620
la ecuación de menos b más menos

92
00:12:36,620 --> 00:12:41,159
raíz de b al cuadrado menos 4ac partido de 2a para obtener las raíces

93
00:12:41,159 --> 00:12:44,720
de esta función de segundo grado, lo que pasa es que como es incompleta,

94
00:12:44,799 --> 00:12:49,759
no tiene término independiente, es más fácil sacar factor común x.

95
00:12:50,200 --> 00:12:53,240
Vemos las dos raíces, más que dos raíces, perdona,

96
00:12:53,320 --> 00:12:58,299
vemos los dos puntos de tangencia entre ambas funciones,

97
00:12:58,299 --> 00:13:02,679
es decir, en x igual a 0 y en x igual a 1, se cortan estas dos funciones,

98
00:13:02,840 --> 00:13:04,399
tienen el mismo valor.

99
00:13:04,840 --> 00:13:10,299
Aquí vemos representado, pues, hecha en azul la recta x

100
00:13:10,299 --> 00:13:37,120
Y aquí en rojo tenemos x cuadrado. ¿Qué ocurre? Que cuando hacemos dos funciones, el área entre dos funciones, si yo, por ejemplo, tengo esta función de aquí y ahora voy a hacer otra en morado, por ejemplo, que es así, pues vemos que aquí tenemos un punto de unión, este es otro punto de unión y luego este punto de aquí, ¿no?

101
00:13:37,120 --> 00:13:51,120
Aquí tenemos un valor de x sub 1, por ejemplo, aquí x sub 2 y x sub 3. ¿Y cuál es el área comprendida entre ellas? Pues lo que encierra todo esto de aquí más todo esto de aquí que he puesto en amarillo.

102
00:13:51,120 --> 00:14:13,200
Y lo que aquí sí que es muy importante saber, por ejemplo, si nosotros hemos dicho que el azul es f de x y la morada es g de x, pues nosotros lo que sí tenemos que saber es en este intervalo entre x sub 1 y x sub 2 y este intervalo x sub 2 y x sub 3, cuál es la que está por encima del otro.

103
00:14:13,200 --> 00:14:41,419
Y eso es muy sencillo de resolver. Imaginamos que tenemos un caso concreto entre el x sub 1 vale, por ejemplo, menos 2, el x sub 2 vale 3 y el x sub 3, me lo estoy inventando, vale 10, ¿no? Pues, por ejemplo, ¿cuál es el valor mío por referencia siempre cuando tenemos intervalos? Pues para mí es el 0, ¿no? Y ¿por qué es el 0? Porque es muy fácil de sustituir, sobre todo en las funciones polinómicas, ¿no?

104
00:14:41,419 --> 00:14:54,519
Aquí, si nosotros sustituimos el 0, aunque lo vemos gráficamente, no tenemos la ecuación, vamos a ver que, por ejemplo, f de 0 va a ser mayor que g de 0.

105
00:14:55,179 --> 00:15:03,639
Y eso es importante, porque en este intervalo de integración entre menos 2 y 3 pondríamos f de x menos g de x.

106
00:15:03,639 --> 00:15:21,000
Aquí vemos que f de x, que es la que está dibujada azul, está por encima de la morada y, sin embargo, en el intervalo 3, 10, pues, por ejemplo, nosotros cogemos, yo que sé, me lo estoy inventando, el 5 y podemos observar que g de 5 es mayor que f de 5.

107
00:15:21,000 --> 00:15:37,539
Y eso va a ocurrir con todos los intervalos, todos los puntos de intervalo, todas las x en el intervalo 3, 10. Entonces, en todos los puntos de este intervalo 3, 10, la g va a estar por encima, va a ser mayor que f.

108
00:15:37,539 --> 00:15:54,379
Y sin embargo en todos los puntos que van desde menos 2 a 3, pues la f va a estar por encima de la g. Entonces nuestro límite de integración aquí haríamos f de x menos g de x y sin embargo aquí haríamos g de x menos f de x.

109
00:15:54,379 --> 00:16:09,700
Esto que a lo mejor puede parecer muy difícil es muy sencillo. Aquí en este caso observamos que los puntos de corte es x igual a 0 que está aquí y aquí que es x igual a 1.

110
00:16:09,700 --> 00:16:28,340
Aquí lo suyo sería si nosotros hacemos por ejemplo f de 0,5, f de 0,5 como f de x es x al cuadrado es 0,5 al cuadrado que es 0,25 y sin embargo g de 0,5 como g de x es igual a x pues vemos que es 0,5.

