1
00:00:00,430 --> 00:00:05,370
El método de Gauss consiste en realizar reducción de forma muy sistemática.

2
00:00:05,690 --> 00:00:10,570
La razón de esta sistematicidad es que Gauss lo empleó para realizar cálculos astronómicos

3
00:00:10,570 --> 00:00:14,769
con una gran cantidad de ecuaciones y una gran cantidad de incógnitas, pongamos que 10 y 10.

4
00:00:16,190 --> 00:00:18,469
O más, quiero decir. Entonces ahí hace falta ser ordenado.

5
00:00:19,570 --> 00:00:24,989
Bien. Bueno, entonces, primero lo que hacemos es, por ejemplo, nombrar las ecuaciones.

6
00:00:25,989 --> 00:00:28,329
Podemos hacer fila 1, fila 2 y fila 3.

7
00:00:28,329 --> 00:00:30,370
entonces vamos a hacer reducción

8
00:00:30,370 --> 00:00:31,910
de la fila 2 y la fila 3

9
00:00:31,910 --> 00:00:33,250
respectivamente con la primera

10
00:00:33,250 --> 00:00:35,729
para quitar la X

11
00:00:35,729 --> 00:00:39,170
luego haremos reducción otra vez

12
00:00:39,170 --> 00:00:39,929
para quitar la Y

13
00:00:39,929 --> 00:00:44,509
y luego ya resolveremos de forma sencilla

14
00:00:44,509 --> 00:00:46,189
bueno, pues por ejemplo

15
00:00:46,189 --> 00:00:50,570
hagamos aquí la fila 2 y la fila 3

16
00:00:50,570 --> 00:00:52,170
aquí es muy sencillo

17
00:00:52,170 --> 00:00:54,030
porque como aquí hay uno nada más

18
00:00:54,030 --> 00:00:55,109
pues lo que hay que hacer por ejemplo

19
00:00:55,109 --> 00:00:55,990
es coger la fila 2

20
00:00:55,990 --> 00:01:00,130
Y restarle la fila 1 multiplicada por 3

21
00:01:00,130 --> 00:01:06,090
Y aquí, pues como sería coger la fila 3 y restarle dos veces la fila 1

22
00:01:06,090 --> 00:01:10,629
Vamos a dejar la fila 2 y la fila 3 iguales

23
00:01:10,629 --> 00:01:15,310
3X menos 2Y menos Z es igual a 4

24
00:01:15,310 --> 00:01:17,370
Y la fila 3

25
00:01:17,370 --> 00:01:22,349
2X más 3Y más 2Z igual a 2

26
00:01:22,349 --> 00:01:25,489
Ahora vamos a hacer cálculos

27
00:01:25,489 --> 00:01:28,590
cogemos la fila 1, esta multiplicada por menos 3

28
00:01:28,590 --> 00:01:31,530
pues multiplicamos toda esta fila por menos 3

29
00:01:31,530 --> 00:01:37,340
entonces sería menos 3x, menos por menos más

30
00:01:37,340 --> 00:01:41,400
2 por 3 es 6, menos por menos más

31
00:01:41,400 --> 00:01:44,500
4 por 3 es 12

32
00:01:44,500 --> 00:01:49,719
y eso multiplicamos 7 por 3 es 21, menos por menos más

33
00:01:49,719 --> 00:01:53,040
y ya calculamos obteniendo

34
00:01:53,040 --> 00:01:55,299
que primero se nos va la x

35
00:01:55,299 --> 00:02:02,319
Y ahora tenemos 4Y más 11Z es igual a 25.

36
00:02:05,030 --> 00:02:08,949
Bien, ahora hacemos lo mismo con la otra fila.

