1
00:00:01,710 --> 00:00:09,710
Vamos a hacer la segunda parte, bueno, solo quedaban dos ejercicios, he hecho 5 en el primer fichero, nos quedan el 6 y el 7.

2
00:00:09,710 --> 00:00:16,670
En el ejercicio 6 tenemos que hacer la función derivada, en este caso ya no usando la definición, sino con las reglas, mucho más sencillo.

3
00:00:17,170 --> 00:00:22,429
Y el ejercicio 7 es hallar la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a una función en ese punto que nos indican.

4
00:00:22,429 --> 00:00:50,329
Bueno, pues empezamos con las derivadas, como siempre, por pasos, es decir, la derivada de esto, esto es un cociente, luego la derivada es denominador al cuadrado, y arriba derivada del numerador, que es la derivada de una raíz, por el denominador sin derivar, menos el numerador, por la derivada del denominador que es 1.

5
00:00:50,329 --> 00:00:52,789
esta no la pongo, que es la derivada de la función identidad

6
00:00:52,789 --> 00:00:53,649
la pongo aquí por 1

7
00:00:53,649 --> 00:00:58,210
pues ya está, me faltaría la derivada de esa raíz

8
00:00:58,210 --> 00:00:59,909
la derivada de la raíz de x más 1

9
00:00:59,909 --> 00:01:05,069
la derivada de esta raíz

10
00:01:05,069 --> 00:01:06,730
como es la función compuesta de una raíz

11
00:01:06,730 --> 00:01:10,109
siempre es abajo el doble de la raíz

12
00:01:10,109 --> 00:01:13,890
y arriba la derivada de x más 1

13
00:01:13,890 --> 00:01:17,870
pero la derivada de x más 1 es 1

14
00:01:17,870 --> 00:01:19,090
porque es un polinomio

15
00:01:19,090 --> 00:01:42,390
Así que es 1 partido de 2 raíz de x más 1. Lo tendría que haber puesto en rojo esto. Así que 1 partido de 2 raíz de x más 1 por x menos raíz de x más 1 y todo eso dividido entre x al cuadrado.

16
00:01:42,390 --> 00:02:03,730
Bueno, pues la derivada ya está hecha. Lo que hay que hacer ahora es operar adecuadamente. Arriba tengo esta x, esta aquí. Lo vuelvo a poner mejor. x partido de 2 raíz de x más 1 menos raíz de x más 1 partido por x cuadrado. He repetido lo mismo.

17
00:02:03,730 --> 00:02:07,129
voy a hacer esta operación, multiplico cruz, aquí hay un 1

18
00:02:07,129 --> 00:02:12,590
así que esto será de denominador 2 raíz de x más 1

19
00:02:12,590 --> 00:02:18,330
y ahora x menos raíz de x más 1

20
00:02:18,330 --> 00:02:24,229
por raíz de x más 1 se va la raíz, me queda menos 2 por x más 1

21
00:02:24,229 --> 00:02:28,009
menos 2 por x más 1

22
00:02:28,009 --> 00:02:35,719
y todo ello partido por x al cuadrado

23
00:02:35,719 --> 00:02:56,759
Bueno, seguimos por aquí y lo acabamos. X menos 2X menos 2. Si hago esto, X menos 2X menos 2. Partido, este X cuadrado sube aquí, 2, por lo mismo que os he explicado antes. Siempre que tengáis una división de estas, si os liáis, hacéis la división aparte.

24
00:02:56,759 --> 00:03:00,960
bueno, pues partido por, hemos dicho

25
00:03:00,960 --> 00:03:04,759
raíz de x más 1, pues nada, x menos 2x

26
00:03:04,759 --> 00:03:08,219
me va a quedar menos x, arriba, menos x

27
00:03:08,219 --> 00:03:13,120
menos 2, partido de 2x cuadrado por la raíz

28
00:03:13,120 --> 00:03:16,479
de x más 1, y aquí, poca cosa más se puede hacer

29
00:03:16,479 --> 00:03:20,099
si queréis, sacar el menos delante y poner arriba x más 2