111
00:16:28,340 --> 00:16:45,740
Aquí observamos que g de x es mayor que f de x en todos los puntos del intervalo 0,1. Con lo cual, a la hora de integrar, nosotros integramos entre 0 y 1. 0 y 1 no es al azar, son las x que nos han dado al hacer la igualación de una función con otra.

112
00:16:45,740 --> 00:17:01,600
Y luego, ¿por qué ponemos g de x menos f de x? Precisamente porque nosotros sabemos que en ese intervalo que va entre los dos puntos de corte de las dos funciones, entre 0 y 1, g de x siempre va a ser superior a f de x.

113
00:17:01,600 --> 00:17:26,059
Si nos equivocamos, ¿qué nos va a ocurrir? Pues únicamente que nos va a salir el área en negativo. Como los áreas no pueden ser negativos, bien, vamos al paso contrario o si no, nosotros aquí podemos poner un valor absoluto y mantenemos ese valor absoluto en toda la igualdad y entonces al final ese valor negativo se convierte en positivo.

114
00:17:26,059 --> 00:17:41,920
Pero si no, hacemos esta comprobación y ponemos en vez de f de x menos g de x, pues ponemos g de x menos f de x. Aquí vemos que son integrales inmediatas, g de x es x y f de x es x al cuadrado.

115
00:17:41,920 --> 00:17:50,559
hacemos las integrales inmediatas de x, x al cuadrado partido de 2, de x cuadrado es x al cubo partido de 3, está entre 0 y 1,

116
00:17:51,019 --> 00:17:59,839
sustituimos primero por el límite superior que es 1 y luego ponemos el menos y hacemos el límite inferior que es 0.

117
00:18:00,579 --> 00:18:06,240
Calculamos los distintos valores y en este caso nos da un sexto unidades cuadradas.

118
00:18:06,240 --> 00:18:23,200
No olvidéis nunca de las unidades al cuadrado porque las áreas siempre se miden metros cuadrados, decímetros cuadrados, centímetros cuadrados, kilómetros cuadrados. Entonces, como no nos define precisamente la unidad de medida, es unidades al cuadrado y nos curamos en salud.

119
00:18:23,200 --> 00:18:36,960
Vamos a ver otro caso, si me deja buena, estamos ahora en el caso 4, este caso 4 es el área comprendida entre dos funciones,

120
00:18:36,960 --> 00:18:48,019
podemos observar aquí que ambas funciones son cuadradas, lo que tenemos que estudiar un poco es la forma, es muy importante porque las funciones cuadradas son unas parábolas,

121
00:18:48,019 --> 00:19:04,720
Pueden ir hacia abajo o hacia arriba y tenemos que ver también si hay corte con los ejes o no hay corte con los ejes. Siempre que tenemos el área entre dos funciones, lo primero que tenemos que hacer es precisamente hallar los puntos en común entre ambas.

122
00:19:04,720 --> 00:19:30,940
Entonces, por lo tanto, es tan sencillo como igualar f de x a g de x. Aquí tenemos al final una ecuación de segundo grado. Aplicamos la definición de x igual a menos b más menos la fórmula que siempre sabemos, b al cuadrado menos 4ac partido de 2a para hallar las x que son comunes tanto en f como en g.

123
00:19:30,940 --> 00:19:42,299
Y eso precisamente, que son los puntos de intersección de esas dos funciones, van a ser nuestros límites de integración, el 2 y el 1.

124
00:19:42,700 --> 00:19:52,400
Aquí se ha optado por poner g de x menos f de x, pero ¿cómo podemos nosotros saber si es g de x menos f de x o es f de x menos g de x?

125
00:19:52,400 --> 00:20:06,099
Aquí, bueno, ya partimos con ventaja, donde nosotros tenemos representadas las dos funciones, una en color y otra en azul.

126
00:20:06,099 --> 00:20:24,960
No sé si recordáis, esto es muy importante para ustedes, que cuando el máximo y el mínimo nos decían de siempre que, por ejemplo, nosotros si tenemos una función, lo voy a hacer un momentillo aquí en azul a ver si me deja.

127
00:20:24,960 --> 00:20:37,019
Si yo tenía una función de segundo grado, ax cuadrado más bx más c, siempre nos decían que la x del vértice es menos b partido de 2a.