37
00:02:09,849 --> 00:02:25,870
Restamos 3 veces la fila 1, que sería menos 2X, menos por menos más, 4Y, menos por menos más,

38
00:02:25,870 --> 00:02:32,599
8z igual a 14

39
00:02:32,599 --> 00:02:34,479
Y ahora operamos

40
00:02:34,479 --> 00:02:36,099
La x se nos va

41
00:02:36,099 --> 00:02:38,280
Y nos quedan

42
00:02:38,280 --> 00:02:41,280
7y más 10z

43
00:02:41,280 --> 00:02:42,599
Igual a 16

44
00:02:42,599 --> 00:02:45,039
Y ahora volvemos a escribir la información

45
00:02:45,039 --> 00:02:48,199
La fila 1 se deja igual

46
00:02:48,199 --> 00:02:50,379
Porque se va a emplear después tal cual está

47
00:02:50,379 --> 00:02:57,979
Y ahora ponemos las nuevas filas 2 y 3

48
00:02:57,979 --> 00:03:00,379
Que van a ser esas que están aquí

49
00:03:00,379 --> 00:03:02,909
Nueva fila 2

50
00:03:02,909 --> 00:03:10,289
Pues sería 4Y más 11Z es igual a 25

51
00:03:10,289 --> 00:03:17,090
Nueva fila 3, 7Y más 10Z es igual a 16

52
00:03:17,090 --> 00:03:19,849
Y ahora se nos ha quedado más simple

53
00:03:19,849 --> 00:03:22,270
Tenemos arriba la X pero aquí solo tenemos la Y y la Z

54
00:03:22,270 --> 00:03:26,610
Podemos renombrar otra vez las ecuaciones

55
00:03:26,610 --> 00:03:29,349
Fila 1, 2, fila 3, fila 2, fila 3

56
00:03:29,349 --> 00:03:34,210
Y ahora vamos a hacer reducción de la fila 3 con la fila 2

57
00:03:34,210 --> 00:03:39,590
Bueno, aquí no está multiplicada por 1, con lo cual habrá que hacerlo de una forma un poco diferente

58
00:03:39,590 --> 00:03:41,389
A ver, fila 2, fila 3

59
00:03:41,389 --> 00:03:44,370
Por ejemplo, multiplicamos por 7 la fila 2

60
00:03:44,370 --> 00:03:46,650
La fila 3 por 4

61
00:03:46,650 --> 00:03:49,270
Y como necesitamos un signo menos

62
00:03:49,270 --> 00:03:52,189
Pues por ejemplo, ahora estamos en la fila 3, ¿no?

63
00:03:53,810 --> 00:03:54,930
Pues vamos a hacerlo

64
00:03:54,930 --> 00:03:59,490
A ver, fila 2 multiplicada por 7

65
00:03:59,490 --> 00:04:10,750
7 por 4, 28i, más 77z, es igual a 25 por 7, que es 175.

66
00:04:11,629 --> 00:04:27,689
Ahora multiplicamos por 4, aquí la C, tenemos 7 por 4, 28, pero con un menos, estamos restando, menos por más menos, 4 por 10, 40, igual a 16 por 4, 64.

67
00:04:27,689 --> 00:04:43,689
Y ahora ya realizamos la resta, y ahí se nos va, y nos queda que tenemos 37z es igual a 111.

68
00:04:45,430 --> 00:04:47,250
Muy bien, pues ahora colocamos la información.

69
00:04:48,750 --> 00:04:56,410
Las dos primeras filas se quedan igual, x menos 2y menos 4z es igual a menos 7.

70
00:04:56,410 --> 00:05:01,379
y ahora la segunda fila se queda igual

71
00:05:01,379 --> 00:05:05,980
4i más 11z es igual a 25

72
00:05:05,980 --> 00:05:11,860
y ahora cambiamos la tercera fila por el resultado que hemos obtenido aquí

73
00:05:11,860 --> 00:05:18,360
ahora tendríamos 37z es igual a 111

74
00:05:18,360 --> 00:05:23,879
y ya tenemos un sistema mucho más sencillo que resolvemos

75
00:05:23,879 --> 00:05:25,420
empezamos por la z

76
00:05:25,420 --> 00:05:30,019
a ver si 37z es igual a 111

77
00:05:30,019 --> 00:05:33,920
obtenemos que z es igual a 111 partido por 37

78
00:05:33,920 --> 00:05:35,259
que es 3

79
00:05:35,259 --> 00:05:38,230
ya tenemos la z

80
00:05:38,230 --> 00:05:40,930
ahora ya hay que copiar la y

81
00:05:40,930 --> 00:05:43,610
porque tenemos aquí una ecuación de solo la y y la z

