1 00:00:02,100 --> 00:00:10,960 Vamos a ver en este vídeo razones trigonométricas, pero antes vamos a introducir lo que es un 2 00:00:10,960 --> 00:00:18,800 radian. Todos conocemos el sistema sesagesimal para la medida de ángulos, que tiene comunidades 3 00:00:18,800 --> 00:00:26,839 el grado, el minuto y el segundo. El radian es otro modo de medir ángulos. Se define 4 00:00:26,839 --> 00:00:32,460 un radian al ángulo que se forma al coger la longitud del radio de la circunferencia 5 00:00:32,460 --> 00:00:43,619 y ponerlo sobre la circunferencia. Eso equivale a un radiano. Si nosotros ponemos dos veces el radio de la circunferencia tendríamos dos radianes 6 00:00:43,619 --> 00:00:55,600 y si ponemos pi veces el radio de la circunferencia tendríamos pi radianes. Es decir, una semicircunferencia tiene 180 grados o pi radianes 7 00:00:55,600 --> 00:01:01,219 y una circunferencia tiene 360 grados o 2 pi radianes. 8 00:01:01,840 --> 00:01:07,299 Conociendo esto, podemos calcular la conversión entre grados y radianes para cualquier ángulo. 9 00:01:09,650 --> 00:01:12,769 Es decir, si nos preguntan cuántos radianes son 30 grados, 10 00:01:13,609 --> 00:01:19,909 pues nosotros podemos decir si 180 grados equivalen a pi radianes, pues 30 grados equivalen a x. 11 00:01:20,950 --> 00:01:26,109 Y aquí aplicando la regla de 3, pues nos quedaría 30 pi partido 180, que son pi sextos radianes. 12 00:01:27,230 --> 00:01:30,390 También podríamos hacer la conversión al revés, de radianes a grados. 13 00:01:31,430 --> 00:01:37,170 Otro método, si no queremos hacer la regla de 3, es que nosotros sabemos que 360 son 2pi, 14 00:01:37,590 --> 00:01:44,230 180pi, 90pi medios, 60pi tercios, 45pi cuartos, etcétera, etcétera. 15 00:01:45,069 --> 00:01:52,189 Entonces, si nos piden pasar a radianes 75 grados, podemos descomponerlo como 60 más 15, 16 00:01:52,189 --> 00:01:58,609 y tendríamos que son 60 son pi tercios radianes y 15 es la mitad de 30, es decir, pi doceavos. 17 00:01:59,689 --> 00:02:02,230 Si sumamos eso, nos sale 5 pi doceavos. 18 00:02:03,209 --> 00:02:05,549 También siempre podemos hacer la regla de 3. 19 00:02:06,469 --> 00:02:09,370 180 grados son pi radianes, 75. 20 00:02:10,550 --> 00:02:15,419 Nos metemos ya con las razones trigonométricas. 21 00:02:16,740 --> 00:02:20,080 Las principales son seno, coseno y tangente. 22 00:02:20,080 --> 00:02:33,500 Si nosotros trazamos esta circunferencia de aquí, de radio r, marcado en azul, llamamos seno a la coordenada de las y que tenemos aquí, partido del radio de la circunferencia. 23 00:02:34,460 --> 00:02:42,639 Llamamos coseno al valor de las coordenadas x, es decir, la proyección del radio sobre el eje de las x, partido del radio de la circunferencia. 24 00:02:43,460 --> 00:02:47,080 Y la tangente sería y partido de x. 25 00:02:47,080 --> 00:02:55,740 Si nos fijamos, aquí se está formando un triángulo rectángulo, cuyos catetos son x e y y la hipotenusa es r. 26 00:02:56,740 --> 00:03:03,020 Pues llamamos seno del ángulo alfa al cateto opuesto partido por la hipotenusa. 27 00:03:03,740 --> 00:03:08,719 Llamamos coseno de alfa al cateto contiguo partido de la hipotenusa. 28 00:03:09,419 --> 00:03:14,400 Y llamamos tangente de alfa al cateto opuesto partido del cateto contiguo. 