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00:00:00,000 --> 00:00:04,219
En este vídeo voy a resolver el sistema que veis en la pantalla por el método de Gauss.

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00:00:04,759 --> 00:00:11,179
El método de Gauss es un método de resolución de sistemas de ecuaciones que nos permite resolver sistemas lineales

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00:00:11,179 --> 00:00:14,740
con cualquier número de ecuaciones y cualquier número de incógnitas.

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00:00:15,300 --> 00:00:21,379
En nuestro caso, en este curso, vamos a resolver sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas.

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00:00:22,120 --> 00:00:41,719
La idea del método de Gauss es, nos dan un sistema como este que vemos aquí, donde las tres ecuaciones tienen las tres incógnitas y vamos a pasar a un sistema equivalente, es decir, un sistema con las mismas soluciones, pero más sencillo porque es un sistema que va a ser escalonado.

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00:00:41,719 --> 00:01:16,980
En nuestro caso, el sistema escalonado al que vamos a llegar partiendo de este será el sistema x menos 2y más 2z igual a menos 3, 6y menos 3z igual a 9, menos z igual a 1.

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00:01:16,980 --> 00:01:30,239
Este sistema es mucho más sencillo de resolver. Vemos directamente en la tercera ecuación cuál va a ser el valor de z, sustituyendo en la segunda obtenemos el valor de y y así en la tercera obtendremos el valor de x.

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00:01:31,060 --> 00:01:43,920
Como veis, lo que he hecho ha sido hacer ceros en los coeficientes de la x de la segunda y la tercera ecuación y también he hecho cero en la tercera ecuación el coeficiente de la y.

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00:01:44,840 --> 00:01:49,239
Vamos a ver despacio cómo he conseguido hacer estos tres ceros.

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00:01:49,780 --> 00:02:00,739
Las transformaciones que voy a hacer son dos, las dos transformaciones elementales que podemos hacer es multiplicar una ecuación por un número distinto de cero

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00:02:00,739 --> 00:02:07,140
y sumar una ecuación por otra que hayamos multiplicado previamente por un número.

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00:02:07,140 --> 00:02:23,689
Para hacer el trabajo más cómodo, en lugar de estar escribiendo continuamente las tres variables x y z, vamos a utilizar la notación matricial y vamos a escribir directamente sólo los coeficientes de las ecuaciones.

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00:02:23,689 --> 00:02:37,030
La primera ecuación, sus coeficientes son 5, 2, 3, ponemos aquí una barrita y al lado derecho el término independiente que es el 4.

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00:02:37,569 --> 00:02:46,169
La segunda ecuación, el coeficiente de la x es un 2, el de la y un 2, el de la z es un 1, el término independiente es un 3.

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00:02:46,169 --> 00:02:55,689
La tercera ecuación, coeficiente de x1, de y menos 2, de z2, el término independiente es el menos 3.

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00:02:55,689 --> 00:03:07,789
Es importante que pongamos en la misma columna los coeficientes de las X, en la siguiente columna los de las Y, en la tercera los de las Z.

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00:03:07,789 --> 00:03:23,550
Para eso nos tenemos que fijar que el sistema, las ecuaciones no las están dando ordenadas como es el caso y si no nos las dan ordenadas, primer paso, ordenarlo a nosotros, los términos independientes a la derecha del igual y a la izquierda las variables ordenadas.

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00:03:24,530 --> 00:03:33,250
Otra cosa que podemos hacer es cambiar las ecuaciones de posición si nos interesa porque creamos que pueda resultarnos más fácil resolver el sistema.

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00:03:33,449 --> 00:03:41,030
Por ejemplo, si os fijáis en este caso, el coeficiente de la x de la tercera ecuación es un 1.

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00:03:41,930 --> 00:03:52,270
Lo voy a poner, esa ecuación la voy a poner como la primera porque tener ahí un 1 nos facilita después conseguir los ceros que nosotros queremos.

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00:03:52,270 --> 00:04:10,530
Entonces voy a poner la que era la tercera ecuación como la primera, la segunda ecuación la dejamos igual y la tercera ecuación era la que teníamos la primera.

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00:04:17,899 --> 00:04:24,379
Vamos a hacer ceros. La primera ecuación la voy a dejar como está, la voy a dejar fija.