82
00:05:43,610 --> 00:05:47,040
volvemos a hacerlo

83
00:05:47,040 --> 00:05:52,180
tenemos que 4y es igual a 25 menos 11z

84
00:05:52,180 --> 00:05:54,800
eso es 25 menos 11 por 3

85
00:05:54,800 --> 00:05:57,620
que sería 25 menos 33

86
00:05:57,620 --> 00:06:03,920
que sería menos 8, por lo tanto y es igual a menos 8 partido por 4 que es menos 2

87
00:06:03,920 --> 00:06:07,300
y ya tenemos la y y la z

88
00:06:07,300 --> 00:06:12,040
¿Qué nos queda ahora? Pues la x y lo hacemos con la primera ecuación

89
00:06:12,040 --> 00:06:17,589
vamos a ver si tenemos esto

90
00:06:17,589 --> 00:06:21,500
vamos a hacerlo aquí

91
00:06:21,500 --> 00:06:26,319
x es igual a menos 7 más 2y

92
00:06:26,319 --> 00:06:30,379
más 4z es decir menos 7

93
00:06:30,379 --> 00:06:32,459
más 2 veces menos 2

94
00:06:32,459 --> 00:06:34,079
más 4 veces 3

95
00:06:34,079 --> 00:06:35,879
esto es menos 7

96
00:06:35,879 --> 00:06:37,879
menos 4

97
00:06:37,879 --> 00:06:39,819
más 12 que es 1

98
00:06:39,819 --> 00:06:42,360
así pues hemos obtenido

99
00:06:42,360 --> 00:06:47,620
que x vale 1

100
00:06:47,620 --> 00:06:50,060
y vale menos 2

101
00:06:50,060 --> 00:06:52,980
y z vale 3

102
00:06:52,980 --> 00:06:56,480
bien, lo hemos hecho lentamente

103
00:06:56,480 --> 00:06:58,620
hay que observar que hay algunas variantes

104
00:06:58,620 --> 00:06:59,839
en primer lugar

105
00:06:59,839 --> 00:07:02,579
aquí lo hemos obtenido con mucha suerte

106
00:07:02,579 --> 00:07:04,759
que la x

107
00:07:04,759 --> 00:07:07,060
era lo más sencillo

108
00:07:07,060 --> 00:07:07,860
que lo que restábamos

109
00:07:07,860 --> 00:07:09,220
ya que había 1

110
00:07:09,220 --> 00:07:10,040
porque aquí había 1

111
00:07:10,040 --> 00:07:11,699
si por ejemplo

112
00:07:11,699 --> 00:07:12,480
cogemos ese sistema

113
00:07:12,480 --> 00:07:13,319
un poco más pequeñito

114
00:07:13,319 --> 00:07:14,480
sabríamos que el 1 está abajo

115
00:07:14,480 --> 00:07:17,060
pues podríamos haber cambiado

116
00:07:17,060 --> 00:07:17,740
el orden de la ecuación

117
00:07:17,740 --> 00:07:18,339
eso es lícito

118
00:07:18,339 --> 00:07:19,720
dentro del método de Gauss

119
00:07:19,720 --> 00:07:21,579
podríamos haber puesto

120
00:07:21,579 --> 00:07:23,000
esta arriba

121
00:07:23,000 --> 00:07:25,819
si nos dan ese sistema

122
00:07:25,819 --> 00:07:26,939
podríamos obtener un segundo

123
00:07:26,939 --> 00:07:27,939
poniendo esta arriba

124
00:07:27,939 --> 00:07:29,180
aquí

125
00:07:29,180 --> 00:07:30,639
y luego las otras dos

126
00:07:30,639 --> 00:07:32,720
las podemos poner justo detrás

127
00:07:32,720 --> 00:07:34,660
entonces podemos convertir un sistema

128
00:07:34,660 --> 00:07:35,319
un poco más

129
00:07:35,319 --> 00:07:38,720
ligeramente más complejo a un otro más sencillo

130
00:07:40,019 --> 00:07:40,399
bien

131
00:07:40,399 --> 00:07:41,519
segunda variante

132
00:07:41,519 --> 00:07:46,420
a veces cuando hacemos estas opciones nos quedan un poco

