1
00:00:00,560 --> 00:00:03,540
Hola, vamos a ver ahora este ejercicio 63.

2
00:00:04,240 --> 00:00:08,199
Este es una función racional, la integral de una función racional,

3
00:00:08,580 --> 00:00:11,140
en la que el denominador tiene mayor grado que el numerador.

4
00:00:11,699 --> 00:00:15,279
Por lo tanto, lo que vamos a hacer es descomponerlo en fracciones simples.

5
00:00:16,000 --> 00:00:21,620
Además, observamos, bueno, lo que necesitamos saber primero es que x cuadrado más x,

6
00:00:21,859 --> 00:00:27,640
lo queremos descomponer, en este caso está claro, esto sería x por x más 1.

7
00:00:27,640 --> 00:00:36,619
¿vale? Necesitamos siempre que tengan raíces reales. ¿Vale? Pues entonces, ¿qué es lo

8
00:00:36,619 --> 00:00:44,140
que vamos a hacer? Pues lo que queremos es que nuestra fracción inicial, 5x más 2 partido

9
00:00:44,140 --> 00:00:50,600
de x cuadrado más x, lo queremos escribir como una fracción que tenga por denominador

10
00:00:50,600 --> 00:00:58,939
uno de sus factores de la descomposición y el otro el x más 1, ¿vale? Llamamos a y b a los numeradores.

11
00:00:59,320 --> 00:01:09,140
Si nosotros operásemos eso para obtener una igualdad de fracciones, esto sería a por x más 1 más b por x

12
00:01:09,140 --> 00:01:14,859
y el denominador sería justamente el denominador que tenemos, x por x más 1.

13
00:01:15,840 --> 00:01:21,620
Dos fracciones son equivalentes o son iguales y tienen el mismo, bueno, en este caso como tienen el mismo denominador,

14
00:01:21,780 --> 00:01:24,099
para que sean iguales tienen que tener el mismo numerador.

15
00:01:24,719 --> 00:01:35,920
Es decir, que 5x más 2 tiene que ser igual a a por x más 1 más b por x.

16
00:01:37,099 --> 00:01:38,359
¿Quién va a ser el a y el b?

17
00:01:38,359 --> 00:01:42,099
Como os dije en clase, esto en el fondo es una recta que tiene infinitos valores.

18
00:01:42,760 --> 00:01:45,640
Podríamos dar diferentes valores para obtener los valores de a y b.

19
00:01:46,540 --> 00:01:52,640
¿Cuáles son los más sencillos? Dar los que hacen 0, ese denominador, ¿vale? Las raíces reales.

20
00:01:53,140 --> 00:02:01,640
Si nosotros esto lo hubiéramos resuelto, lo hubiéramos igualado a 0, obtendríamos los dos valores, x igual 0 y x igual a menos 1.

21
00:02:01,640 --> 00:02:03,739
Pues son los valores que vamos a dar

22
00:02:03,739 --> 00:02:06,819
Si la x es 0

23
00:02:06,819 --> 00:02:09,080
Lo que obtengo aquí es

24
00:02:09,080 --> 00:02:10,560
5 por 0 es 0

25
00:02:10,560 --> 00:02:11,960
2 es igual

26
00:02:11,960 --> 00:02:14,400
a por 0 más 1 es 1

27
00:02:14,400 --> 00:02:16,319
Es decir, a y b por 0 es 0

28
00:02:16,319 --> 00:02:18,020
Luego ya tengo el primer valor de a

29
00:02:18,020 --> 00:02:21,819
No es que tenga el primer valor de a

30
00:02:21,819 --> 00:02:22,479
Mi dislexia

31
00:02:22,479 --> 00:02:24,439
Tengo el valor de la primera incógnita

32
00:02:24,439 --> 00:02:25,099
Es decir, de a

33
00:02:25,099 --> 00:02:27,039
Y ahora si la x es menos 1

34
00:02:27,039 --> 00:02:29,319
Hacemos lo mismo

35
00:02:29,319 --> 00:02:30,840
5 por menos 1 es menos 5

36
00:02:30,840 --> 00:02:32,280
Menos 5 más 2 es 3

37
00:02:32,280 --> 00:02:40,240
el menos uno más uno es cero y ahora lo que me queda directamente que sería b por menos uno menos b

