1
00:00:00,500 --> 00:00:04,080
Vamos a ver los ejercicios 67, 68 y 69, ¿vale?

2
00:00:04,440 --> 00:00:07,320
Son funciones racionales, la integral de una función racional,

3
00:00:07,780 --> 00:00:12,619
en la que el denominador es más grande que el denominador, por lo tanto puedo hacer la división.

4
00:00:13,859 --> 00:00:20,379
3x cuadrado más x menos 9, lo divido entre x más 2.

5
00:00:21,539 --> 00:00:29,579
3x cuadrado entre x es 3x, multiplicamos, 3x por 2 son 6x, ponemos el opuesto, menos 6x,

6
00:00:29,579 --> 00:00:34,899
3x por x, 3x cuadrado menos 3x cuadrado, ¿vale?

7
00:00:36,759 --> 00:00:40,219
Sumamos, se nos va, más x menos 6x es menos 5x

8
00:00:40,219 --> 00:00:42,420
Y bajamos el menos 9

9
00:00:42,420 --> 00:00:45,380
Menos 5 entre x es menos 5

10
00:00:45,380 --> 00:00:49,060
Multiplicamos, menos 5 por 2 es menos 10

11
00:00:49,060 --> 00:00:51,799
Ponemos el opuesto, más 10

12
00:00:51,799 --> 00:00:54,280
Menos 5 por x, menos 5x

13
00:00:54,280 --> 00:00:56,259
Ponemos el opuesto

14
00:00:56,259 --> 00:00:59,479
Sumamos, se nos va y nos queda aquí

15
00:00:59,479 --> 00:01:11,180
Y ahora ya simplemente aplicamos la fórmula de dividendo entre divisor es igual a cociente más el resto entre el divisor.

16
00:01:11,879 --> 00:01:23,959
Y esto sería igual a la integral del cociente que es 3x menos 5 más el resto que es 1 partido por el divisor que es x más 2.

17
00:01:25,159 --> 00:01:26,200
Diferenciate x.

18
00:01:26,200 --> 00:01:45,599
Luego esto va a ser, ya son integrales inmediatas, la de 3x es 3x cuadrado partido de 2 menos 5x y el tercer sumando es el logaritmo, más el logaritmo neperiano del valor absoluto de x más 2.

19
00:01:45,599 --> 00:01:48,599
y la k

20
00:01:48,599 --> 00:01:52,989
vamos con la 68

21
00:01:52,989 --> 00:01:55,269
es una función racional

22
00:01:55,269 --> 00:01:56,209
que el denominador

23
00:01:56,209 --> 00:01:59,049
el numerador es más grande el grado que el denominador

24
00:01:59,049 --> 00:02:00,510
por lo tanto puedo hacer la división

25
00:02:00,510 --> 00:02:04,670
x cubo menos 2x cuadrado

26
00:02:04,670 --> 00:02:07,489
menos 3x más 10

27
00:02:07,489 --> 00:02:09,590
lo dividimos

28
00:02:09,590 --> 00:02:12,750
entre x cuadrado menos 1

29
00:02:12,750 --> 00:02:16,069
x cubo entre x cuadrado es x

30
00:02:16,069 --> 00:02:38,430
multiplicamos, x por menos 1 es menos x, por lo tanto ponemos más x, x por x cuadrado es x cubo, ponemos el opuesto y sumamos, se nos va, menos 2x cuadrado menos 2x más 10, seguimos dividiendo, menos 2x cuadrado entre x cuadrado es menos 2 y ya multiplicamos,

31
00:02:38,430 --> 00:02:44,750
menos 2 por 1 es más 2, por lo tanto el opuesto menos 2, menos 2 por x cuadrado es menos 2x cuadrado,

32
00:02:44,889 --> 00:02:47,770
ponemos el opuesto más 2x cuadrado.

33
00:02:49,310 --> 00:02:53,250
Este se me va y aquí me queda menos 2x más 8.

34
00:02:54,430 --> 00:02:59,110
Aplicamos la fórmula de la división y esto es lo mismo que la integral del cociente,

35
00:02:59,110 --> 00:03:12,689
que es x menos 2, más el resto, que es menos 2x más 8, entre x cuadrado menos 1, diferencial de x.

36
00:03:13,150 --> 00:03:20,229
Pero, ¿qué ocurre ahora? Que la primera parte, el x menos 2, es inmediata, pero volvemos a tener una función racional,

37
00:03:20,750 --> 00:03:24,689
pero en este caso el grado del numerador es más pequeño que el grado del denominador.