128
00:20:37,180 --> 00:20:41,460
Y bueno, así lo aprendíamos y no sabíamos muy bien de dónde nos venía.

129
00:20:42,140 --> 00:20:50,740
Esto tiene una explicación. Si os acordáis los vértices de una función de una parábola, al final ¿qué es? Un máximo o un mínimo.

130
00:20:50,740 --> 00:21:06,059
Entonces, si por ejemplo yo derivo f de x, que me queda 2ax más b. ¿Y qué ocurre en los máximos y en los mínimos? Que la primera derivada es igual a cero. Por lo tanto, 2ax más b igual a cero.

131
00:21:06,059 --> 00:21:34,779
Si yo despejo la x, tengo que 2ax es igual a menos b y que x al final es menos b partido de 2a. Es decir, lo que siempre nos han enseñado, que nos aprendiéramos de memoria, la xv, es decir, los vértices están en xv y luego en f de xv, f de xv, no es más que una vez que yo sé que, por ejemplo, el vértice está en 2, pues yo sustituyo el 2 en la x en la función original.

132
00:21:34,779 --> 00:21:45,519
Y todo esto viene de aquí, de hacer precisamente la primera derivada de esta ecuación de segundo grado igual a la cero y siempre pues la x me sale menos c partido de 2a.

133
00:21:45,859 --> 00:22:03,759
Luego otra cosa también que nos decían cuando empezamos a ver funciones era que si el valor de a era mayor que cero pues los cuernos digamos iban para arriba, la parábola iba hacia arriba y si a era menor que cero pues los cuernos van para abajo.

134
00:22:03,759 --> 00:22:31,920
Entonces, viendo, digamos, aquí f de x y g de x, veo que precisamente el a de f de x es positivo, con lo cual iría hacia arriba y aquí de g de x, que es menos 1, pues iría hacia abajo, ¿no? Entonces, aquí podemos discernir que esta azul es g de x, ¿vale? Esta de aquí es g de x y la de rojo es f de x.

135
00:22:31,920 --> 00:22:59,440
F de x. Nosotros aquí siempre yo os insisto, veo que los puntos de corte hemos averiguado que es menos 2 y 1. Esto de aquí, ¿qué es lo que conlleva? Pues que yo tengo tres intervalos, ¿no? Desde menos infinito a menos 2, otro que es desde menos 2 a 1 y otro que es desde 1 a más infinito, ¿de acuerdo?

136
00:22:59,440 --> 00:23:05,500
Esos son los tres intervalos entre los dos puntos de corte que hemos obtenido de f de x y g de x.

137
00:23:05,599 --> 00:23:08,319
El que me interesa realmente es el menos 2, 1.

138
00:23:08,900 --> 00:23:13,079
¿Y cuál es un punto intermedio que además a mí me pone mucho? Pues el x igual a 0.

139
00:23:13,420 --> 00:23:23,900
Para saber sin tener la gráfica, porque claro, ahora que tenemos aquí la gráfica es muy sencillo, sabemos que g de x, que es la azul, está siempre por encima de f de x, que es la roja.

140
00:23:23,900 --> 00:23:39,680
Pero si nosotros no tenemos la gráfica o no tenemos tiempo para representarla, pues ¿qué es lo que yo siempre os recomiendo? Pues nada, me voy a un punto de ese intervalo entre los dos puntos de corte, en este caso menos 2, 1 y encima está el 0, pues ¿yo qué hago?

141
00:23:39,680 --> 00:23:58,640
Pues si recordamos, f de x era igual, vamos a recordarlo, era igual a x cuadrado más 2x, x cuadrado más 2x menos 3, x cuadrado, a ver, x cuadrado más 2x menos 3.

142
00:23:58,640 --> 00:24:22,380
¿Cuánto vale f de 0? Pues f de 0, menos 3, más fácil, imposible. ¿Y g de x qué era? Era menos x cuadrado, vamos a recordarlo, subimos un momentillo, es menos x al cuadrado más 1, con lo cual x cuadrado, perdonad, vamos aquí, x cuadrado más 1.

143
00:24:22,380 --> 00:24:40,259
¿Cuánto vale g de 0? Pues precisamente 1. Vemos que g de 0, que es 1, es mayor que menos 3, que es igual a f de 0. Se cumple que cualquier valor de este intervalo de menos 2 a 1, g de x es mayor que f de x.