30
00:03:20,099 --> 00:03:23,819
y abajo 2x cuadrado por la raíz de x más 1

31
00:03:23,819 --> 00:03:26,180
bueno, podríamos racionalizar

32
00:03:26,180 --> 00:03:30,560
tampoco nos conduce a una gran simplificación

33
00:03:30,560 --> 00:03:31,580
así que la dejamos ahí

34
00:03:31,580 --> 00:03:33,419
la siguiente es la potencia

35
00:03:33,419 --> 00:03:36,659
la potencia de que más neperiano de x

36
00:03:36,659 --> 00:03:38,120
por la derivada de una potencia

37
00:03:38,120 --> 00:03:39,060
ya sabéis que es

38
00:03:39,060 --> 00:03:41,939
la derivada de una potencia es el exponente

39
00:03:41,939 --> 00:03:43,620
por la base elevada a un grado menos

40
00:03:43,620 --> 00:03:46,219
por la derivada de la base

41
00:03:46,219 --> 00:03:49,500
la derivada de la base

42
00:03:49,500 --> 00:03:50,840
esta es inmediata

43
00:03:50,840 --> 00:03:57,800
O sea, esto es 2x más neperiano de x, esta ni siquiera la hago aparte, es la derivada de una suma por la derivada del primero,

44
00:03:58,240 --> 00:04:03,620
y perdón, esto es por la derivada del primero, que es 1, más la derivada del neperiano, que es 1 partido por x.

45
00:04:04,319 --> 00:04:16,379
Y ya está. Pues esto es 2 por x más neperiano de x, no sé si esto es x más 1 partido por x, x más 1 partido por x, pues ya está.

46
00:04:16,379 --> 00:04:35,819
Aquí nos sale 2x más 2 neperiano, 3x, bueno, pues 2x más 2 veces el neperiano de x, sería esto, pues por x más 1, no nos lleva, partido por x.

47
00:04:36,519 --> 00:04:43,939
Bueno, lo dejamos así, porque esto no nos va a llevar a nada tampoco, 2x cuadrado, 2x, no se puede ir la x tampoco.

48
00:04:43,939 --> 00:04:47,699
nos vamos al apartado C

49
00:04:47,699 --> 00:04:50,759
en el apartado C es la derivada de un cociente

50
00:04:50,759 --> 00:04:53,740
la derivada de un cociente

51
00:04:53,740 --> 00:05:00,079
es denominador al cuadrado

52
00:05:00,079 --> 00:05:03,879
denominador al cuadrado me quedará 1 menos x al cuadrado

53
00:05:03,879 --> 00:05:05,879
arriba

54
00:05:05,879 --> 00:05:10,319
arriba, derivada del numerador, la derivada del numerador es 0

55
00:05:10,319 --> 00:05:14,459
por lo que sea, derivada del numerador es 0, por el denominador se anula

56
00:05:14,459 --> 00:05:17,899
luego no pongo nada, es 0, menos

57
00:05:17,899 --> 00:05:22,660
bueno, si queréis pongo el 0, que es derivada del numerador por el denominador

58
00:05:22,660 --> 00:05:26,779
menos el numerador, que es menos 3, por la derivada

59
00:05:26,779 --> 00:05:29,019
del denominador, por la derivada

60
00:05:29,019 --> 00:05:34,040
de la raíz de 1 menos x al cuadrado, esa es la derivada

61
00:05:34,040 --> 00:05:38,560
¿vale? pues lo único que hay que hacer es derivar esto, lo hago aquí aparte

62
00:05:38,560 --> 00:05:42,920
vamos a hacer la derivada de la raíz de 1 menos x al cuadrado

63
00:05:42,920 --> 00:05:47,180
aparte, bueno, la derivada de una raíz como antes es

64
00:05:47,180 --> 00:05:48,759
abajo el doble de la raíz

65
00:05:48,759 --> 00:05:54,079
y arriba la derivada del radicando

66
00:05:54,079 --> 00:05:58,660
es menos 2x, pues arriba menos 2x

67
00:05:58,660 --> 00:06:02,899
el menos 2 se nos va con el 2 y me queda menos x partido

