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00:00:12,339 --> 00:00:17,760
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:17,760 --> 00:00:22,579
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:22,579 --> 00:00:33,539
de la unidad AN2 dedicada a las aplicaciones de los límites. En la videoclase de hoy estudiaremos

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00:00:33,539 --> 00:00:48,479
analíticamente la continuidad y los tipos de discontinuidades. En esta videoclase vamos

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00:00:48,479 --> 00:00:52,600
a estudiar discontinuidades, que es lo que ocurre en aquellos puntos donde la función

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00:00:52,600 --> 00:00:58,179
no es continua, utilizando límites haciendo un estudio analítico. Recordemos que para que una

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00:00:58,179 --> 00:01:02,560
función sea continua en un punto tienen que darse tres características. En primer lugar debe existir

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00:01:02,560 --> 00:01:07,939
el límite de la función, puesto que ambos límites laterales existen y coinciden. Debe existir la

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00:01:07,939 --> 00:01:13,659
imagen de la función en este punto y por último el límite y la imagen deben coincidir. Dependiendo

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00:01:13,659 --> 00:01:18,739
de cuál de estas características falle tendremos distintos tipos de discontinuidades. Y vamos a

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00:01:18,739 --> 00:01:26,420
comenzar con las discontinuidades evitables. Son aquellas en las que el límite existe, pero al

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00:01:26,420 --> 00:01:31,819
pasar al segundo o al tercer paso nos encontramos con un problema. Podría darse el caso de que el

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00:01:31,819 --> 00:01:38,040
límite existiera, pero no exista la imagen de la función en ese punto, o bien podría ser que

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00:01:38,040 --> 00:01:44,500
existiera, pero el límite que sí existe no coincidiera con esta imagen. En cualquiera de

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00:01:44,500 --> 00:01:49,920
estos dos casos, si el límite existe pero hay un fallo más adelante, diríamos que tenemos una

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00:01:49,920 --> 00:01:55,420
discontinuidad evitable. En este primer caso, en el caso en el que no existe el valor de la función

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00:01:55,420 --> 00:02:01,000
en el punto, lo que ocurre con la función es que tiene un punto vacío. Aquí tenemos un ejemplo a

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00:02:01,000 --> 00:02:05,819
la derecha. Vemos gráficamente cómo el límite cuando x tiende a menos 1 de la función, tanto

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00:02:05,819 --> 00:02:11,659
por la izquierda como por la derecha, es igual a 1. Este límite existe y es igual a 1, pero la

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00:02:11,659 --> 00:02:16,979
función no está definida en x igual a menos 1 y eso habitualmente se representa así con este

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00:02:16,979 --> 00:02:24,000
circulito que representa un punto vacío. En este ejemplo de aquí abajo ocurre algo similar o igual

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00:02:24,000 --> 00:02:29,599
puesto que en este caso el límite existe, el límite cuando x tiende a menos 1 de la función es igual a

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00:02:29,599 --> 00:02:34,460
1, tanto por la izquierda como por la derecha tiende a alcanzar el mismo valor. En este caso

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00:02:34,460 --> 00:02:41,520
sí existe el valor de la función f de menos 1 está definido pero es igual a 2, no es igual al valor

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00:02:41,520 --> 00:02:45,520
1, que era el valor del límite. En este caso, la función no tiene

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00:02:45,520 --> 00:02:49,659
un punto vacío, lo que pasa es que tiene un punto que no se sitúa en la tendencia

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00:02:49,659 --> 00:02:52,000
general de la función, no coincide con el límite.

