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00:00:12,339 --> 00:00:18,339
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:18,339 --> 00:00:23,440
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:23,440 --> 00:00:32,859
de la unidad AL3 dedicada a los sistemas de ecuaciones lineales. En la videoclase de hoy

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00:00:32,859 --> 00:00:50,380
estudiaremos los sistemas de Cramer. En esta videoclase vamos a estudiar los sistemas de

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00:00:50,380 --> 00:00:56,200
kramer un sistema de ecuación de ecuaciones lineales se dice de kramer si

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00:00:56,200 --> 00:01:00,039
cumple con dos condiciones la primera que la matriz de coeficientes sea

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00:01:00,039 --> 00:01:04,260
cuadrada eso quiere decir que vamos a tener el mismo número de ecuaciones que

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00:01:04,260 --> 00:01:08,760
de incógnitas en nuestro caso como decía en la videoclase anterior con carácter

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00:01:08,760 --> 00:01:12,719
general trabajaremos con sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas de

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00:01:12,719 --> 00:01:16,239
tal forma que tendremos matrices de coeficientes cuadradas de orden 3 con

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00:01:16,239 --> 00:01:22,939
carácter general. La segunda condición es que esa matriz de coeficientes cuadrada tiene que ser no

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00:01:22,939 --> 00:01:28,200
singular. Por definición eso quiere decir que esa matriz es invertible y hay un teorema que

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00:01:28,200 --> 00:01:34,159
estudiamos en la unidad anterior que nos dice que para que una matriz sea invertible su determinante

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00:01:34,159 --> 00:01:39,879
debe ser distinto de cero. Así pues, un sistema será de Cramer cuando su matriz de coeficientes

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00:01:39,879 --> 00:01:47,060
sea cuadrada y su determinante sea distinto de cero. ¿Qué es lo que caracteriza a los sistemas

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00:01:47,060 --> 00:01:51,200
de Cramer? ¿Por qué son tan importantes si los estudiamos aparte? Bueno, en primer lugar, estos

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00:01:51,200 --> 00:01:56,459
sistemas son siempre compatibles determinados. Eso quiere decir que van a tener solución y esa

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00:01:56,459 --> 00:02:03,159
solución va a ser única. Y en cuanto a la segunda característica por la cual estos sistemas son

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00:02:03,159 --> 00:02:07,939
importantes es porque se van a poder resolver con un método que se llama método de Cramer, que es

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00:02:07,939 --> 00:02:14,240
muy directo, muy rápido y muy sencilla. Vamos a poder calcular los valores de las incógnitas. En

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00:02:14,240 --> 00:02:18,419
este caso, si trabajamos con sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas, de las tres

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00:02:18,419 --> 00:02:25,500
incógnitas, calculando determinantes. Si tenemos tres incógnitas, vamos a necesitar calcular cuatro

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00:02:25,500 --> 00:02:30,620
determinantes de orden 3. Uno de ellos es el determinante de la matriz de coeficientes, el

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00:02:30,620 --> 00:02:35,500
que hemos calculado para, viendo que es distinto de cero, deducir que es un sistema de Kramer y

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00:02:35,500 --> 00:02:40,259
poder utilizar este método. En cuanto a los otros tres determinantes, puesto que he dicho que había

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00:02:40,259 --> 00:02:47,039
cuatro, son aquellos que se van a formar sustituyendo en la matriz de coeficientes las columnas, la

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00:02:47,039 --> 00:02:54,740
primera, la segunda y la tercera, por la matriz de términos independientes. Fijaos, la primera incógnita

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00:02:54,740 --> 00:03:01,960
x se calcula como el cociente de dos determinantes. En el denominador, si veis, tengo el determinante

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00:03:01,960 --> 00:03:07,379
de la matriz de coeficientes y en el numerador lo que tengo es el determinante de la matriz de

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00:03:07,379 --> 00:03:14,460
coeficientes a la que le he sustituido la primera columna por la columna de la matriz de términos

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00:03:14,460 --> 00:03:21,060
independientes. ¿Qué es lo que tengo para calcular y? La segunda incógnita, también un cociente de

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00:03:21,060 --> 00:03:26,139
determinantes. En el denominador también el determinante de la matriz de coeficientes y en

