1 00:00:01,330 --> 00:00:12,990 Bueno, pues vamos con este primer problema de la hoja de problemas de probabilidad total y teorema de Bayes. 2 00:00:13,070 --> 00:00:18,949 En realidad, en la anterior habíamos visto ya uno que se podía utilizar la probabilidad total y teorema de Bayes 3 00:00:18,949 --> 00:00:21,230 y lo hicimos sin tener en cuenta estos resultados. 4 00:00:21,670 --> 00:00:22,949 Tenéis ahí el enunciado. 5 00:00:24,050 --> 00:00:26,210 Bueno, tenemos una urna con una serie de bolas. 6 00:00:26,329 --> 00:00:28,390 Tenemos la siguiente disposición. 7 00:00:29,370 --> 00:00:33,789 Bueno, y ahí con esa distribución de bolas vamos a extraer dos sin reemplazamiento, 8 00:00:33,890 --> 00:00:37,429 es decir, vamos a hacer dos extracciones, una primera y una segunda, 9 00:00:37,570 --> 00:00:39,170 y vamos a ver qué ocurre, qué opciones hay. 10 00:00:43,859 --> 00:00:46,579 Bueno, entonces ahora lo que vamos a hacer es definir los sucesos. 11 00:00:47,140 --> 00:00:54,500 Como vamos a tener dos extracciones, pues vamos a llamar primera n al suceso, 12 00:00:54,500 --> 00:00:58,700 pues que la primera bola extraída sea negra y así con todos. 13 00:01:00,259 --> 00:01:00,399 Bien. 14 00:01:00,399 --> 00:01:05,079 y entonces tenemos aquí estos cuatro sucesos 15 00:01:05,079 --> 00:01:07,359 los dos para la roja y los dos para la negra 16 00:01:07,359 --> 00:01:08,799 entonces, ¿qué puede ocurrir? 17 00:01:08,879 --> 00:01:12,760 pues vamos a hacer el típico diagrama de árbol 18 00:01:12,760 --> 00:01:15,900 es muy importante, es muy habitual estos diagramas 19 00:01:15,900 --> 00:01:17,920 sobre todo cuando hay un experimento 20 00:01:17,920 --> 00:01:19,920 que es una composición sucesiva de varios 21 00:01:19,920 --> 00:01:22,340 es decir, que primero hacemos uno, luego hacemos otro 22 00:01:22,340 --> 00:01:24,000 luego hacemos otro, en ese tipo de situaciones 23 00:01:24,000 --> 00:01:25,980 conviene ir cada paso que damos 24 00:01:25,980 --> 00:01:28,420 en un nivel de nuestro diagrama del árbol 25 00:01:28,420 --> 00:01:45,859 Entonces, en el primer nivel, pues tendríamos la primera extracción, que puede ser o bien roja o bien negra, y para cada uno de esos dos resultados posibles, pues la segunda, que o bien es roja o bien es negra. Fácil. 26 00:01:45,859 --> 00:01:54,829 bien, y una vez que tenemos esto, ahora lo que tenemos que hacer es 27 00:01:54,829 --> 00:01:58,950 mirar exactamente qué es lo que nos piden y contar las bolas para ver 28 00:01:58,950 --> 00:02:03,010 las probabilidades de cada una de estas ramas, decía en el vídeo anterior y ahora lo repito también 29 00:02:03,010 --> 00:02:06,769 cuidado con estos árboles, o sea, con estas ramas del árbol 30 00:02:06,769 --> 00:02:10,289 que estas ramas no representan, por ejemplo, esta de aquí no representa 31 00:02:10,289 --> 00:02:14,569 el suceso primera bola negra y segunda bola negra 32 00:02:14,569 --> 00:02:17,909 es decir, la intersección sería 33 00:02:17,909 --> 00:02:21,550 el suceso, o sea, sería primera bola negra 34 00:02:21,550 --> 00:02:25,810 cuidado con estas ramas de aquí que no representan la intersección 35 00:02:25,810 --> 00:02:29,849 la intersección es la composición de las dos ramas, sino que cada una de esas ramas 36 00:02:29,849 --> 00:02:33,349 son sucesos condicionados, en este caso por ejemplo eso sería 37 00:02:33,349 --> 00:02:37,590 que la segunda bola sea negra sabiendo que estamos aquí 38 00:02:37,590 --> 00:02:41,750 es decir, en esta situación que la primera fue negra, o sea que estas ramas son condicionadas 39 00:02:41,750 --> 00:02:45,750 y la composición de las dos ramas es la intersección de los dos sucesos, primera negra 40 00:02:45,750 --> 00:02:49,710 y segunda negra. Bueno, entonces eso conviene tenerlo en cuenta a la hora de calcular 41 00:02:49,710 --> 00:02:57,039 probabilidades. Y ahora nada más vamos a ver qué es lo que nos piden. Y en primer lugar 42 00:02:57,039 --> 00:03:01,020 ¿qué nos piden? Que saquemos una bola negra en la segunda extracción si la primera también lo fue. 43 00:03:01,319 --> 00:03:04,979 ¿Qué suceso es este? Pues este es el suceso en el 44 00:03:04,979 --> 00:03:08,539 primer apartado. Nos piden que la primera bola fue negra. 