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00:00:12,019 --> 00:00:17,280
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:17,280 --> 00:00:21,660
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:21,660 --> 00:00:26,579
de la unidad PR4 dedicada a las variables aleadoras continuas y a la distribución normal.

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00:00:30,910 --> 00:00:34,729
En la videoclase de hoy resolveremos el ejercicio propuesto 2.

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00:00:47,969 --> 00:00:53,429
En este ejercicio se nos pide que consideremos esta función f mayúscula de x, definida

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00:00:53,429 --> 00:00:59,229
por trozos, idénticamente nula si x es menor que 0, idénticamente igual a la unidad si x es mayor

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00:00:59,229 --> 00:01:05,170
que 2 y entre 0 y 2 ambos incluidos igual a x al cuadrado partido por 4. Y en primer lugar se nos

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00:01:05,170 --> 00:01:10,549
pide que comprobemos que se trata de la función de distribución que corresponde con la función de

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00:01:10,549 --> 00:01:16,810
densidad de probabilidad del ejercicio 1 anterior que resolvimos en la sección 2, función de densidad

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00:01:16,810 --> 00:01:22,250
de probabilidad de una variable aleatoria continua. Para ello lo que vamos a hacer es tomar la función

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00:01:22,250 --> 00:01:28,290
f mayúscula de x, derivarla y compararla con la función f minúscula, aquella que se nos pedía

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00:01:28,290 --> 00:01:33,069
que comprobáramos que era la función de densidad de probabilidad que le corresponde. Pues bien,

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00:01:33,450 --> 00:01:39,269
si derivamos la definición del primer trozo, que es 0, es una constante, es igual a 0. La del tercer

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00:01:39,269 --> 00:01:44,170
trozo, que es una constante igual a 1, también es igual a 0. Y en el caso del segundo trozo,

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00:01:44,230 --> 00:01:50,310
x cuadrado partido por 4, su derivada es x partido por 2. Así pues, si x es menor que 0,

16
00:01:50,310 --> 00:01:57,189
la derivada es 0, coincide con f minúscula. Si x es mayor que 2, la derivada es 0, coincide con f

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00:01:57,189 --> 00:02:04,829
minúscula. Y entre 0 y 2, la derivada es x partido por 2, coincide con f minúscula. Y así podemos

18
00:02:04,829 --> 00:02:12,229
concluir que efectivamente f minúscula, siendo la derivada de f mayúscula, es la función de densidad

19
00:02:12,229 --> 00:02:18,389
de probabilidad que corresponde a esta función de distribución. Quisiera hacer una salvedad,

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00:02:18,389 --> 00:02:23,870
quise hacer un pequeño comentario acerca de este estudio que acabo de hacer.

21
00:02:24,530 --> 00:02:26,789
En sentido estricto no es del todo correcto.

22
00:02:27,009 --> 00:02:29,150
Cuando yo derivo estas funciones en mayúscula,

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00:02:29,930 --> 00:02:35,310
0x partido por 2 y 0 sin más es o corresponde con la derivada

24
00:02:35,310 --> 00:02:38,689
en los intervalos abiertos contenidos dentro del dominio de cada trozo.

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00:02:39,069 --> 00:02:45,509
Y debería estudiar por separado, antes de decir que x partido por 2

26
00:02:45,509 --> 00:02:51,710
está definida entre 0 y 2, ambos incluidos, al cerrar estos intervalos, debería discutir la

27
00:02:51,710 --> 00:02:58,610
derivabilidad de esta función f mayúscula en 0 y en 2. En el caso de 0 no tengo más problema,

28
00:02:58,770 --> 00:03:05,050
la función es continua y la función tiene derivadas que van a coincidir, las derivadas

29
00:03:05,050 --> 00:03:10,330
laterales van a coincidir en 0 por la izquierda y por la derecha, de tal forma que no debería

30
00:03:10,330 --> 00:03:14,289
tener más problema la función es derivable en x igual a cero y puedo

31
00:03:14,289 --> 00:03:18,090
cerrar en esta parte igual que puede haber cerrado en la otra pero voy a

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00:03:18,090 --> 00:03:21,430
cerrar en cero para mantener el paralelismo con la forma en la que está

33
00:03:21,430 --> 00:03:27,430
definido f mayúscula en cuanto a qué es lo que ocurre en 2 no

34
00:03:27,430 --> 00:03:32,990
es así la función es en mayúscula es continua en x igual a 2 pero no es

35
00:03:32,990 --> 00:03:38,229
derivable porque fijaos la derivada lateral en 2 por la izquierda va a ser

36
00:03:38,229 --> 00:03:44,770
igual a 1, la derivada lateral del 2 por la derecha va a ser igual a 0. Así que en sentido estricto no

37
00:03:44,770 --> 00:03:51,509
debería poder cerrar este extremo y esta función derivada está definida para todos los valores de