29 00:03:14,400 --> 00:03:24,240 Si nosotros cogemos esta circunferencia de radio r, ya hemos dicho que el seno sería y partido de r, 30 00:03:25,360 --> 00:03:30,180 que el coseno sería x partido de r y que la tangente sería y partido de x. 31 00:03:30,960 --> 00:03:36,819 Pero si yo en lugar de coger esta circunferencia cojo esta otra, pues las razones trigonométricas serían las mismas. 32 00:03:36,819 --> 00:03:43,620 seno, el nuevo valor de y partido del nuevo valor de r, 33 00:03:44,419 --> 00:03:48,759 coseno, nuevo valor de x partido del nuevo valor de r 34 00:03:48,759 --> 00:03:54,120 y tangente, nuevo valor de y partido del nuevo valor de x. 35 00:03:55,120 --> 00:03:58,800 Y lo mismo ocurre si yo cojo otra circunferencia. 36 00:03:59,500 --> 00:04:03,080 Pero si nos damos cuenta, esto de aquí que se están formando 37 00:04:03,080 --> 00:04:05,840 son triángulos rectángulos semejantes, 38 00:04:05,840 --> 00:04:11,620 están en la posición de tales. Tienen mismos ángulos y los lados son proporcionales. 39 00:04:12,379 --> 00:04:18,939 Es decir, que a mí me da igual coger la circunferencia que sea para el cálculo del seno, el coseno 40 00:04:18,939 --> 00:04:25,839 y la tangente, porque los lados son proporcionales y los cálculos van a ser siempre los mismos. 41 00:04:27,019 --> 00:04:33,620 Entonces, si yo cojo una circunferencia de radio 1, es decir, este valor de aquí es 42 00:04:33,620 --> 00:04:42,860 1, si yo cojo una regla y mido esta longitud de aquí, eso será el seno. Si mido con la 43 00:04:42,860 --> 00:04:48,819 regla esta longitud de aquí, eso será el coseno. Y si divido el valor de y, me ha salido 44 00:04:48,819 --> 00:04:55,259 por el valor de x, me sale la tangente. Como además esto es un triángulo rectángulo, 45 00:04:55,680 --> 00:05:01,439 se tiene que aplicar Pitágoras, es decir, que esto al cuadrado, que vale 1, es igual 46 00:05:01,439 --> 00:05:08,180 a x al cuadrado, que es el coseno de alfa al cuadrado, más y al cuadrado, que es el 47 00:05:08,180 --> 00:05:12,040 seno de alfa al cuadrado. Es decir, que si cogemos el seno del ángulo y le elevamos 48 00:05:12,040 --> 00:05:16,660 al cuadrado, el coseno del mismo ángulo y le elevamos al cuadrado, siempre va a dar. 49 00:05:22,860 --> 00:05:37,339 Vamos a ver cómo se construye la función coseno. Si nosotros vamos moviendo, si nosotros 50 00:05:37,339 --> 00:06:01,740 Entonces, cogemos nuestra circunferencia con radio R, esta de aquí, y vamos moviendo el radio sobre la circunferencia, nos paramos en 30 grados y tomamos el valor de esta longitud. 51 00:06:02,600 --> 00:06:04,139 Ese es el coseno para 30 grados. 52 00:06:05,160 --> 00:06:10,560 Si nos movemos en 60, cogemos la longitud, ese es el valor del coseno para 60. 53 00:06:11,439 --> 00:06:18,779 Cuando llegamos a 90, el valor del coseno es 0, porque la proyección sobre el eje X es un punto. 54 00:06:20,060 --> 00:06:29,160 Si me muevo a 120 grados, el coseno ya es negativo, porque me estoy moviendo en el eje de las X, pero ya en los valores negativos. 55 00:06:29,160 --> 00:06:34,139 para 150 también sigue siendo negativo 56 00:06:34,139 --> 00:06:40,829 y para 180 grados el valor del coseno es menos 1 57 00:06:40,829 --> 00:06:44,750 porque estamos tomando una circunferencia de radio 1 58 00:06:44,750 --> 00:06:47,230 así continuamos 59 00:06:47,230 --> 00:06:52,430 este sería el coseno, la proyección sobre el eje X 60 00:06:52,430 --> 00:06:54,110 para cada uno de los ángulos 61 00:06:54,110 --> 00:06:57,970 cuando llegamos a 270 grados 62 00:06:57,970 --> 00:07:00,129 el coseno vuelve a ser 0 63 00:07:00,129 --> 00:07:03,589 porque la proyección sobre el eje X es un punto. 