45 00:03:10,219 --> 00:03:12,639 ¿Qué probabilidad hay de que en la segunda también lo fue? 46 00:03:15,129 --> 00:03:18,629 Bueno, pues ese suceso es justo, justo, justo este 47 00:03:18,629 --> 00:03:22,689 de aquí. Entonces lo que tenemos que ver es qué probabilidad hay aquí en esta 48 00:03:22,689 --> 00:03:26,590 rama. Para ello, pues vamos a ver qué probabilidad hay de que en las primeras 49 00:03:26,590 --> 00:03:30,710 bolas traigamos una bola negra. Pues hay 6 de 10 por esto, es por la plaza. 50 00:03:31,229 --> 00:03:34,490 Hay en total 10 bolas y 6 de ellas 51 00:03:34,490 --> 00:03:38,770 son negras por la regla de la plaza. Todas las bolas se supone que son iguales e igualmente 52 00:03:38,770 --> 00:03:42,610 probables. Bien, y ahora en la segunda abstracción, como ya solo 53 00:03:42,610 --> 00:03:46,270 nos quedan 5 bolas negras y solo hay en total 9, pues esto sería 54 00:03:46,270 --> 00:03:50,689 5 partido por 9 esta probabilidad, que va a ser la probabilidad que nos están 55 00:03:50,689 --> 00:03:54,729 pidiendo. Ya digo, en esta situación ya hemos gastado una de las bolas 56 00:03:54,729 --> 00:03:58,449 negras, ya no está. Luego tenemos 9, de las cuales 5 son 57 00:03:58,449 --> 00:04:02,669 negras, 5 de 9. Ese sería el apartado A. En el apartado B 58 00:04:02,669 --> 00:04:06,750 es un poquitín más complicado porque nos van a pedir otra cosita, que es 59 00:04:06,750 --> 00:04:10,090 que la primera bola fuese negra sabiendo que la segunda también la fue. 60 00:04:10,750 --> 00:04:14,750 ¿Qué probabilidad sería esa? Nos están pidiendo que la condicionada 61 00:04:14,750 --> 00:04:17,709 justo al revés. Nos están preguntando por 62 00:04:17,709 --> 00:04:22,850 lo que pasó antes de un hecho que ya conocemos 63 00:04:22,850 --> 00:04:26,709 final. Es decir, esto a veces se llama probabilidad a priori 64 00:04:26,709 --> 00:04:30,889 mientras digo a posteriori. ¿Por qué a posteriori? De que nosotros ya sabemos 65 00:04:30,889 --> 00:04:34,610 el resultado del experimento, que la segunda bola fue negra. ¿Qué probabilidad hay de que 66 00:04:34,610 --> 00:04:38,709 antes la primera de las bolas fuese también negra? 67 00:04:39,170 --> 00:04:42,829 Esto, por contrario, se llama probabilidad a priori 68 00:04:42,829 --> 00:04:48,829 porque a priori no sabemos qué va a ocurrir y nos están, o sea, a priori sabemos qué es lo que ha ocurrido, 69 00:04:48,930 --> 00:04:53,509 que la primera bola fue negra y nos están preguntando la probabilidad después de que la segunda también lo sea. 70 00:04:53,970 --> 00:04:58,949 Bien, pues entonces, en este caso lo que nos piden es, pues la siguiente probabilidad es una condicionada, 71 00:04:59,050 --> 00:05:03,970 así que no nos queda otra que utilizar la fórmula de la probabilidad condicionada, 72 00:05:04,149 --> 00:05:18,199 que va a ser la siguiente, la probabilidad de la intersección partido por la probabilidad de que la segunda bola sea negra. 73 00:05:18,199 --> 00:05:29,319 Y aquí es donde vamos a utilizar primero el teorema de la probabilidad total para el denominador y luego, en realidad, a todo ello se le llama teorema de Bayes. 74 00:05:29,699 --> 00:05:36,060 El teorema de Bayes, que es una manera de escribir esa fórmula de ahí, de la siguiente forma. 