38
00:03:51,509 --> 00:03:58,509
x distintos de 2. No obstante, puesto que me piden que compruebe que se trata con la función, con una

39
00:03:58,509 --> 00:04:04,409
cierta función de densidad de probabilidad, necesito que esta función f mayúscula y su

40
00:04:04,409 --> 00:04:07,469
derivada desde luego esté definida, puesto que es una función de densidad de

41
00:04:07,469 --> 00:04:13,349
probabilidad en x igual a 2. Puesto que añadir o quitar un único punto del

42
00:04:13,349 --> 00:04:18,370
dominio o alterar la imagen en f minúscula de x en un único punto no

43
00:04:18,370 --> 00:04:25,230
altera, no desvirtúa el sentido de cuál es su significado, el que las integrales

44
00:04:25,230 --> 00:04:29,610
en intervalos correspondan con probabilidades, me puedo permitir el lujo

45
00:04:29,610 --> 00:04:34,329
de cerrar aquí la derivada sencillamente para que quede más de manifiesto, como

46
00:04:34,329 --> 00:04:42,110
f' de x es f minúscula. Insisto, la derivada de f difiere de f minúscula en un único punto,

47
00:04:42,689 --> 00:04:48,750
pero eso no es relevante a efectos de para qué sirve f mayúscula, para qué sirve f minúscula.

48
00:04:49,490 --> 00:04:55,529
El análisis detallado y justificado de esto excede con mucho de los contenidos de segundo

49
00:04:55,529 --> 00:05:00,569
de bachillerato y desde luego de primero de bachillerato, con lo cual en este caso sencillamente

50
00:05:00,569 --> 00:05:03,370
lo voy a mencionar, lo he explicado un poquito, pero lo voy a dejar aquí.

51
00:05:05,899 --> 00:05:09,839
Alternativamente podemos comprobar que la función f mayúscula se puede obtener por

52
00:05:09,839 --> 00:05:15,879
integración de la función f minúscula. En este caso lo que vamos a hacer es la integral

53
00:05:15,879 --> 00:05:21,439
de menos infinito a un cierto valor de x de la función f minúscula que teníamos definida

54
00:05:21,439 --> 00:05:27,399
en el ejercicio 1, esa función de densidad de probabilidad. Tenemos que distinguir tres

55
00:05:27,399 --> 00:05:33,259
casos, puesto que nuestra función f minúscula está definida en tres trozos. Si x es menor o igual que

56
00:05:33,259 --> 00:05:39,600
0, en este caso f mayúscula se calculará como la integral de menos infinito a x menor o igual que 0

57
00:05:39,600 --> 00:05:47,000
de una función que es idénticamente igual a 0 y obtenemos el valor 0. Fijaos en que f de 0 coincide

58
00:05:47,000 --> 00:05:56,720
con el valor 0. Si x está comprendido entre 0 y 2, 2 incluido, x menor o igual que 2, esta f de x

59
00:05:56,720 --> 00:06:02,500
se calculará como dividiendo el intervalo de integración la integral de menos infinito a 0 de

60
00:06:02,500 --> 00:06:08,720
f minúscula que está definida idénticamente nula más la integral de 0 a x menor o igual que 2 y en

61
00:06:08,720 --> 00:06:14,779
ese caso f minúscula definida como t partido por 2. Esta primera integral con el integrando

62
00:06:14,779 --> 00:06:20,959
idénticamente nulo es igual a 0 y tal y como discutimos en el ejercicio 1 esta integral será

63
00:06:20,959 --> 00:06:27,620
un medio que hemos sacado fuera, la integral de t al cuadrado partido por 2, límites de

64
00:06:27,620 --> 00:06:33,459
integración entre 0 y x. En el límite superior, en el límite inferior, hacemos la resta aplicando

65
00:06:33,459 --> 00:06:38,579
la regla de Barrow y lo que obtenemos en este caso para esta f de x es x al cuadrado partido

66
00:06:38,579 --> 00:06:46,360
por 4. Y fijaos que podemos calcular f de 2 que sería idénticamente igual a 1. Si x es mayor que

67
00:06:46,360 --> 00:06:52,699
2, esta f de x que calculamos de esta manera, la vamos a calcular con tres integrales de

68
00:06:52,699 --> 00:06:59,500
menos infinito a 0, de 0 a 2 y de 2 a este x mayor que 2. La primera integral de 0 hemos

69
00:06:59,500 --> 00:07:03,920
discutido ya que va a ser idénticamente nula, aquí la tenemos. En cuanto a la tercera,

70
00:07:04,759 --> 00:07:10,339
con independencia del valor de x, la integral de 2 a cualquier valor de x mayor que 2 de

71
00:07:10,339 --> 00:07:14,699
un valor idénticamente igual a 0 va a ser igual a 0, que es este que tenemos aquí.