38
00:02:40,240 --> 00:02:45,259
¿vale? y aquí me he comido un menos porque era menos cinco más dos es menos tres

39
00:02:45,259 --> 00:02:49,919
y por lo tanto lo que obtenemos es que la b es tres ¿vale?

40
00:02:49,919 --> 00:02:56,719
luego ya tenemos calculados tanto el valor de a como el valor de b

41
00:02:56,719 --> 00:02:59,960
por lo tanto ¿a qué va a ser igual nuestra integral?

42
00:02:59,960 --> 00:03:17,900
Pues nuestra integral, lo voy a ir poniendo aquí abajo para que se vea mejor, va a ser la integral de a, que hemos dicho que es 2, partido por x, más b, que es 3, partido por x más 1, diferencial de x.

43
00:03:17,900 --> 00:03:31,199
Y veis, estos son los típicos logaritmos, son integrales inmediatas, esto es 2 por el logaritmo neperiano valor absoluto de x más 3 por el logaritmo neperiano del valor absoluto de x más 1, ¿vale?

44
00:03:31,479 --> 00:03:44,139
No hay que dividirlo más k, no hay que dividir entre nada el logaritmo porque la derivada de tanto de x como de x más 1 es directamente 1, ¿vale?

45
00:03:44,139 --> 00:03:46,699
este sería el ejercicio 63

46
00:03:46,699 --> 00:03:48,659
venga, vamos a ver

47
00:03:48,659 --> 00:03:50,479
que es que esta vez no he ido copiando

48
00:03:50,479 --> 00:03:52,759
los otros, voy a pausar

49
00:03:52,759 --> 00:03:54,120
para escribir el enunciado

50
00:03:54,120 --> 00:03:56,319
venga, aquí lo mismo

51
00:03:56,319 --> 00:03:59,360
solamente tenemos

52
00:03:59,360 --> 00:04:01,000
una fracción en la que el cociente

53
00:04:01,000 --> 00:04:01,879
está en el denominador

54
00:04:01,879 --> 00:04:03,819
sabemos que

55
00:04:03,819 --> 00:04:07,180
es una expresión notable, x cuadrado menos 9

56
00:04:07,180 --> 00:04:08,900
es decir, las raíces son

57
00:04:08,900 --> 00:04:11,219
son simples, x cuadrado menos 9

58
00:04:11,219 --> 00:04:13,319
sabemos que es la diferencia de cuadrados

59
00:04:13,319 --> 00:04:18,180
O deberíamos saberlo, esto es x más 3 por x menos 3, ¿vale?

60
00:04:18,680 --> 00:04:22,399
Las soluciones son más y menos 3.

61
00:04:22,600 --> 00:04:24,459
Pues hacemos lo mismo que hemos hecho antes.

62
00:04:25,300 --> 00:04:31,339
Escribimos x cuadrado, bueno, a ver, esto sería, esperar un momentito porque lo he puesto muy arriba.

63
00:04:35,160 --> 00:04:35,939
Vale, perdón.

64
00:04:36,420 --> 00:04:47,319
Esto es 1 partido por x cuadrado menos 9, va a ser igual a a partido, pues por x menos 3 por ejemplo, más b partido por x más 3.

65
00:04:49,060 --> 00:04:58,560
Esto va a ser a por x más 3, fijaos que es todo el tiempo hacer lo mismo, más b por x menos 3.

66
00:05:00,259 --> 00:05:04,399
Y el denominador es el que teníamos, x más 3 por x menos 3.

67
00:05:06,339 --> 00:05:14,079
Y de aquí se saca que 1 va a ser igual a a por x más 3, por lo mismo que os dije en la parte anterior.