68
00:06:02,899 --> 00:06:05,639
de la raíz de 1 menos x al cuadrado

69
00:06:05,639 --> 00:06:08,839
esta es la derivada, esta de aquí

70
00:06:08,839 --> 00:06:11,939
pues la sustituimos y me quedará

71
00:06:11,939 --> 00:06:16,339
menos por menos más, pues arriba 3

72
00:06:16,339 --> 00:06:20,639
esto es un 3, por esto que me acaba de salir, que es menos x partido

73
00:06:20,639 --> 00:06:24,279
de la raíz de 1 menos x al cuadrado

74
00:06:24,279 --> 00:06:27,660
y dividido entre 1 menos x al cuadrado

75
00:06:27,660 --> 00:06:32,500
bueno, pues esto como antes viene aquí y me queda arriba menos 3x

76
00:06:32,500 --> 00:06:38,160
y abajo la raíz de 1 menos x al cuadrado

77
00:06:38,160 --> 00:06:40,240
por 1 menos x al cuadrado

78
00:06:40,240 --> 00:06:44,480
y lo único que podemos hacer ahora es poner abajo

79
00:06:44,480 --> 00:06:47,000
como esto es el producto de potencia de la misma base

80
00:06:47,000 --> 00:06:49,420
porque aquí hay un 1 y aquí hay un medio

81
00:06:49,420 --> 00:06:52,240
pues puedo poner 1 menos x al cuadrado

82
00:06:52,240 --> 00:06:55,060
y elevado a 1 medio más 1, 3 medios

83
00:06:55,060 --> 00:06:57,980
ya está, esta es la derivada

84
00:06:57,980 --> 00:06:59,540
la última

85
00:06:59,540 --> 00:07:03,300
la derivada de un neperiano

86
00:07:03,300 --> 00:07:04,920
de una función compuesta

87
00:07:04,920 --> 00:07:06,439
es decir, la regla de la cadena

88
00:07:06,439 --> 00:07:08,620
la regla de la cadena lo estamos haciendo todo el rato

89
00:07:08,620 --> 00:07:11,379
la derivada en este caso del neperiano

90
00:07:11,379 --> 00:07:12,959
es abajo

91
00:07:12,959 --> 00:07:16,980
la función, es decir, la raíz de x

92
00:07:16,980 --> 00:07:18,920
partido por x cuadrado más 1

93
00:07:18,920 --> 00:07:20,600
y arriba su derivada

94
00:07:20,600 --> 00:07:23,060
es decir, la derivada de x

95
00:07:23,060 --> 00:07:25,480
partido de x cuadrado más 1

96
00:07:25,480 --> 00:07:26,579
la derivada de esta

97
00:07:26,579 --> 00:07:54,319
Pues lo que tengo que hacer es esta derivada otra vez. La hacemos aparte, la derivada de la raíz de x partido por x cuadrado más 1, pues esto vuelve a ser lo mismo de antes, es decir, abajo el doble de la raíz, el doble de la raíz, x partido por x cuadrado más 1 y arriba la derivada del radicando.

98
00:07:54,319 --> 00:07:57,519
la derivada del radicando es la derivada de un cociente

99
00:07:57,519 --> 00:08:00,860
tendría que hacer la derivada del cociente aparte, la voy a poner aquí

100
00:08:00,860 --> 00:08:03,660
directamente, la derivada de un cociente, que ya hemos hecho varias

101
00:08:03,660 --> 00:08:06,620
la derivada de un cociente es denominador al cuadrado

102
00:08:06,620 --> 00:08:09,100
x al cuadrado más 1 al cuadrado y arriba

103
00:08:09,100 --> 00:08:12,600
derivada del numerador que es 1 por denominador sin derivar

104
00:08:12,600 --> 00:08:14,339
x al cuadrado más 1

105
00:08:14,339 --> 00:08:19,220
menos numerador que es x por la derivada del denominador