133
00:07:46,420 --> 00:07:48,540
más complicadas, en este caso pues

134
00:07:48,540 --> 00:07:50,399
el 4, el 11

135
00:07:50,399 --> 00:07:52,259
y el 35 son primos entre sí

136
00:07:52,259 --> 00:07:54,000
igualmente esto, pero si ofrecemos

137
00:07:54,000 --> 00:07:56,060
cosas que no son así, pues por ejemplo a veces

138
00:07:56,060 --> 00:07:57,699
te puede parecer que te pongamos

139
00:07:57,699 --> 00:08:02,019
24x

140
00:08:02,019 --> 00:08:25,240
14x más 12y es igual a 48. Y aquí tenemos, pues, 14x menos 21y es igual a 35. Pues no haríamos reducción con el, perdón, me he expistado, lo siento, la y, la z, serían y, s y z.

141
00:08:25,240 --> 00:08:32,039
Pues no haríamos reducción con el 24 y el 14

142
00:08:32,039 --> 00:08:36,480
Significaríamos antes, por ejemplo, aquí podemos dividir entre 12

143
00:08:36,480 --> 00:08:44,720
Y aquí tendríamos 2i más z es igual a 4

144
00:08:44,720 --> 00:08:46,059
Y aquí podemos dividir entre 7

145
00:08:46,059 --> 00:08:53,759
Y tendríamos 2i menos 3z es igual a 5

146
00:08:53,759 --> 00:08:58,669
Y ya con esto la reducción sería mucho más sencilla

147
00:08:58,669 --> 00:09:00,970
De hecho, solo voy a trastar una de las dos ecuaciones

148
00:09:00,970 --> 00:09:13,570
Por ejemplo, pues esto con menos, esto con más, sería restar y ya tendríamos que 4z igual a menos 1, z igual a menos un cuarto.

149
00:09:14,990 --> 00:09:19,409
No haría falta hacer base, se puede simplificar antes cuando tenemos cosas un poco más sencillas y se ve.

150
00:09:20,350 --> 00:09:23,690
Bueno, pues esto es el método de Gauss.

151
00:09:23,690 --> 00:09:31,720
Bien, ahora como ejercicio, realizad este sistema de ecuaciones por el método de Gauss

152
00:09:31,720 --> 00:09:34,320
Y después corregimos

153
00:09:34,320 --> 00:09:37,299
Pasamos a corregir el ejercicio

154
00:09:37,299 --> 00:09:43,580
Bien, antes de nada, en estas ecuaciones no es necesario cambiar el orden

155
00:09:43,580 --> 00:09:48,039
Hombre, quizás sería un poco más sencillo si estuviera arriba, pero bueno, no gran cosa

156
00:09:48,039 --> 00:09:50,679
Así que directamente vamos a enumerar

157
00:09:50,679 --> 00:09:53,080
Por explicación o por otra cosa

158
00:09:53,080 --> 00:09:55,039
Gila 1, 2, y 2, y la 3

159
00:09:55,039 --> 00:09:57,279
y hacemos reducción

160
00:09:57,279 --> 00:09:58,620
empezamos haciendo reducción

161
00:09:58,620 --> 00:10:00,960
pues de la fila 1 con la fila 2

162
00:10:00,960 --> 00:10:02,960
o sea, estas

163
00:10:02,960 --> 00:10:05,399
recordamos que siempre son la primera con las demás