64 00:07:05,149 --> 00:07:10,170 Y una vez que pasamos de 270 grados, por ejemplo, a 300 grados, 65 00:07:11,230 --> 00:07:13,089 ya tenemos que el coseno vuelve a ser positivo 66 00:07:13,089 --> 00:07:17,490 porque nos empezamos a mover otra vez en el eje de las X positivo. 67 00:07:19,620 --> 00:07:24,800 Si nos damos cuenta, cuando damos la vuelta completa volvemos al valor 1 68 00:07:24,800 --> 00:07:26,680 y volveríamos a empezar. 69 00:07:27,160 --> 00:07:30,519 Es decir, el coseno de un ángulo es un número que está comprendido 70 00:07:30,519 --> 00:07:33,519 siempre entre 1 y menos 1. 71 00:07:35,060 --> 00:07:38,199 No puede darnos un valor que esté fuera del rango de menos 1 a 1. 72 00:07:39,199 --> 00:07:42,579 Y lo mismo ocurre para el seno. 73 00:07:42,579 --> 00:07:55,100 El seno tampoco puede ser un valor que esté por debajo de menos 1 ni por encima de 1. 74 00:07:55,100 --> 00:08:23,199 Ahora, recapitulando, seno, valor de la proyección sobre el eje Y, coseno, valor de la proyección sobre el eje X, para que os acordéis, coseno, cateto contiguo, seno, cateto opuesto, y la tangente es cateto opuesto partido del cateto contiguo. 75 00:08:23,199 --> 00:08:37,539 Entonces, aquí que aplicaríamos para calcular? Esto de aquí. Yo tengo este ángulo de aquí y conozco esto y esto. Esto no lo conozco. 76 00:08:38,419 --> 00:08:45,720 Pues lo primero que tengo que calcular es el ángulo. ¿Cuánto vale el ángulo? Pues el ángulo, yo tengo el cateto contiguo y la hipotonusa. 77 00:08:45,720 --> 00:08:47,799 lo puedo sacar a partir del coseno. 78 00:08:49,539 --> 00:08:52,720 Aquí vuelvo a conocer el lado contiguo, 79 00:08:53,919 --> 00:08:56,460 el cateto contiguo y la hipotenusa, vuelve a ser el coseno. 80 00:08:57,580 --> 00:09:03,679 Aquí lo que conozco es el cateto opuesto y la hipotenusa, 81 00:09:03,960 --> 00:09:04,799 aquí sería el seno. 82 00:09:07,370 --> 00:09:09,809 A partir del seno, coseno y tangente 83 00:09:09,809 --> 00:09:11,710 tenemos unas nuevas razones trigonométricas 84 00:09:11,710 --> 00:09:13,950 que son la cosecante, que es la inversa del seno, 85 00:09:14,330 --> 00:09:15,669 la secante, que es la inversa del coseno 86 00:09:15,669 --> 00:09:17,669 en la cotangente, que es la inversa de la tangente. 87 00:09:21,289 --> 00:09:23,570 Signos. Pues ya hemos comentado en el vídeo de antes 88 00:09:23,570 --> 00:09:25,529 que si yo me muevo en el primer cuadrante, 89 00:09:26,529 --> 00:09:28,750 tanto el coseno como el seno son positivos 90 00:09:28,750 --> 00:09:30,649 y la tangente, como los dos son positivos 91 00:09:30,649 --> 00:09:33,049 y es un cociente entre los dos, pues más por más, 92 00:09:33,370 --> 00:09:34,149 pues positivo también. 93 00:09:35,090 --> 00:09:36,669 Si nos movemos en el segundo cuadrante, 94 00:09:36,950 --> 00:09:40,190 el seno es positivo, pero el coseno es negativo 95 00:09:40,190 --> 00:09:41,629 y al dividir más por menos, 96 00:09:41,789 --> 00:09:43,450 me quedaría que la tangente es negativa. 97 00:09:44,610 --> 00:09:47,330 Si me muevo por el tercer cuadrante, 98 00:09:48,710 --> 00:09:53,750 Seno negativo, coseno negativo y la tangente es menos por menos más. 99 00:09:53,929 --> 00:09:54,950 La tangente es positiva. 