1
00:00:01,459 --> 00:00:07,240
Vamos a ver cómo calcular la derivada de la inversa de una función.

2
00:00:08,359 --> 00:00:15,939
Es decir, queremos calcular la derivada de la inversa a partir de la derivada de la función.

3
00:00:19,910 --> 00:00:25,210
Partimos de que la función compuesta con su inversa es x.

4
00:00:26,210 --> 00:00:31,750
Por ejemplo, el seno del arcoseno de x es x.

5
00:00:31,750 --> 00:00:54,719
Si derivamos en ambos miembros y aplicando la regla de la cadena tenemos que la derivada de la función aplicada en la inversa por la derivada de lo de dentro, la derivada de la inversa, es igual a la derivada de x que es 1.

6
00:00:54,719 --> 00:01:11,480
Despejamos aquí la derivada de la inversa y obtenemos 1 partido de la derivada de la función aplicada en el valor de la inversa.

7
00:01:11,640 --> 00:01:28,370
Con un ejemplo es muy sencillo. Este ejemplo veremos por qué la derivada del arcoseno de x es 1 partido de la raíz de 1 menos x al cuadrado.

8
00:01:29,310 --> 00:01:32,969
Esto ya lo hemos visto en una tabla, pero vamos a ver el motivo.

9
00:01:35,790 --> 00:01:39,810
Tenemos que recordar que el seno del arcoseno de x es x.

10
00:01:40,430 --> 00:01:48,290
Y también va a ser muy importante que el seno al cuadrado de x más el coseno al cuadrado de x es igual a 1.

11
00:01:50,980 --> 00:01:59,099
Derivando en esta expresión tenemos, por un lado, la derivada del primer miembro, que de momento lo he dejado sin derivar,

12
00:01:59,659 --> 00:02:02,099
igual a la derivada de x, que es 1.

13
00:02:04,159 --> 00:02:06,000
Derivamos esto con la regla de la cadena.

14
00:02:06,819 --> 00:02:13,219
La derivada del seno es el coseno, coseno evaluado en el arcoseno de x,

15
00:02:13,939 --> 00:02:21,479
por la derivada de lo de dentro, que es la derivada del arcoseno de x, que es lo que queremos calcular, igual a 1.

16
00:02:21,479 --> 00:02:35,319
Despejando de aquí tenemos que la derivada del arcoseno es 1 partido del coseno en el arcoseno de x

17
00:02:35,319 --> 00:02:41,560
Esta expresión que puede parecer complicada resulta que es muy simple

18
00:02:43,240 --> 00:02:48,139
Despejamos de aquí el coseno y lo ponemos en términos del seno usando esta expresión

19
00:02:48,139 --> 00:03:01,400
Si despejamos de aquí el coseno, el coseno que es igual a la raíz cuadrada de 1 menos el seno al cuadrado de x, que es lo que ponemos aquí.

20
00:03:02,300 --> 00:03:12,080
El coseno es igual a la raíz cuadrada de 1 menos el seno al cuadrado de x, evaluado en el arcoseno de x.

21
00:03:12,080 --> 00:03:15,800
pero el seno del arco seno es x

22
00:03:15,800 --> 00:03:18,599
de donde tenemos la expresión que buscábamos

23
00:03:18,599 --> 00:03:27,759
ahora podemos hacer lo mismo por ejemplo con el arco coseno