68
00:05:14,079 --> 00:05:18,939
Son dos fracciones con el mismo denominador, pues los numeradores tienen que ser también iguales.

69
00:05:20,519 --> 00:05:22,680
¿Qué valores vamos a dar? Pues las soluciones.

70
00:05:23,319 --> 00:05:31,439
Las raíces, si yo igualo esto a 0, lo que obtenemos es x igual a 3 y x igual a menos 3.

71
00:05:32,240 --> 00:05:39,439
Por lo tanto, ponemos si x es igual a 3, lo que tenemos es que 1 es igual,

72
00:05:39,439 --> 00:05:42,879
3 más 3 es 6, 6a

73
00:05:42,879 --> 00:05:44,879
3 menos 3 es 0

74
00:05:44,879 --> 00:05:48,319
fijaos que justamente ponemos los números que hacen 0

75
00:05:48,319 --> 00:05:52,000
para que nos salga directamente las soluciones

76
00:05:52,000 --> 00:05:54,879
y en el menos 3, ah bueno, no he resuelto, perdón

77
00:05:54,879 --> 00:05:57,819
a será un sexto

78
00:05:57,819 --> 00:05:58,040
¿vale?

79
00:05:58,459 --> 00:05:59,939
y aquí será 1 igual

80
00:05:59,939 --> 00:06:02,540
el primer sumando se me va

81
00:06:02,540 --> 00:06:04,740
y me queda menos 3 menos 3 es menos 6b

82
00:06:04,740 --> 00:06:10,269
luego entonces b es igual también a menos

83
00:06:10,269 --> 00:06:38,689
Bueno, en este caso es con el menos un sexto, ¿vale? Bien, pues sustituimos, o sea, lo escribimos arriba, y esto sería la integral de quien a, a es un sexto, bueno, vamos a ponerlo así, un sexto partido por x menos 3, menos un sexto partido por x más 3, diferencial de x.

84
00:06:38,689 --> 00:06:59,970
¿Y esto cuánto va a ser? Bueno, pues saco el 1 sexto fuera, que lo podría sacar factor común de todo, y me va a quedar logaritmo neperiano de x menos 3 entre valores absolutos menos 1 sexto del logaritmo neperiano de x más 3 entre valores absolutos más k, ¿vale?

85
00:07:00,310 --> 00:07:07,290
Y aquí, si quisiéramos, bueno, podríamos sacar factor común, pero bueno, en el fondo no hace falta, lo podemos dejar así.

86
00:07:08,689 --> 00:07:32,209
Vamos con el 65, lo mismo, lo primero es factorizar el denominador, x cuadrado menos 3x más 4, lo puedo igualar a 0, o si lo veo con lo de la suma y el producto, está claro que aquí las raíces son dos números cuyo producto sea 4 y su suma sea 3, ¿cuánto va a ser?