38
00:03:25,349 --> 00:03:31,509
Por lo tanto, vamos a poner aquí una línea de división, lo que tenemos que hacer es transformarlo en fracciones simples.

39
00:03:32,169 --> 00:03:40,030
El denominador x cuadrado menos 1 es una expresión notable, x cuadrado menos 1, sabemos que esto es la suma,

40
00:03:40,030 --> 00:03:44,150
es suma por diferencia, x más 1 por x menos 1, ¿vale?

41
00:03:44,150 --> 00:04:00,750
Por lo tanto, menos 2x más 8 partido de x cuadrado menos 1 lo vamos a dividir en fracciones simples, en dos fracciones cuyo denominador sea x más 1 y x menos 1.

42
00:04:00,750 --> 00:04:19,310
Este le llamamos a, a la segunda le llamamos b, operamos como siempre y esto quedaría a por x menos 1 más b por x más 1 y esto es justamente el mismo denominador, x más 1 por x menos 1.

43
00:04:20,310 --> 00:04:26,870
¿Y de aquí qué obtenemos? Pues para que las fracciones sean iguales, lo que tiene que ocurrir es que menos 2x más 8,

44
00:04:28,509 --> 00:04:32,050
o sea, los numeradores tienen que ser iguales ya que los denominadores son iguales,

45
00:04:33,110 --> 00:04:38,149
es igual a a por x menos 1 más b por x más 1.

46
00:04:38,329 --> 00:04:42,490
Y no lo operamos porque lo que vamos a hacer para calcular el valor de a y b,

47
00:04:43,069 --> 00:04:48,490
lo que vamos a sustituir son los valores donde se hace cero cada uno de esos monomios.

48
00:04:48,490 --> 00:04:52,410
Es decir, es como si la primera ecuación la hubiéramos igualado a 0

49
00:04:52,410 --> 00:04:55,730
Y de aquí sacábamos las dos raíces

50
00:04:55,730 --> 00:04:59,269
Que son x igual a 1 y x igual a menos 1

51
00:04:59,269 --> 00:05:02,269
Entonces sustituimos cuando la x es 1

52
00:05:02,269 --> 00:05:04,569
Sustituyo y que obtengo

53
00:05:04,569 --> 00:05:06,529
Menos 2 más 8 es 6

54
00:05:06,529 --> 00:05:08,970
Es igual a 1 menos 1 es 0

55
00:05:08,970 --> 00:05:12,269
Luego me queda b, 1 más 1 es 2, 2b

56
00:05:12,269 --> 00:05:16,910
Y entonces me queda que la b es igual a 6

57
00:05:16,910 --> 00:05:19,589
entre 2, 3

58
00:05:19,589 --> 00:05:22,670
sustituimos en el x igual a menos 1

59
00:05:22,670 --> 00:05:28,709
y que me queda menos 2 por menos 1 es 2

60
00:05:28,709 --> 00:05:29,529
más 8, 10

61
00:05:29,529 --> 00:05:33,629
igual a menos 1 por menos 1 es menos 2

62
00:05:33,629 --> 00:05:34,529
menos 2a

63
00:05:34,529 --> 00:05:36,829
y la b se multiplica por 0

64
00:05:36,829 --> 00:05:39,029
por lo tanto me queda que la a

65
00:05:39,029 --> 00:05:43,290
es igual a 10 entre menos 2

66
00:05:43,290 --> 00:05:46,209
es decir, menos 5

67
00:05:46,209 --> 00:06:05,730
¿Vale? Y ya lo tenemos como una suma de fracciones, entonces sustituimos arriba donde teníamos la integral y esto va a ser igual a la integral de x menos 2 más, bueno sería menos porque la a es menos 5,

68
00:06:05,730 --> 00:06:19,250
pero bueno, más menos 5 partido por x más 1, más la b que es 3 partido por x menos 1 diferencial de x, ¿vale?

69
00:06:19,629 --> 00:06:26,730
Y esto me voy aquí abajo, y así que tenemos todas las integrales, son inmediatas,

70
00:06:26,730 --> 00:06:40,610
y esto va a ser x cuadrado partido de 2 menos 2x menos 5 por el logaritmo neperiano del valor absoluto de x más 1

71
00:06:40,610 --> 00:06:50,129
más 3 por el logaritmo neperiano del valor absoluto de x menos 1 más la k.