106
00:08:19,220 --> 00:08:20,160
que es 2x

107
00:08:20,160 --> 00:08:24,459
menos numerador x por derivada del denominador

108
00:08:24,459 --> 00:08:27,540
que es 2x, es decir, menos 2x al cuadrado

109
00:08:27,540 --> 00:08:32,220
pues esto ya otra vez es operar

110
00:08:32,220 --> 00:08:35,500
x al cuadrado más 1 menos 2x al cuadrado

111
00:08:35,500 --> 00:08:39,720
pues x al cuadrado, esto es menos x al cuadrado

112
00:08:39,720 --> 00:08:44,259
más 1, menos x al cuadrado más 1

113
00:08:44,259 --> 00:08:47,220
partido por x al cuadrado más 1

114
00:08:47,220 --> 00:08:48,720
al cuadrado

115
00:08:48,720 --> 00:08:52,220
y esto dividido

116
00:08:52,220 --> 00:08:54,299
entre el doble de la raíz

117
00:08:54,299 --> 00:08:56,679
de x partido por x cuadrado

118
00:08:56,679 --> 00:08:57,379
más 1

119
00:08:57,379 --> 00:09:02,240
vale, pues

120
00:09:02,240 --> 00:09:05,600
esto es lo que tenemos que poner aquí

121
00:09:05,600 --> 00:09:08,980
y me quedará

122
00:09:08,980 --> 00:09:10,860
a ver si se nos va algo

123
00:09:10,860 --> 00:09:12,659
menos x cuadrado más 1

124
00:09:12,659 --> 00:09:13,759
o 1 menos x cuadrado

125
00:09:13,759 --> 00:09:15,019
que siempre me gusta poner al revés

126
00:09:15,019 --> 00:09:17,299
partido por x cuadrado

127
00:09:17,299 --> 00:09:19,179
más 1 al cuadrado

128
00:09:19,179 --> 00:09:21,779
partido por

129
00:09:21,779 --> 00:09:24,080
porque esto es el numerador

130
00:09:24,080 --> 00:09:24,779
lo que nos ha salido

131
00:09:24,779 --> 00:09:27,860
el doble de la raíz de x

132
00:09:27,860 --> 00:09:29,860
partido por x al cuadrado más 1

133
00:09:29,860 --> 00:09:32,120
y eso dividido

134
00:09:32,120 --> 00:09:34,019
entre

135
00:09:34,019 --> 00:09:35,299
la raíz

136
00:09:35,299 --> 00:09:36,659
de x

137
00:09:36,659 --> 00:09:39,559
partido por x al cuadrado más 1

138
00:09:39,559 --> 00:09:41,100
en vez de ponerlo aquí abajo

139
00:09:41,100 --> 00:09:43,620
lo ponemos aquí que sea más sencillito

140
00:09:43,620 --> 00:09:45,740
¿cómo se dividen? en cruz

141
00:09:45,740 --> 00:09:47,840
luego esto por esto arriba y esto por esto abajo

142
00:09:47,840 --> 00:09:50,000
la raíz lo que va a hacer es que se me vaya al cuadrado

143
00:09:50,000 --> 00:09:52,960
bueno, pues esto más que un ejercicio de derivadas

144
00:09:52,960 --> 00:09:55,659
es un ejercicio de operaciones aritméticas

145
00:09:55,659 --> 00:09:58,019
arriba menos x cuadrado

146
00:09:58,019 --> 00:10:00,100
me voy a poner ya 1 menos x cuadrado

147
00:10:00,100 --> 00:10:04,840
partido de x cuadrado más 1 al cuadrado

148
00:10:04,840 --> 00:10:07,460
y abajo al multiplicar la raíz se nos va

149
00:10:07,460 --> 00:10:09,919
partido por 2 veces

150
00:10:09,919 --> 00:10:14,039
x partido por x cuadrado más 1

151
00:10:14,039 --> 00:10:20,399
bueno, pues si queréis volvemos a poner la parte

152
00:10:20,399 --> 00:10:24,080
mirad, 1 menos x cuadrado partido de x cuadrado

153
00:10:24,080 --> 00:10:28,000
más 1 al cuadrado, y esto está dividido

154
00:10:28,000 --> 00:10:32,879
entre 2x partido de x cuadrado

155
00:10:32,879 --> 00:10:39,730
más 1, bueno, pues al multiplicar en cruz

156
00:10:39,730 --> 00:10:43,769
al multiplicar en cruz me vuelve a quedar, mirad, 1 menos x al cuadrado