164
00:10:05,399 --> 00:10:07,419
con las demás con la primera

165
00:10:07,419 --> 00:10:09,259
pues nada, en este caso

166
00:10:09,259 --> 00:10:10,860
quise hacerlo más sencillo

167
00:10:10,860 --> 00:10:11,820
o sea, poner

168
00:10:11,820 --> 00:10:14,340
pues menos dos veces la fila 1

169
00:10:14,340 --> 00:10:15,840
y después

170
00:10:15,840 --> 00:10:18,080
pues tres veces la fila 2

171
00:10:18,080 --> 00:10:22,389
pues vamos a ver, tendríamos

172
00:10:22,389 --> 00:10:24,330
menos 6x

173
00:10:24,330 --> 00:10:25,370
menos por menos más

174
00:10:25,370 --> 00:10:30,899
2Y menos 2 por 4, 4Z

175
00:10:30,899 --> 00:10:34,179
Igual a, menos 1 menos más, 8

176
00:10:34,179 --> 00:10:37,399
La segunda la multiplicamos, la fila 2 por 3

177
00:10:37,399 --> 00:10:40,919
6X, 3 por 3, 9, más 9Y

178
00:10:40,919 --> 00:10:44,860
Menos 3Z, igual a 6 por 3, 18, menos 18

179
00:10:44,860 --> 00:10:50,669
Y esto nos da, pues eso se simplifica

180
00:10:50,669 --> 00:10:53,470
Tenemos 9 y 2, 11

181
00:10:53,470 --> 00:10:57,389
Menos 7Z, igual a menos 10

182
00:10:57,389 --> 00:10:59,029
Ya tenemos una de las ecuaciones

183
00:10:59,029 --> 00:11:10,269
Ahora nuevamente cogemos la primera con la tercera. Por ejemplo, podemos hacer 5 veces f1 y 3 veces f2.

184
00:11:10,269 --> 00:11:21,669
Pues adelante. 5 veces f1 sería 15x menos 5y más 10z igual a menos 20.

185
00:11:21,669 --> 00:11:56,620
3BTSF2 sería menos 15X más 9Y menos 12Z igual a 18, igual que antes, y esto se nos va, porque da 0, y después obtenemos 4Y menos 2Z igual a menos 2.

186
00:11:56,620 --> 00:12:01,299
con lo cual pues nada, ya podemos hacer

187
00:12:01,299 --> 00:12:04,200
pasamos aquí a la información

188
00:12:04,200 --> 00:12:09,000
aquí tendríamos, esta dejamos igual

189
00:12:09,000 --> 00:12:13,419
3x menos y más 2z igual a menos 4

190
00:12:13,419 --> 00:12:15,360
aquí ponemos esta

191
00:12:15,360 --> 00:12:20,250
11y menos 7z igual a menos 10

192
00:12:20,250 --> 00:12:22,710
y aquí podríamos poner esta de aquí

193
00:12:22,710 --> 00:12:26,070
voy a poner otro color porque ni siquiera diré

194
00:12:26,070 --> 00:12:30,409
4y menos 2z igual a menos 2

195
00:12:30,409 --> 00:12:33,389
a ver, ahora si nos fijamos

196
00:12:33,389 --> 00:12:36,129
esta se puede simplificar porque todos son múltiplos de 2

197
00:12:36,129 --> 00:12:38,250
podemos pasarlo aquí

198
00:12:38,250 --> 00:12:40,169
y hacer todo eso

199
00:12:40,169 --> 00:12:42,289
pero bueno, también se puede hacer aquí abajo

200
00:12:42,289 --> 00:12:44,269
entre 2

201
00:12:44,269 --> 00:12:48,029
2i menos z igual a menos 1

202
00:12:48,029 --> 00:12:50,450
vamos a hacerlo así

203
00:12:50,450 --> 00:12:56,029
y ponemos

204
00:12:56,029 --> 00:13:00,669
2i menos z igual a menos 1

205
00:13:00,669 --> 00:13:03,470
ahora igual que antes

206
00:13:03,470 --> 00:13:06,590
Numeramos las ecuaciones

207
00:13:06,590 --> 00:13:09,070
Fila 1, fila 2, fila 3

208
00:13:09,070 --> 00:13:10,549
La fila 1 se va a quedar igual

209
00:13:10,549 --> 00:13:12,549
Hemos quitado esto

210
00:13:12,549 --> 00:13:15,490
Y lo que nos interesa ahora es eliminarla

211
00:13:15,490 --> 00:13:17,009
Y en una ecuación

212
00:13:17,009 --> 00:13:21,610
Con lo cual habrá que hacer reducción con la fila 2 y la fila 3

213
00:13:21,610 --> 00:13:23,710
Aquí tenemos la fila 2

214
00:13:23,710 --> 00:13:26,210
Aquí tenemos la fila 3

215
00:13:26,210 --> 00:13:28,309
Y en este caso pues nada

216
00:13:28,309 --> 00:13:32,710
Por ejemplo multiplicamos aquí la fila 2 por menos 2

217
00:13:32,710 --> 00:13:41,429
y la fila 3 por 11. De modo que si esta fila se multiplica por menos 2, obtenemos menos

218
00:13:41,429 --> 00:13:51,730
22i más 14z es igual a 20. Quitando signos también. Y si esta fila se multiplica por