100 00:09:56,090 --> 00:09:59,370 Y si me muevo por ángulos en el cuarto cuadrante, 101 00:10:00,009 --> 00:10:03,309 nos estamos moviendo con senos negativos, con senos positivos 102 00:10:03,309 --> 00:10:12,289 y la tangente es negativa, menos por más. 103 00:10:14,659 --> 00:10:15,539 Casos prácticos. 104 00:10:15,539 --> 00:10:39,450 Pues imaginaos que yo pongo una escalera para coger un gato que se me ha subido al árbol, es lo más común del mundo. Este problema es, vamos, a todo el mundo le pasa. Entonces yo pongo una escalera, conozco la longitud de la escalera que estoy utilizando y conozco la altura del árbol y quiero calcular el ángulo que forma la escalera con el suelo. 105 00:10:39,450 --> 00:10:48,549 Pues yo estoy conociendo el cateto opuesto y la hipotenusa, es decir, voy a aplicar la fórmula del seno. 106 00:10:49,450 --> 00:10:59,070 Aplico la fórmula del seno y me sale que el seno de alfa es 3 partido de 4 y el ángulo alfa va a ser el arco seno de 3 cuartos, es decir, 48.6 grados. 107 00:11:01,820 --> 00:11:07,980 A partir de ahí yo podría ya calcular, si no quiero aplicar Pitágoras, esto de aquí, 2.65 metros. 108 00:11:07,980 --> 00:11:15,919 Yo quiero calcular el ángulo con el que tengo que tirar un balón para meterlo por la escuadra desde el punto de penalti. 109 00:11:17,159 --> 00:11:24,480 ¿Qué conozco? Conozco la altura de la portería y la distancia desde la cual se tira el penalti. 110 00:11:25,440 --> 00:11:31,759 ¿Qué aplico? Si yo conozco x e y, aplico la fórmula de la tangente. 111 00:11:31,759 --> 00:11:35,200 aplicando la fórmula de la tangente 112 00:11:35,200 --> 00:11:36,639 tendríamos que es 2.5 113 00:11:36,639 --> 00:11:38,559 que es el valor de y partido de x que es 10 114 00:11:38,559 --> 00:11:39,779 y me quedaría 115 00:11:39,779 --> 00:11:42,980 el ángulo que forma es el arco tangente de un cuarto 116 00:11:42,980 --> 00:11:44,860 es decir 14.04 grados 117 00:11:44,860 --> 00:11:47,259 luego otra cosa es que tengas puntería 118 00:11:47,259 --> 00:11:47,820 y metas el arco 119 00:11:47,820 --> 00:11:50,940 aquí por ejemplo 120 00:11:50,940 --> 00:11:54,059 nosotros tenemos 121 00:11:54,059 --> 00:11:55,840 que hacer una escalera 122 00:11:55,840 --> 00:11:58,299 para subir a una segunda planta 123 00:11:58,299 --> 00:12:00,379 y sé que yo voy a tener un ángulo 124 00:12:00,379 --> 00:12:01,059 de la escalera 125 00:12:01,059 --> 00:12:10,269 pues 50 grados o 45, lo que sea. ¿Cuál va a ser la longitud de la escalera? Pues si 126 00:12:10,269 --> 00:12:17,429 yo lo que necesito saber es la longitud de la escalera, tengo cateto opuesto y tengo 127 00:12:17,429 --> 00:12:26,230 hipotenusa, sería el seno. Si lo que yo quiero conocer es esta distancia, ¿qué espacio 128 00:12:26,230 --> 00:12:30,990 me va a ocupar la escalera? Pues tendría cateto opuesto y cateto contiguo, aplicaría 129 00:12:30,990 --> 00:12:41,250 la tangente. Aquí igual, si yo conozco la altura que tengo que solventar con esta rampa y el ángulo 130 00:12:41,250 --> 00:12:47,110 que voy a poner en la rampa, no muy alto obviamente para que se pueda subir, pues imaginaos 15 grados, 131 00:12:47,350 --> 00:12:54,230 20 grados, lo que sea, este ángulo me lo dan, puedo calcular hasta dónde va a llegar la rampa. 132 00:12:55,029 --> 00:13:00,730 Conocería el cateto opuesto y conozco el ángulo y necesito saber el cateto contiguo. Como estamos 133 00:13:00,730 --> 00:13:14,440 trabajando con catetos aplicaríamos la fórmula de la tangente y estos son los casos prácticos que vamos a ver.