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00:04:24,379 --> 00:04:50,629
Voy a hacer un 0 en esta posición de aquí. Para hacer un 0 en esa posición lo más fácil es multiplicar la primera ecuación por menos 2 y sumárselo a la segunda ecuación.

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00:04:50,629 --> 00:05:13,110
De manera que tengamos, tenemos menos 2 por 1, menos 2, menos 2 más 2, 0, menos 2 por menos 2, menos 4, menos 4 más 2, 6, menos 2 por 2, menos 4, menos 4 más 1, menos 3, menos 2 por menos 3, más 6, más 6 más 3, 9.

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00:05:13,110 --> 00:05:29,350
Vamos ahora a hacer un cero en esta posición de aquí. Para eso multiplico por menos 5 la primera ecuación y se la sumo a la tercera.

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00:05:29,350 --> 00:05:52,310
Ahora, menos 5 por 1, menos 5 más 5, 0. Menos 5 por menos 2, menos 10 más 2, 12. Menos 5 por 2, menos 10. Menos 10 más 3, 7. Menos 5 por menos 3, menos 15. Menos 15 más 4, 19.

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00:05:52,310 --> 00:06:03,269
Y este 7 es negativo. No sé por qué. Porque salía de hacer menos 5 por 2, menos 10, menos 10 más 3, menos 7. Eso es.

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00:06:03,930 --> 00:06:09,430
Ahora vamos a intentar conseguir un 0 en esta posición de aquí.

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00:06:10,009 --> 00:06:16,509
Las ecuaciones primera y segunda no las vamos a tocar y vamos simplemente a hacer un 0 ahí.

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00:06:16,509 --> 00:06:31,850
Voy a hacer un 0 en esa ecuación usando la ecuación anterior, que tiene como coeficiente de la i un 6.

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00:06:33,810 --> 00:06:38,290
De manera que si yo ese 6 lo multiplico por menos 2, tengo un menos 12.

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00:06:39,709 --> 00:06:45,470
Luego me interesa multiplicar la segunda ecuación por menos 2 y sumársela a la tercera.

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00:06:45,470 --> 00:07:09,810
En el primer caso, si yo multiplico, menos 2 por 0 más 0 es 0, menos 2 por 6 menos 12 más 12 es 0, menos 2 por menos 3 es 6, 6 menos 7 es menos 1 y hago la misma operación en el término independiente, menos 2 por 9 es menos 18 más 19 es 1.

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00:07:09,810 --> 00:07:17,870
Y ya he conseguido los tres ceros que quería. Un cero en la segunda ecuación, dos ceros en la tercera ecuación.

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00:07:18,769 --> 00:07:23,370
Y ya hemos llegado al sistema escalonado del que os hablaba al principio del vídeo.

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00:07:23,949 --> 00:07:31,009
Hemos llegado de este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas a este otro sistema escalonado que es equivalente,

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00:07:31,009 --> 00:07:51,620
es decir, que tiene las mismas soluciones, x menos 2y más 2z igual a menos 3, 6y menos 3z igual a 9, menos z igual a 1.

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00:07:51,620 --> 00:08:12,310
De la tercera ecuación deducimos que z ha de ser menos 1, sustituimos en la segunda ecuación la z por menos 1, despejando el valor de y es 1

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00:08:12,310 --> 00:08:25,149
y con esos dos valores nos vamos a la primera ecuación y tenemos x menos 2 por 1 más 2 por menos 1 igual a menos 3.

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00:08:26,170 --> 00:08:29,790
Despejando, x tiene que ser igual a 1.

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00:08:30,470 --> 00:08:38,350
Por lo tanto, este sistema que queríamos resolver es un sistema que tiene una solución única,

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00:08:38,350 --> 00:08:46,529
X igual a 1, Y igual a 1, Z igual a menos 1. Por lo tanto, es un sistema compatible determinado.

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00:08:47,250 --> 00:08:54,169
En vídeos que hay a continuación resolveremos un sistema incompatible y un sistema compatible indeterminado.

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00:08:54,750 --> 00:09:00,429
Espero que os haya sido útil y hayáis entendido un poquito mejor el método de Gauss.