144
00:24:40,259 --> 00:25:01,019
Con lo cual es un puntazo porque nosotros ya para calcular el área entre esas dos funciones f de x y g de x, pues nosotros ponemos los límites de integración, estos dos puntos que hemos calculado de intersección entre ellos, x igual a 1 y x igual a menos 2.

145
00:25:01,019 --> 00:25:19,240
El menos 2 se pone siempre, es decir, el menor siempre se pone debajo y el mayor siempre se pone para arriba. Y hemos cogido g de x menos f de x porque hemos comprobado que en ese intervalo menos 2, 1 siempre la g de x es mayor que f de x. ¿Por qué? Porque todas las áreas tienen que ser positivas.

146
00:25:19,240 --> 00:25:29,099
aquí pues una vez que nosotros tenemos f de x menos g de x que es menos 2x cuadrado menos 2x más 4

147
00:25:29,099 --> 00:25:35,759
y en esos límites de integración que van desde menos 2 a 1 pues vemos que estas son integrales inmediatas

148
00:25:35,759 --> 00:25:44,720
y luego pues nada como siempre sustituimos primero la x por el límite superior menos sustituir la x por el límite inferior

149
00:25:44,720 --> 00:25:58,400
que en este caso es menos 2, lo veis aquí, hacemos operaciones, tenemos calculadora y al final nos da 9, 9 unidades al cuadrado, ¿por qué? Porque siempre las raíces son positivas.

150
00:25:59,140 --> 00:26:11,880
Yo de hecho no lo veo complicado, esto siempre se hace lo mismo, el área entre dos regiones, lo que se hace es igualar las dos, perdona, es la región entre dos funciones, lo he dicho más,

151
00:26:11,880 --> 00:26:25,000
El área entre dos funciones siempre se hace igual. El primer paso es igualar esas funciones, hallar esos puntos de cortes que hay entre esas dos funciones, que además van a ser mil límites de integración.

152
00:26:25,940 --> 00:26:34,079
Comprobamos, porque en este caso hay dos, pero si hubiese tres, pues comprobamos los dos intervalos que surgen de esos tres puntos.

153
00:26:34,900 --> 00:26:43,799
Observamos cuando f de x o g de x está por encima de ellos, sustituyéndolo simplemente, como hemos hecho aquí, por un valor.

154
00:26:43,900 --> 00:26:46,480
En este caso me ha venido al pelo el cero.

155
00:26:47,279 --> 00:26:49,980
De acuerdo, los puntos de intersección son menos 2, 1.

156
00:26:49,980 --> 00:27:13,619
Veo que el 0 que está en ese intervalo se cumple que g de x es mayor que f de x, es decir, g de 0 es mayor que f de 0. Por lo tanto, yo pongo aquí g de x menos f de x, integro, que son además integrales inmediatas, sustituyo primero por el límite superior y luego le resto el límite inferior porque esto es aplicar la regla de Barrow, ¿vale?

157
00:27:13,619 --> 00:27:28,779
Esto no es más que aplicar barrow y obtengo ya el área definida entre esas dos funciones. Y nos vamos a ir ya al último caso y con esto termino.

158
00:27:29,460 --> 00:27:40,019
¿Qué nos puede ocurrir? Pues nos da una función, vemos que es una función también cuadrada, que es una parábola,

159
00:27:40,579 --> 00:27:46,839
vemos que va hacia arriba, no sabemos si corta o no corta el eje de los x, lo podemos hallar.

160
00:27:46,839 --> 00:27:51,859
Y luego ya me dice que está entre x igual a menos 1 y x igual a 2.

161
00:27:51,960 --> 00:27:56,079
¿Cuál es la recta x igual a menos 1? Pues esta de aquí.

162
00:27:56,079 --> 00:28:12,700
Voy a hacer ahora la de x igual a 2 en colorado, pues si aquí está el 2, la resta x igual a 2, pues me da igual cuál es el valor de y que siempre x va a valer 2 y aquí me da igual el valor de y que siempre x va a valer menos 1.

163
00:28:12,700 --> 00:28:29,380
Entonces, ¿qué ocurre? Pues si mi función es esta de aquí, este es el área que me están pidiendo y si mi función es esta de aquí, pues esta será el área si esto es menos 1 y esto es 2. Siempre hacemos lo mismo.

164
00:28:29,380 --> 00:28:48,920
Límites de integración iría desde menos 1 a 2, pero sí que es importante ver el signo. ¿Qué ocurre aquí? Pues que tenemos una recta, como siempre, menos 1 y 2.