219
00:13:51,730 --> 00:14:07,389
sería 22Y menos 11Z igual a menos 11. Realizamos esta suma de polinomios, esto se nos va porque

220
00:14:07,389 --> 00:14:16,970
es de cero y tendríamos que 3Z es igual a 9. De modo que el sistema se nos queda en

221
00:14:16,970 --> 00:14:27,629
otro que es 3x menos y más 2z es igual a menos 4, 11y menos 7z es igual a menos 10,

222
00:14:29,350 --> 00:14:39,309
3z es igual a 9 y aquí tenemos ya un sistema escalonado. A ver, la razón por la cual se

223
00:14:39,309 --> 00:14:43,570
ponen estos sistemas es porque esto es lo que se llama, y son sistemas equivalentes

224
00:14:43,570 --> 00:14:44,710
porque tienen las mismas soluciones

225
00:14:44,710 --> 00:14:47,090
esa es también la idea de Gauss, esa filosofía

226
00:14:47,090 --> 00:14:48,470
bueno

227
00:14:48,470 --> 00:14:51,070
vamos a dejar un poco de espacio

228
00:14:51,070 --> 00:14:52,970
para resolver ahora lo que nos queda

229
00:14:52,970 --> 00:14:56,899
y nada, pues ahora empezamos

230
00:14:56,899 --> 00:14:58,240
vamos a ver

231
00:14:58,240 --> 00:15:00,379
con S es igual a Z

232
00:15:00,379 --> 00:15:02,220
Z es igual a 9 tercios

233
00:15:02,220 --> 00:15:03,480
que es 3

234
00:15:03,480 --> 00:15:06,039
y ahora sabiendo que Z es igual a 9 tercios

235
00:15:06,039 --> 00:15:08,139
tomamos esta ecuación, vamos a ponerla aquí abajo

236
00:15:08,139 --> 00:15:09,519
por espacio

237
00:15:09,519 --> 00:15:13,200
11I menos 7Z es igual a menos 10

238
00:15:13,200 --> 00:15:14,480
con lo cual

239
00:15:14,480 --> 00:15:36,299
11Y es igual a menos 10 más 7Z, esto es menos 10 más 7 por 3, menos 10 más 21 y esto es 11.

240
00:15:36,299 --> 00:15:43,379
Lo que significa que si 11y es igual a 11, y es igual a...

241
00:15:43,379 --> 00:15:52,710
Y ahora ya, pues con estas dos soluciones y esta ecuación, calculamos la x.

242
00:15:54,970 --> 00:16:05,200
Tenemos que 3x menos y más 2z es igual a menos 4.

243
00:16:05,980 --> 00:16:11,360
Por lo tanto, 3x es igual a menos 4 más y menos 2z.

244
00:16:11,360 --> 00:16:18,860
Y eso es igual a menos 4 más i, que vale 1, más 2 por 3

245
00:16:18,860 --> 00:16:23,340
Eso sería menos 4 más 1 más 6

246
00:16:23,340 --> 00:16:25,100
Y esto es 3

247
00:16:25,100 --> 00:16:32,700
Disculpad, había una pequeña errata

248
00:16:32,700 --> 00:16:39,639
¿Vale? Así que en despiste corregimos rápidamente esto

249
00:16:39,639 --> 00:16:41,679
Esto es un menos

250
00:16:41,679 --> 00:16:44,220
Y ahora lo que tenemos es

251
00:16:44,220 --> 00:16:53,240
Menos 4 más 1 menos 6

252
00:16:53,240 --> 00:16:55,159
y esto es menos 9

253
00:16:55,159 --> 00:16:56,539
por lo tanto

254
00:16:56,539 --> 00:16:58,899
3x es igual a menos 9

255
00:16:58,899 --> 00:17:01,299
luego x es igual a menos 9

256
00:17:01,299 --> 00:17:02,919
partido por 3

257
00:17:02,919 --> 00:17:04,339
que vale menos 3

258
00:17:04,339 --> 00:17:06,420
y ya tenemos las soluciones

259
00:17:06,420 --> 00:17:12,880
x es igual a menos 3

260
00:17:12,880 --> 00:17:14,539
y igual a 1

261
00:17:14,539 --> 00:17:16,380
y z igual a 3