157
00:10:43,769 --> 00:10:45,870
por x al cuadrado más 1

158
00:10:45,870 --> 00:10:49,210
y abajo

159
00:10:49,210 --> 00:10:53,190
2x por x al cuadrado más 1

160
00:10:53,190 --> 00:10:54,269
al cuadrado

161
00:10:54,269 --> 00:10:56,990
pues nada, este de aquí se me va con uno de aquí

162
00:10:56,990 --> 00:11:01,350
y nos queda arriba 1 menos x al cuadrado

163
00:11:01,350 --> 00:11:03,889
y abajo

164
00:11:03,889 --> 00:11:07,470
2x por x al cuadrado más 1

165
00:11:07,470 --> 00:11:09,350
ya está, ¿vale?

166
00:11:09,889 --> 00:11:12,350
bueno, esta era bastante laboriosa como habéis visto

167
00:11:12,350 --> 00:11:14,529
porque es la derivada de un logaritmo

168
00:11:14,529 --> 00:11:17,210
la derivada de un logaritmo es abajo de la función, arriba de la derivada

169
00:11:17,210 --> 00:11:19,230
pero es que arriba tengo la derivada de una raíz

170
00:11:19,230 --> 00:11:21,789
la derivada de la raíz que hemos hecho aquí es

171
00:11:21,789 --> 00:11:26,190
abajo el doble de la raíz y arriba la derivada del radicando

172
00:11:26,190 --> 00:11:27,649
pero es que el radicando es un cociente

173
00:11:27,649 --> 00:11:29,409
pues otra vez la derivada del cociente

174
00:11:29,409 --> 00:11:32,250
esta ha sido bastante laboriosa

175
00:11:32,250 --> 00:11:35,870
bueno, terminamos con la ecuación de la recta tangente

176
00:11:35,870 --> 00:11:39,110
me están diciendo que hay en la ecuación de la recta tangente

177
00:11:39,110 --> 00:11:41,450
y de la recta normal en ese punto

178
00:11:42,110 --> 00:11:44,090
Bueno, pues necesitamos un punto y la pendiente.

179
00:11:44,309 --> 00:11:52,809
Ya sabéis, para aplicar la ecuación punto-pendiente, que es y igual a y sub cero más m por x menos x sub cero, necesito un punto y la pendiente.

180
00:11:53,509 --> 00:11:57,769
El punto, lo voy a empezar calculando, el punto es el punto que tiene de abscisa 3.

181
00:11:58,169 --> 00:12:03,710
Si tiene de abscisa 3, la ordenada se obtiene sustituyendo ahí.

182
00:12:04,070 --> 00:12:06,870
3 y 1 es 4, la raíz es 2. Luego ya tenemos el punto.

183
00:12:07,450 --> 00:12:10,350
Y la pendiente es la derivada de la función en el punto 3.

184
00:12:10,350 --> 00:12:15,750
Pues habrá que hacer la derivada de la función y sustituir para el punto 3.

185
00:12:16,169 --> 00:12:22,230
Aquí ponemos el doble de la raíz y arriba la derivada de lo que hay dentro, que es 1.

186
00:12:23,509 --> 00:12:24,889
Pues la derivada es esta.

187
00:12:25,269 --> 00:12:30,309
En el punto 3, ¿cuánto vale?

188
00:12:30,950 --> 00:12:35,889
Pues f' de 3, si sustituís aquí, 3 más 1 es 4, la raíz es 2, un cuarto.

189
00:12:37,450 --> 00:12:38,629
Pues ya tenemos la pendiente.