87
00:07:32,209 --> 00:07:33,569
Pues 4

88
00:07:33,569 --> 00:07:36,050
No, no, no

89
00:07:36,050 --> 00:07:37,129
A ver, lo estoy poniendo bien

90
00:07:37,129 --> 00:07:38,610
X4 menos 3X más 1

91
00:07:38,610 --> 00:07:40,230
Sí, disculpad, disculpad

92
00:07:40,230 --> 00:07:41,850
Sí, lo estaba diciendo bien

93
00:07:41,850 --> 00:07:45,730
Son 4 y 1

94
00:07:45,730 --> 00:07:47,410
No puede ser

95
00:07:47,410 --> 00:07:50,370
No, lo estaba haciendo aquí el juego

96
00:07:50,370 --> 00:07:51,310
Pero salen

97
00:07:51,310 --> 00:07:55,610
X menos 4 menos 1

98
00:07:55,610 --> 00:07:57,370
Bueno, lo igualamos a 0

99
00:07:57,370 --> 00:07:59,310
Si no, porque ahora de repente

100
00:07:59,310 --> 00:08:03,250
Tendría que ser

101
00:08:03,250 --> 00:08:05,410
bueno, si es que es x cuadrado

102
00:08:05,410 --> 00:08:06,870
ah, ya decía yo, perdonad

103
00:08:06,870 --> 00:08:08,850
es que esto no tendría

104
00:08:08,850 --> 00:08:11,350
perdonad, perdonad que la he copiado

105
00:08:11,350 --> 00:08:11,649
mal

106
00:08:11,649 --> 00:08:15,689
no es más 4, es menos 4

107
00:08:15,689 --> 00:08:16,790
es que con esa

108
00:08:16,790 --> 00:08:18,449
no saldría

109
00:08:18,449 --> 00:08:20,189
es

110
00:08:20,189 --> 00:08:24,560
a ver, veis

111
00:08:24,560 --> 00:08:27,000
esto es lo que pasa a veces luego también en los exámenes

112
00:08:27,000 --> 00:08:29,019
que copiamos mal el enunciado

113
00:08:29,019 --> 00:08:29,899
ahora sí

114
00:08:29,899 --> 00:08:31,920
es que estaba

115
00:08:31,920 --> 00:08:34,659
cuando las he visto del libro he visto que es hacia

116
00:08:34,659 --> 00:08:42,600
directa pero lo he copiado mal. Ahora sí, es menos 3x menos 4 y ahora sí que las dos

117
00:08:42,600 --> 00:08:56,549
soluciones son la suma de dos números cuyo producto sea menos 4 y la suma sea 3, pues

118
00:08:56,549 --> 00:09:03,350
está claro que son el 4 y el menos 1, ¿vale? Pero si no lo veis, que yo lo había visto

119
00:09:03,350 --> 00:09:08,289
antes muy rápido, pero se me había ido la pinza porque lo había copiado mal. ¿Qué

120
00:09:08,289 --> 00:09:14,250
no lo vemos? Pues que hacemos, lo igualamos a 0 y resolvemos la ecuación, ¿vale? x es

121
00:09:14,250 --> 00:09:21,230
igual a menos b más menos raíz cuadrada de b cuadrado, que es 4, menos 4 por a por c,

122
00:09:21,450 --> 00:09:28,590
es decir, más 16, partido entre 2a. Esto sería 3 más menos la raíz de 25, que es

123
00:09:28,590 --> 00:09:38,169
5 entre 2, y sería 5 y 3, 8 entre 2, 4, 3 menos 5 menos 2 entre 2 menos 1, ¿vale? Lo que os haya comentado.

124
00:09:38,169 --> 00:10:00,389
¿Ya? Como lo veáis, luego x partido de x cuadrado menos 3x menos 4 va a ser igual a la fracción a partido por x menos 4 más b partido por la fracción x más 1.

125
00:10:01,210 --> 00:10:09,350
Y esto es a por x más 1 más b por x menos 4.

126
00:10:09,710 --> 00:10:15,840
Y abajo el x menos 4 por el x más 1.

127
00:10:16,899 --> 00:10:21,759
Como los anteriores, para que dos fracciones en este caso tienen el mismo denominador, para que sean iguales,

128
00:10:22,200 --> 00:10:23,840
tienen que tener el mismo numerador.

129
00:10:23,840 --> 00:10:32,120
Por lo tanto, x tiene que ser igual a cuánto a por x más 1 más b por x menos 4.

130
00:10:33,539 --> 00:10:42,419
Sustituimos los valores, las raíces, es decir, x igual 4 y esto me queda 4 es igual a 4 más 5, más 1, perdón, 5a.

131
00:10:42,419 --> 00:10:51,480
Y cuando la x es menos 1, menos 1 es igual, se me va el primero y me queda menos 1 menos 4 menos 5b.

132
00:10:52,539 --> 00:10:54,279
Bien, que no he resuelto.

133
00:10:54,559 --> 00:11:01,799
A es 4 quintos y b es 1 quinto.