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00:03:26,139 --> 00:03:33,060
el numerador, el determinante de la matriz que se obtiene sustituyendo en la segunda columna de la

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00:03:33,060 --> 00:03:39,120
matriz de coeficientes por la columna que es la matriz de términos independientes. Y en cuanto a

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00:03:39,120 --> 00:03:44,939
la última incógnita, la tercera, sigue siendo el cociente de dos determinantes, en el denominador

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00:03:44,939 --> 00:03:50,139
el determinante de la matriz de coeficientes y en el numerador el determinante de la matriz que se

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00:03:50,139 --> 00:03:56,639
obtiene sustituyendo en la matriz de coeficientes la tercera columna por la columna que es la matriz

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00:03:56,639 --> 00:04:04,819
de términos independientes. Así que, repito, x, y, z en un sistema de Cramer se puede calcular como

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00:04:04,819 --> 00:04:10,500
el cociente de dos determinantes. En el denominador siempre el determinante de la matriz de coeficientes

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00:04:10,500 --> 00:04:16,500
y en el numerador el determinante de la matriz de coeficientes a la que hemos sustituido cada

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00:04:16,500 --> 00:04:20,800
una de las columnas por la matriz, la columna que es la matriz de términos

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00:04:20,800 --> 00:04:25,139
independientes. Si sustituyo la primera columna voy a calcular la primera

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00:04:25,139 --> 00:04:29,980
incógnita que sería x, si sustituyo la segunda columna voy a calcular la

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00:04:29,980 --> 00:04:34,360
segunda incógnita que sería y, si sustituyo la tercera columna voy a

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00:04:34,360 --> 00:04:36,680
calcular la tercera incógnita que es z.

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00:04:38,560 --> 00:04:43,519
Directamente utilizando este método ya podríamos resolver este sistema lineal

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00:04:43,519 --> 00:04:50,740
de ecuaciones. Lo haremos en clase, lo haremos en alguna videoclase posterior. Este es uno de los

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00:04:50,740 --> 00:04:56,480
métodos para resolver sistemas de Cramer. Por supuesto, podemos utilizar el método matricial.

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00:04:57,339 --> 00:05:03,720
Os recuerdo que podíamos sustituir el sistema de n ecuaciones con m incógnitas por una única

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00:05:03,720 --> 00:05:09,680
matriz, perdón, por una única ecuación matricial. m por x igual a b. m la matriz de coeficientes,

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00:05:09,680 --> 00:05:13,740
X, la matriz de incógnitas, B, la matriz de términos independientes.

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00:05:14,220 --> 00:05:19,060
Pues bien, si esta matriz M es invertible, existe su matriz inversa.

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00:05:19,540 --> 00:05:27,860
En esta ecuación matricial voy a poder multiplicar en ambos miembros por la izquierda por la matriz M a la menos 1, por la matriz inversa de M.

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00:05:28,439 --> 00:05:36,899
M a la menos 1 por M es la matriz de identidad, que al multiplicar por X me queda la matriz de incógnitas despejada,

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00:05:36,899 --> 00:05:42,660
igual a, multiplicando por la izquierda, la matriz inversa de m por b, como podéis ver.

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00:05:43,399 --> 00:05:49,660
Para poder utilizar el método matricial de esta manera, despejando x como m a la menos 1 por b,

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00:05:49,740 --> 00:05:55,199
la matriz inversa de la matriz de términos independientes por la matriz de términos independientes,

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00:05:55,420 --> 00:06:00,720
fijaos, necesito que exista esta matriz inversa. Necesito encontrarme con un sistema de Cramer.

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00:06:00,720 --> 00:06:17,860
Os propongo que utilizando el método de Cramer y el método matricial, este que acabamos de ver, resolváis los sistemas de ecuaciones que transcribimos en el primer ejercicio, en la videoclase anterior, donde introducíamos la notación en las distintas matrices.

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00:06:18,560 --> 00:06:25,649
Esto lo haremos en clase, lo haremos en alguna de las videoclases posteriores.

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00:06:25,649 --> 00:06:31,269
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

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00:06:31,990 --> 00:06:36,110
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

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00:06:36,930 --> 00:06:41,670
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

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00:06:42,230 --> 00:06:43,629
Un saludo y hasta pronto.