75 00:05:36,600 --> 00:05:48,360 Nosotros queremos calcular la probabilidad de llegar hasta aquí dentro de dos opciones totales que hay de que la segunda bola sea roja, que son esas dos. 76 00:05:48,360 --> 00:05:53,620 entonces lo que vamos a hacer es calcular este producto de estas dos ramas 77 00:05:53,620 --> 00:05:57,540 ¿qué producto es? pues es el producto de que la primera sea negra 78 00:05:57,540 --> 00:06:02,920 multiplicado por el producto de que la segunda también lo sea 79 00:06:02,920 --> 00:06:05,519 sabiendo que la primera fue negra 80 00:06:05,519 --> 00:06:12,579 partido por los dos caminos que hay de llegar a estas dos finales rojos 81 00:06:12,579 --> 00:06:25,040 Es decir, que la primera fuese negra y que la segunda también lo fuese sabiendo que la primera fue negra, esa es una opción. 82 00:06:25,240 --> 00:06:40,959 Y la otra opción es que la primera fuese roja y que la segunda fuese negra sabiendo que la primera fue roja. 83 00:06:40,959 --> 00:06:45,279 bien, esas son las dos probabilidades 84 00:06:45,279 --> 00:06:48,939 los dos caminos totales que nos conducen a un mismo resultado final 85 00:06:48,939 --> 00:06:52,800 segunda bola roja, y ahora lo que hacemos, perdón, segunda bola negra 86 00:06:52,800 --> 00:06:57,000 y ahora lo que hacemos es sustituir, el primer camino sería 6 décimos 87 00:06:57,000 --> 00:07:00,959 por 5 novenos, y los dos 88 00:07:00,959 --> 00:07:03,540 de abajo serían, pues el primero es el mismo 89 00:07:03,540 --> 00:07:09,490 y el otro camino, ¿cuál sería? 90 00:07:09,490 --> 00:07:24,730 Primera bola roja son 4 de 10, 4 décimos, y ahora segunda bola negra son 6 de 9 de las 9 bolas, ahora son 6 las que son negras. Haciendo esta cuenta hemos acabado. 91 00:07:24,730 --> 00:07:44,230 Muy bien, pues ese sería el resultado final. Después, para concluir el ejercicio, nos piden, nos preguntan si, que comparemos qué pasaría si estas dos extracciones fuesen con reemplazamiento en lugar de sin reemplazamiento. 92 00:07:44,230 --> 00:08:11,029 Bueno, pues si las extracciones son con reemplazamiento, lo que ocurre es que las dos extracciones son independientes porque al ser independientes la probabilidad de los dos sucesos, pues uno no va a depender del otro y la probabilidad de A condicionada B va a ser igual a la probabilidad de A si estos dos sucesos son independientes. 93 00:08:11,029 --> 00:08:38,960 Y puesto que al haber reemplazamiento las condiciones iniciales del problema son exactamente las mismas, no van a ser dependientes un suceso de otro, van a ser independientes, con lo cual la probabilidad del suceso primera bola negra condicionado a segunda bola negra sería exactamente igual que el de la primera bola negra. 94 00:08:38,960 --> 00:08:53,559 Da igual lo que ocurra en la segunda bola. Y lo mismo para el otro, la probabilidad de que la segunda bola negra sea negra condicionada a que la primera también lo fue, es exactamente igual que la probabilidad de que la segunda bola fuese negra. 95 00:08:53,559 --> 00:09:07,759 Y estas dos probabilidades, como la urna no está cambiando, pues van a ser iguales porque da igual sacar una bola negra en la primera extracción que en la segunda. Da exactamente lo mismo porque la urna no va cambiando. 96 00:09:08,960 --> 00:09:15,100 es decir, y como en total pues hay 6 de 10, pues todas estas probabilidades serían 6 décimos. 97 00:09:15,840 --> 00:09:22,240 Muy bien, todas estas probabilidades, ya digo, serían 6 décimos. 98 00:09:22,440 --> 00:09:23,740 Y con esto termina el problema. 99 00:09:24,120 --> 00:09:27,919 Espero que os haya gustado, nos vemos en futuros problemas de probabilidad. 100 00:09:28,480 --> 00:09:29,600 Un saludo, hasta luego.