134
00:11:01,799 --> 00:11:33,090
¿Vale? Por lo tanto, vuelvo a la integral inicial y esto lo descomponiendo en fracciones simples, esto sería 4 quintos partido de x menos 4, son los dos positivos, ¿no?

135
00:11:33,090 --> 00:11:40,789
sale fuera y lo que tengo es el logaritmo neperiano de x menos 4, os recuerdo que la

136
00:11:40,789 --> 00:11:46,110
derivada de x menos 4 es 1, ¿vale? Por lo tanto no hay que dividir por nada, más un

137
00:11:46,110 --> 00:11:56,409
quinto del logaritmo neperiano de x más 1, más mi constante k, ¿vale? Voy a escribir

138
00:11:56,409 --> 00:12:02,190
el siguiente. Venga, pues el 66, lo mismo, otro de una función racional en la que el

139
00:12:02,190 --> 00:12:06,710
denominador es más grande que el numerador, el grado me refiero, ¿vale? Pues factorizamos

140
00:12:06,710 --> 00:12:15,529
x cuadrado menos 5x más 6, ay que no me escribe, menos 5x más 6, resolvemos la ecuación o

141
00:12:15,529 --> 00:12:23,710
nos damos cuenta que sus soluciones son 5, menos 5x más 6, a ver si, 2 y 3, perdón,

142
00:12:23,710 --> 00:12:31,690
2 por 3 es 6 y 2 más 3 es 5, ¿vale? Luego esto es x menos 2 por x menos 3, si no, resolvéis

143
00:12:31,690 --> 00:12:37,929
directamente, ¿vale? Es decir, si igualamos a 0, si ya lo habíais resuelto al revés,

144
00:12:38,029 --> 00:12:44,070
pues ya tendríamos que las soluciones son 2 y 3. Escribimos nuestra fracción 2x menos

145
00:12:44,070 --> 00:12:52,990
5 entre x cuadrado menos 5x más 6, y esto va a ser una fracción a partido por x menos

146
00:12:52,990 --> 00:13:07,029
2 más b partido por x menos 3. Es decir, a por x menos 3 más b por x menos 2 entre

147
00:13:07,029 --> 00:13:18,490
x menos 2 por x menos 3. Sustituimos para calcular el a y el b en los raíces y x es

148
00:13:18,490 --> 00:13:26,210
igual a 2, obtengo 2 por 2, 4, 4, ah bueno, no lo he puesto, perdón, de esto para la

149
00:13:26,210 --> 00:13:35,049
igualdad tenemos que 2x menos 5 tiene que ser igual a a por x menos 3 más b por x menos

150
00:13:35,049 --> 00:13:41,370
2, ¿vale? Para que sean iguales las dos fracciones. Si x es igual a 2 me queda 2 por 2, 4 menos

151
00:13:41,370 --> 00:13:45,850
menos 5 es menos 1, igual a 2 menos 3 es menos 1, es decir, menos a.

152
00:13:46,629 --> 00:13:49,129
Por lo tanto, la a vale 1.

153
00:13:50,009 --> 00:13:59,129
Y si la x vale 3, me queda 2 por 3, 6 menos 5, 1,

154
00:14:00,090 --> 00:14:04,450
igual a, la parte de la a se me va y me queda 3 menos 2, 1 por b, b.

155
00:14:05,389 --> 00:14:06,409
Pues ya lo tenemos resuelto.

156
00:14:06,950 --> 00:14:10,570
Subimos arriba nuestra integral, lo descomponemos en las fracciones simples obtenidas

157
00:14:10,570 --> 00:14:24,299
y sería 1 partido por x menos 2 más, los dos son 1, más 1 partido por x menos 3, diferencial de x.

158
00:14:25,059 --> 00:14:37,279
Luego esto va a ser logaritmo neperiano de x menos 2 en valor absoluto más logaritmo neperiano de x menos 3 en valor absoluto más k.