72
00:06:51,149 --> 00:06:52,870
Y ya estaría hecha también la 68.

73
00:06:53,730 --> 00:06:59,689
Fijamos que hemos tenido que aplicar, en esta misma integral,

74
00:07:00,269 --> 00:07:04,930
hemos tenido que dividir porque tenía el grado del numerador mayor que el del denominador

75
00:07:04,930 --> 00:07:07,069
y luego hemos tenido que hacer las fracciones simples.

76
00:07:08,050 --> 00:07:09,310
Vamos con la 69.

77
00:07:10,709 --> 00:07:11,990
Uy, había dejado mucho hueco.

78
00:07:13,149 --> 00:07:17,470
La 69, el grado del denominador es mayor que el grado del numerador,

79
00:07:18,029 --> 00:07:20,910
por lo tanto tenemos que aplicar el método de fracciones simples.

80
00:07:20,910 --> 00:07:42,069
Lo primero es calcular las raíces o factorizar x cuadrado más x menos 2, si aplicamos lo de la suma y el producto, vemos que factoriza como x más 2 por x menos 1, ya que sus raíces son menos 2 y 1, ¿vale?

81
00:07:42,069 --> 00:07:54,920
Si no lo veo, directamente igual a 0. La ecuación de segundo grado, bueno, voy a ponerla aquí directamente para saber las raíces, pero lo podéis haber calculado antes, ¿vale?

82
00:07:55,060 --> 00:08:07,689
Menos 2 y 1, luego para después. Bien, entonces lo que nosotros queremos es que 8x más 7 entre x cuadrado más x menos 2,

83
00:08:07,689 --> 00:08:13,209
lo podamos escribir como una fracción que el denominador sea x más 2

84
00:08:13,209 --> 00:08:18,829
el numerador lo voy a llamar a más otra fracción que el denominador es x menos 1

85
00:08:18,829 --> 00:08:21,209
y le vamos a llamar b.

86
00:08:22,389 --> 00:08:29,089
Sumamos y esto es a por x menos 1 más b por x más 2

87
00:08:29,089 --> 00:08:37,320
todo dividido entre x más 2 por x menos 1.

88
00:08:38,259 --> 00:08:43,120
Y como siempre, para que sea una igualdad de fracciones, tiene que ocurrir que 8x más 7,

89
00:08:44,940 --> 00:08:48,799
es decir, como son el mismo denominador, los numeradores tienen que ser iguales.

90
00:08:49,379 --> 00:08:58,039
Por lo tanto, 8x más 7 tiene que ser lo mismo que a por x menos 1 más b por x más 2.

91
00:09:00,120 --> 00:09:03,419
Damos los valores de las raíces para calcular el a y el b.

92
00:09:04,019 --> 00:09:05,860
Empezamos con x igual a menos 2.

93
00:09:05,860 --> 00:09:11,980
Si x es igual a menos 2, me queda 8 por menos 2 es menos 16, más 7 es 9

94
00:09:11,980 --> 00:09:16,620
Igual a menos 2 menos 1 es menos 3, menos 3a

95
00:09:16,620 --> 00:09:24,940
Luego la a es 9 entre menos 3, menos 3

96
00:09:24,940 --> 00:09:28,340
Si ahora damos la otra raíz, la x es igual a 1

97
00:09:28,340 --> 00:09:32,740
8 más 7 son 15, estoy sustituyendo

98
00:09:32,740 --> 00:09:50,480
y esto es igual, 1 menos 1 es 0, por lo tanto la parte de la a se me va, 1 más 2 es 3, 3b, y lo que me queda es que la b es 15 entre 3 igual a 5, ¿vale?

99
00:09:50,940 --> 00:09:59,240
Daos cuenta que donde estamos sustituyendo es en esta ecuación, aquí es donde sustituimos los valores, para calcular el a y el b.

100
00:09:59,240 --> 00:10:20,100
Una vez que ya tenemos el a y el b, volvemos a la ecuación y sabemos que esto se puede escribir como a que es menos 3 partido por el denominador que era x más 2, más el b que es 5 partido por el denominador que es x menos 1, diferencial de x.

101
00:10:20,100 --> 00:10:37,980
Y esto va a ser igual a menos 3 por el logaritmo neperiano del valor absoluto de x más 2, más 5 por el logaritmo neperiano de x menos 1, más k.

102
00:10:38,740 --> 00:10:40,539
Y este sería el último ejercicio.