190
00:12:38,629 --> 00:12:43,029
la pendiente es 1 cuarto y el punto es 3 2

191
00:12:43,029 --> 00:12:47,250
pues la ecuación de la recta tangente es

192
00:12:47,250 --> 00:12:51,090
y igual a 2 más m que es 1 cuarto

193
00:12:51,090 --> 00:12:54,570
por x menos 3, esta es la ecuación de la recta tangente

194
00:12:54,570 --> 00:12:59,470
si queréis la simplificamos, y igual a 2 más 1 cuarto de x

195
00:12:59,470 --> 00:13:01,250
menos 3 cuartos

196
00:13:01,250 --> 00:13:07,309
bueno, pues 2 menos 3 cuartos son 5 cuartos

197
00:13:07,309 --> 00:13:16,309
Así que, para terminar, y es 1 cuarto de x, y esto hemos dicho 5 cuartos.

198
00:13:16,870 --> 00:13:22,389
La ecuación de pendiente 1 cuarto y que pasa por el 0,5 cuarto.

199
00:13:22,490 --> 00:13:24,049
Esa es la ecuación de la recta tangente.

200
00:13:24,549 --> 00:13:29,090
Si me piden, como de hecho me piden, que calcule también la ecuación de la recta normal,

201
00:13:29,090 --> 00:13:37,789
Pues ahora digo, la recta normal es la que tiene como pendiente la inversa de la tangente.

202
00:13:38,049 --> 00:13:44,250
Pues si la tangente tenía de pendiente 3 cuartos, no, 3 cuartos no, 1 cuarto.

203
00:13:44,529 --> 00:13:53,990
Si la tangente tenía de pendiente 1 cuarto, la recta normal tiene de pendiente menos 4 partido por 1, menos 4.

204
00:13:53,990 --> 00:13:56,429
vale, pues ya tenemos la pendiente

205
00:13:56,429 --> 00:13:58,809
y como tiene que pasar también por el mismo punto

206
00:13:58,809 --> 00:14:01,230
que hemos dicho que es el 3, 2

207
00:14:01,230 --> 00:14:04,769
pues la recta tangente

208
00:14:04,769 --> 00:14:06,990
volvemos a aplicar la misma ecuación

209
00:14:06,990 --> 00:14:09,549
es decir, que y es igual a sub 0, 2

210
00:14:09,549 --> 00:14:11,909
más la pendiente que es menos 4

211
00:14:11,909 --> 00:14:13,470
por x menos 3

212
00:14:13,470 --> 00:14:16,950
es decir, que y es igual a 2 menos 4

213
00:14:16,950 --> 00:14:18,190
x más 12

214
00:14:18,190 --> 00:14:21,049
y la recta normal es

215
00:14:21,049 --> 00:14:24,610
menos 4x más 14

216
00:14:24,610 --> 00:14:28,509
bueno, pues este era el examen

217
00:14:28,509 --> 00:14:30,070
la verdad que lo he hecho un poco rápido

218
00:14:30,070 --> 00:14:32,330
a lo mejor me he equivocado en alguna operación

219
00:14:32,330 --> 00:14:34,190
no creo, pero vamos

220
00:14:34,190 --> 00:14:34,830
es posible

221
00:14:34,830 --> 00:14:38,210
lo importante es que os quedéis

222
00:14:38,210 --> 00:14:40,389
con las ideas, en el examen

223
00:14:40,389 --> 00:14:42,210
pues es que lo que hemos visto es límites

224
00:14:42,210 --> 00:14:44,450
y derivación, o sea, voy a poneros

225
00:14:44,450 --> 00:14:45,970
límites y todas las funciones

226
00:14:45,970 --> 00:14:48,070
en asíntotas verticales y horizontales

227
00:14:48,070 --> 00:14:49,809
que aquí no había ninguna

228
00:14:49,809 --> 00:14:54,490
y os recuerdo que además de los límites y derivadas

229
00:14:54,490 --> 00:14:58,350
también os entra lo que vimos al final

230
00:14:58,350 --> 00:15:01,850
lo de hallar máximos y mínimos

231
00:15:01,850 --> 00:15:04,750
los puntos singulares o los puntos críticos de la función

232
00:15:04,750 --> 00:15:10,009
bueno, pues espero que paséis un buen día de la madre

233
00:15:10,009 --> 00:15:13,889
que tengáis la suerte de tener a vuestra madre cerca

234
00:15:13,889 --> 00:15:15,809
y que la felicitéis

235
00:15:15,809 --> 00:15:17,629
venga, el miércoles nos vemos