165
00:28:48,920 --> 00:29:13,400
Con lo cual vamos a ver un momentillo que nuestra función, si nos fijamos, que es la colora, es hacia arriba, vemos que tiene dos puntos de corte en 0 y 1 y luego ya nos dicen el menos 1 y el 2.

166
00:29:13,400 --> 00:29:32,259
¿Vale? Entonces vamos a hallar lo primero, los puntos de corte de mi función con el eje de las x. Y eso es tan sencillo como hacer, perdona porque me he saltado este paso que es fundamental, x cuadrado menos x igual a 0.

167
00:29:32,259 --> 00:29:46,759
Aquí esto es incompleto, lo puedo hacer por la ecuación de segundo grado de toda la vida, pero al ser incompleta yo veo que puedo sacar el factor común, por lo tanto esto es x por x menos 1, que es igual a 0, de donde x es igual a 0 y x es igual a 1.

168
00:29:46,880 --> 00:29:57,900
Con lo cual yo en 0 tengo un punto de corte y en 1 tengo el otro punto de corte. El menos 1 y el 2 me lo definen estos límites de integración de aquí.

169
00:29:58,720 --> 00:30:19,900
Volvemos a lo de siempre. ¿Cómo sé yo si mi función está por encima o está por debajo o por encima? No lo sé, ¿no? Es sencillo. Al final, perdonad, lo que es sustituir, sustituir valores, ¿no? Por ejemplo, cojo f de... vaya tela, vaya tela, perdonad.

170
00:30:19,900 --> 00:30:34,359
Cojo f de menos 0,5. Voy aquí y hago f de menos 0,5. ¿Por qué menos 0,5? Porque es un valor que está en el intervalo menos 1,0.

171
00:30:34,359 --> 00:30:56,740
Y si lo sustituyo, vaya tela, uno es mi día, esto que es, es menos 0,5 al cuadrado menos 0,5, esto es 0,25 menos 0,5, yo sé que esto es negativo, esto es negativo, me tiene que salir positivo.

172
00:31:04,339 --> 00:31:06,339
Ah, claro, menos por menos, esto es más, perdonad.

173
00:31:07,400 --> 00:31:12,700
Esto es menos 0, 0, 5, que es más 0, 0, 5, esto me sale positivo.

174
00:31:12,880 --> 00:31:16,660
Con lo cual, aquí yo estoy por encima del eje de las X.

175
00:31:17,039 --> 00:31:25,319
Sin embargo, si yo cojo F de 0, 5, pues esto es igual a 0, 5 al cuadrado menos 0, 5, ahora sí,

176
00:31:25,819 --> 00:31:32,079
y esto es 0, 25 menos 0, 5 es igual a menos 0, 25 es menor que 0.

177
00:31:32,079 --> 00:31:49,299
Entonces, entre 0 y 1 es negativa la función. Y luego, por ejemplo, cojo f de 1,5, que es 3 medios, y entonces esto sería 3 medios al cuadrado menos 3 medios.

178
00:31:49,299 --> 00:31:53,519
3 medios al cuadrado vemos que es 9 cuartos menos 3 medios

179
00:31:53,519 --> 00:31:57,559
esto es 9 cuartos menos 6 cuartos

180
00:31:57,559 --> 00:31:59,859
esto es 3 cuartos que es mayor que 0

181
00:31:59,859 --> 00:32:02,140
a mi lo que me interesa realmente es si es positivo o negativo

182
00:32:02,140 --> 00:32:04,759
entonces veo que mi función es esta de aquí

183
00:32:04,759 --> 00:32:09,640
aquí parto con ventaja en el sentido de que yo ya lo tengo aquí representado

184
00:32:09,640 --> 00:32:16,079
vemos que coincide que entre menos 1 y 0 son todos positivos

185
00:32:16,079 --> 00:32:21,400
todos los valores son positivos aquí

186
00:32:21,400 --> 00:32:23,420
justo entre 0 y 1 hemos dicho

187
00:32:23,420 --> 00:32:27,700
que el 0,5 me da negativo

188
00:32:27,700 --> 00:32:30,440
y luego el 1,5 que está aquí

189
00:32:30,440 --> 00:32:33,920
pues son todos de aquí ya son positivos

190
00:32:33,920 --> 00:32:35,200
pero son los valores de la f

191
00:32:35,200 --> 00:32:37,220
habéis dicho que yo aquí ni he derivado ni nada

192
00:32:37,220 --> 00:32:38,960
¿qué ocurre?