72
00:07:15,319 --> 00:07:27,019
En cuanto a la integral de 0 a 2 de t partido por 2, cuya primitiva es 1 medio de t cuadrado partido por 2, va a ser, en este caso, idénticamente igual a 1.

73
00:07:27,339 --> 00:07:29,759
Luego, esta suma va a ser igual a 1.

74
00:07:30,720 --> 00:07:37,600
Así pues, como queríamos comprobar, para esta f de x obtenemos, si x es menor que 0, 0.

75
00:07:37,600 --> 00:07:46,459
para el valor 0 también. Si x está comprendida entre 0 y 2, x al cuadrado partido por 4. En el

76
00:07:46,459 --> 00:07:53,220
caso en el que x vale 2 obtenemos el valor 1 y ese valor 1 también lo obtenemos si x es estrictamente

77
00:07:53,220 --> 00:08:01,279
mayor que 2. Esta es la definición de nuestra función f de x. Luego efectivamente f de x es la

78
00:08:01,279 --> 00:08:07,439
función de distribución que corresponde a f minúscula, función de densidad de probabilidad

79
00:08:07,439 --> 00:08:13,579
de una cierta variable aleatoria. En el apartado b se nos pide que representemos gráficamente la

80
00:08:13,579 --> 00:08:20,399
función y en este caso lo que obtenemos es esta representación que tenemos aquí. Para x menores

81
00:08:20,399 --> 00:08:27,879
que 0 la función es idénticamente nula. Para valores de x mayores que 2 la función es

82
00:08:27,879 --> 00:08:34,519
idénticamente igual a la unidad y entre 0 y 2 la función se define como la parábola x al cuadrado

83
00:08:34,519 --> 00:08:42,299
partido por 4, que se corresponde con esta rama de parábola, por cierto, con el vértice en x igual a 0.

84
00:08:42,639 --> 00:08:47,500
En el apartado c, una vez que hemos representado la función, se nos pide que comprobemos que cumple

85
00:08:47,500 --> 00:08:52,080
con las propiedades que le corresponden para ser una función de densidad de probabilidad de una

86
00:08:52,080 --> 00:08:58,200
cierta variable aleatoria continua. Y en este caso, sin más que observar la gráfica de la función,

87
00:08:58,539 --> 00:09:03,279
observamos que, desde luego, el límite cuando x tiende a menos infinito de f de x es igual a 0,

88
00:09:03,279 --> 00:09:07,000
puesto que de entre menos infinito y cero la función es idénticamente nula.

89
00:09:07,840 --> 00:09:11,659
Por supuesto, el límite cuando x tendrá más infinito de la función es igual a 1,

90
00:09:11,840 --> 00:09:15,620
puesto que de 2 hasta más infinito la función es idénticamente igual a la unidad.

91
00:09:16,940 --> 00:09:23,779
Vemos cómo la función f mayúscula de x es monótona, no decreciente, puesto que

92
00:09:23,779 --> 00:09:27,639
desde menos infinito hasta cero la función es constante.

93
00:09:28,179 --> 00:09:34,120
Desde 0 hasta 2, la función es la rama de la derecha, puesto que aquí estaría el vértice de una parábola,

94
00:09:34,240 --> 00:09:38,620
que efectivamente es monótona no decreciente, de hecho es monótona creciente.

95
00:09:39,279 --> 00:09:44,159
Y desde 2 hasta más infinito, la función es idénticamente igual a la unidad, luego es constante.

96
00:09:44,320 --> 00:09:46,919
Así pues, es monótona no decreciente.

97
00:09:47,799 --> 00:09:52,360
En cuanto a la continuidad de la función, esta función f mayúscula de x es continua.

98
00:09:52,360 --> 00:09:59,080
En x igual a 0 la función es idénticamente nula, límite por la izquierda y por la derecha es igual a 0

99
00:09:59,080 --> 00:10:05,059
En x igual a 2 la función toma el valor 1, límite por la izquierda y por la derecha es igual a 1

100
00:10:05,059 --> 00:10:10,740
Así pues la función es continua y por ello en consecuencia continúa por la derecha, también es por la izquierda por cierto

101
00:10:10,740 --> 00:10:18,580
consecuentemente podemos deducir que efectivamente f mayúscula de x es la función de densidad perdón

102
00:10:18,580 --> 00:10:24,899
la función de distribución de una cierta variable aleatoria continua por cierto la que corresponde

103
00:10:24,899 --> 00:10:33,039
a la función f minúscula que habíamos visto en el ejercicio 1 anterior en el aula virtual de la

104
00:10:33,039 --> 00:10:39,480
asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios asimismo tenéis más información

105
00:10:39,480 --> 00:10:44,740
en las fuentes bibliográficas y en la web. No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes

106
00:10:44,740 --> 00:10:49,299
a clase o al foro de dudas en el aula virtual. Un saludo y hasta pronto.