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00:02:53,319 --> 00:02:57,560
Discontinuidades evitables se corresponden con funciones

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00:02:57,560 --> 00:03:01,340
que son continuas salvo en un punto. En este caso,

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00:03:01,439 --> 00:03:05,259
la función, como vemos, es continua salvo en este punto, donde no está

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00:03:05,259 --> 00:03:09,419
definida. El límite existe, pero no hay función. Aquí

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00:03:09,419 --> 00:03:15,099
ocurre algo similar. Veamos la función que es continua excepto en un punto. En este caso no es

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00:03:15,099 --> 00:03:18,740
que la función no esté definida, es que está definida en un punto que no se corresponde con

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00:03:18,740 --> 00:03:24,919
el límite. Insisto, discontinuidades evitables salvo un punto, bien porque sea vacío, bien porque

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00:03:24,919 --> 00:03:29,699
no se encuentre donde debería estar de acuerdo con la tendencia de la función. Tendencia me refiero

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00:03:29,699 --> 00:03:38,509
al límite. Vamos a llamar discontinuidades no evitables de primera especie aquellas en donde

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00:03:38,509 --> 00:03:47,270
ya el límite de la función en el punto no exista. Esto va a ser porque existen los límites laterales

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00:03:47,270 --> 00:03:53,389
pero no van a coincidir. Así pues, límite por la derecha existe, límite por la izquierda existe,

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00:03:53,669 --> 00:03:59,349
pero no coinciden. Nos encontramos con situaciones como estas que tenemos aquí representadas a la

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00:03:59,349 --> 00:04:05,750
derecha. En este primer caso, ambos límites laterales son finitos. En este ejemplo, límite

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00:04:05,750 --> 00:04:11,129
cuando x tendrá menos 1 por la izquierda es igual a 1, un valor finito. Límite cuando x tendrá menos 1

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00:04:11,129 --> 00:04:17,310
por la derecha es igual a 2, un valor finito. Nos encontramos con un salto. Si representamos la

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00:04:17,310 --> 00:04:23,209
función por la izquierda, al llegar a este valor tendríamos que pegar un salto, tenemos que levantar

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00:04:23,209 --> 00:04:28,110
el polígrafo, el utensilio de escritura de la superficie para poder continuar con la siguiente

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00:04:28,110 --> 00:04:33,790
rama. Y este salto es finito. Aquí podemos ver que hay una unidad de salto. En el caso en el que

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00:04:33,790 --> 00:04:37,649
alguno de los dos límites laterales fuera infinito, podrían ser los dos, podrían ser

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00:04:37,649 --> 00:04:42,610
sólo uno, a la discontinuidad se la va a denominar de salto infinito. Y es que va a

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00:04:42,610 --> 00:04:46,829
ocurrir eso precisamente, hay que dar un salto y la amplitud va a ser infinita. Fijaos en

49
00:04:46,829 --> 00:04:52,290
este ejemplo. El límite cuando x tiende a 2 por la izquierda es más infinito, la función

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00:04:52,290 --> 00:04:57,430
diverja más infinito, toma valores arbitrariamente más grandes, mientras que el límite cuando

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00:04:57,430 --> 00:05:02,649
x tiende a 2 por la derecha es menos infinito, la función diverge hacia menos infinito,

52
00:05:02,649 --> 00:05:06,170
la función va tomando valores arbitrariamente más pequeños.

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00:05:06,389 --> 00:05:11,730
Entonces, si queremos representar la función, lo que tenemos que hacer es pintar esta primera rama.

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00:05:12,269 --> 00:05:16,410
Cuando lleguemos hipotéticamente al infinito, tenemos que levantar el instrumento de escritura,

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00:05:16,589 --> 00:05:21,370
dar un salto infinito, porque venimos del infinito positivo, vamos al infinito negativo,

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00:05:21,810 --> 00:05:24,170
y a partir de aquí continuamos trazando la segunda rama.

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00:05:25,290 --> 00:05:30,310
En este caso, las discontinuidades no evitables de primera especie se denominan colocalmente de salto,

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00:05:30,310 --> 00:05:35,490
Puesto que, como podéis ver, tenemos dos ramas y lo que ocurre es que no encajan.

59
00:05:36,110 --> 00:05:41,810
No se trata de un único punto de diferencia, como en las discontinuidades evitables que veíamos anteriormente.

60
00:05:42,430 --> 00:05:50,449
Aquí hay un salto y directamente tenemos un salto finito, cuando los límites laterales existen, no coinciden, son finitos ambos.

61
00:05:50,829 --> 00:05:57,910
O infinito, si uno de los dos límites laterales, ambos existen, o si uno de los dos límites laterales o los dos son infinitos.