193
00:32:38,960 --> 00:32:41,420
porque a mí realmente lo que me piden

194
00:32:41,420 --> 00:32:43,579
lo voy a poner aquí en azul

195
00:32:43,579 --> 00:32:45,420
a mí lo que me piden realmente

196
00:32:45,420 --> 00:32:54,259
es la integral desde menos 1 a 2, ¿vale? Desde menos 1 a 2 de f de x diferencial de x, pero ¿qué ocurre?

197
00:32:54,319 --> 00:33:01,240
Que aquí vemos que hay una parte que es positiva, esta parte que es negativa y esta parte que es negativa,

198
00:33:01,359 --> 00:33:09,680
todo el área positiva, perdón, entonces todo el área que me piden, si yo lo hago del tirón, pues se me sumaría

199
00:33:09,680 --> 00:33:14,740
esta parte que es positiva y se me sumaría esta parte que es positiva, pero le restaría

200
00:33:14,740 --> 00:33:20,480
esta que es negativa. Entonces, ¿qué ocurre? Pues que aquí volvemos a aplicar una de las

201
00:33:20,480 --> 00:33:28,079
propiedades de las integrales definidas y la vamos a hacer por parte. Vaya tela, la

202
00:33:28,079 --> 00:33:36,500
vamos a hacer por parte, ¿vale? Vamos a ver. Aquí lo que me dice es, voy a hacer entre

203
00:33:36,500 --> 00:33:44,839
menos 1 y 2, la voy a hacer entre menos 1 y 0, que sé que es positivo, de f de x diferencial

204
00:33:44,839 --> 00:33:55,799
de x, le voy a sumar de 0 a 1 f de x diferencial de x, que yo sé que es negativo, y le voy

205
00:33:55,799 --> 00:34:04,240
a sumar desde 1 a 2 f de x diferencial de x, que sé que es positiva. ¿Qué ocurre?

206
00:34:04,240 --> 00:34:16,860
Que como esta de aquí entre 0 y 1 es negativa, pues hay otra propiedad que me dice que ABF de X es igual a menos BAF de X.

207
00:34:16,960 --> 00:34:27,579
Es decir, yo tengo los límites de integración que va de A a B, pues si yo hago los límites de integración al revés, de B a A, pues el valor es igual pero es negativo.

208
00:34:27,579 --> 00:34:52,780
¿Vale? Con lo cual, ¿qué es lo que se hace aquí? Pues si os fijáis, divide el área total en tres zonas. Va desde menos uno a cero, con lo cual lo hace, como siempre, son integrales inmediatas, sustituye primero el límite superior, le resta el límite inferior y da cinco sextos de u al cuadrado.

209
00:34:53,239 --> 00:35:20,039
Luego hace de 0 a 1, pero si os fijáis, da en valor absoluto, da en valor absoluto, se puede hacer en valor absoluto o en vez de hacer esto entre 0 y 1, lo hacemos entre 1 y 0, como este va a dar negativo, el otro ya da positivo y nos va a dar aquí, a ver si consigo minimizarlo, pues nos da un sexto de unidades al cuadrado.

210
00:35:20,039 --> 00:35:42,460
Y ya el área 3 y última, el límite de integración es entre 1 y 2, se hacen las inmediatas, se sustituye primero el límite superior y luego el límite inferior, esto es para x igual a 2 y esto es para x igual a 1, aquí se hace x igual a 1 y aquí x igual a 0 y me sale 5 sextos de unidades cuadradas.

211
00:35:42,460 --> 00:35:50,760
Si yo sumo esto, más esto, más esto, que me da 5 más 1 más 5 es 11 sextos unidades cuadradas, que es el área total.

212
00:35:50,760 --> 00:36:13,940
Entonces aquí es muy importante siempre saber dónde queda la función respecto a los ejes, es decir, si la función está por encima o por debajo de las X o las Y, mejor dicho, las Y positivas o negativas, es decir, si está por encima o por debajo del eje de las X.

213
00:36:13,940 --> 00:36:30,940
Y cuando esté por debajo, lo único, o bien se cambian los límites de integración y el signo, o bien lo que se hace, como se pone aquí, pues valor absoluto para que no salga siempre positivo porque las áreas son positivas.

214
00:36:32,400 --> 00:36:39,619
Espero, es un vídeo un poco largo, espero que lo hayáis entendido. Si hay algo en concreto que no entendéis, por favor preguntadme. Saludos.