62
00:05:58,889 --> 00:06:06,430
Vamos a finalizar esta videoclase con el último tipo de discontinuidades, que son las discontinuidades no evitables de segunda especie.

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00:06:06,829 --> 00:06:12,149
Esto nos lo vamos a encontrar cuando al menos uno de los límites laterales no existe.

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00:06:12,709 --> 00:06:20,910
Y aquí tenemos un ejemplo de esta función, que es discontinua no evitable de segunda especie en x igual a menos 2 y en x igual a 0.

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00:06:21,350 --> 00:06:26,850
En x igual a menos 2 vemos que existe el límite cuando x tiende a menos 2 por la izquierda, es más infinito,

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00:06:26,850 --> 00:06:30,470
pero a su derecha la función no está definida, el límite no existe.

67
00:06:31,449 --> 00:06:37,170
En el caso de cero, límite cuando x tendrá cero por la derecha sí existe, sería menos infinito,

68
00:06:37,610 --> 00:06:41,529
pero a la derecha del cero la función no está definida, el límite lateral no existe.

69
00:06:43,519 --> 00:06:48,240
Vamos a finalizar esta videoclase analizando algunas de las funciones elementales,

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00:06:48,360 --> 00:06:53,480
aquellas que nos vamos a encontrar con mayor probabilidad a lo largo de este curso.

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00:06:54,379 --> 00:07:01,980
Cabe destacar que todas las funciones continuas, si recordáis, son continuas en los intervalos abiertos contenidos en su dominio.

72
00:07:02,439 --> 00:07:06,220
Si su dominio es un intervalo abierto, van a ser continuos en ese intervalo abierto.

73
00:07:06,779 --> 00:07:14,000
Si su dominio está formado por intervalos que van a ser cerrados, hay que tener cuidado con esos puntos frontera donde el dominio se cierra.

74
00:07:14,420 --> 00:07:15,800
Hay que hacer un estudio específico.

75
00:07:16,339 --> 00:07:21,759
En el caso concreto de las funciones polinómicas, son continuas en toda la recta real, puesto que su dominio es toda la recta real.

76
00:07:22,360 --> 00:07:27,579
En el caso de las funciones racionales, que son las otras que nos vamos a encontrar en mayor medida,

77
00:07:28,279 --> 00:07:32,459
hemos de tener en cuenta que son discontinuas en las abscisas de los ceros del denominador.

78
00:07:32,939 --> 00:07:38,740
Esa discontinuidad será no evitable de primera especie, de salto infinito, si se trata de una asíndota vertical,

79
00:07:38,740 --> 00:07:43,680
puesto que en las asíndotas verticales nos encontramos con ese tipo de discontinuidades siempre.

80
00:07:44,360 --> 00:07:47,560
Y se tratará de una discontinuidad evitable en caso contrario.

81
00:07:47,560 --> 00:07:56,079
Cabe mencionar, especialmente en los cursos de segundo de bachillerato, el estudio de las funciones definidas a trozos.

82
00:07:56,699 --> 00:08:07,199
No solamente hemos de estudiar qué es lo que ocurre dentro del dominio de definición de cada uno de los trozos, dentro de los abiertos contenidos dentro de estos dominios,

83
00:08:07,199 --> 00:08:19,439
sino que debemos prestar especial atención a qué es lo que ocurre en las fronteras, en esos puntos donde se produce la posible unión entre un trozo y el siguiente, o bien un trozo y el anterior.

84
00:08:19,939 --> 00:08:22,860
Hay que estudiarlos con mucho cuidado y estudiarlos por separado.

85
00:08:23,740 --> 00:08:35,159
Con esto que hemos discutido ya se pueden resolver estos ejercicios, algunos de ellos involucrando funciones definidas a trozos, que veremos en clase, probablemente veremos en alguna videoclase posterior.

86
00:08:35,360 --> 00:08:43,759
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

87
00:08:44,500 --> 00:08:48,600
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

88
00:08:49,419 --> 00:08:54,179
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

89
00:08:54,720 --> 00:08:56,120
Un saludo y hasta pronto.