1
00:00:02,509 --> 00:00:11,029
Hoy resolvemos un problema de geometría que cayó en el año 2017, convocatoria de septiembre,

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00:00:12,550 --> 00:00:15,169
el modelo A, el ejercicio 2.

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00:00:16,109 --> 00:00:22,870
Bueno, pues nos dan dos rectas en forma de corte de dos planos, cada una,

4
00:00:24,129 --> 00:00:26,129
y nos piden estudiar su posición relativa.

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00:00:26,129 --> 00:00:36,070
Eso nosotros lo podemos hacer con las matrices de los vectores normales de los cuatro planos.

6
00:00:36,329 --> 00:00:45,030
Si hacemos el rango de esta matriz y el rango de esta matriz ampliada con los términos independientes,

7
00:00:46,189 --> 00:00:49,509
pues podríamos estudiar las posiciones relativas.

8
00:00:50,070 --> 00:00:54,590
Hacer esto por determinantes significa hacer dos determinantes.

9
00:00:54,590 --> 00:00:59,189
primera, segunda y tercera fila, primera, segunda y cuarta fila

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00:00:59,189 --> 00:01:02,950
y veríamos que sale el rango 3

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00:01:02,950 --> 00:01:06,370
como viene aquí, y luego el de la ampliada

12
00:01:06,370 --> 00:01:10,510
que habría que hacer un determinante 4x4 y sale 4

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00:01:10,510 --> 00:01:15,049
con lo cual es complicado, también podríamos hacer

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00:01:15,049 --> 00:01:18,530
por gauss la matriz escalonada

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00:01:18,530 --> 00:01:21,450
se vería que es 3 y la de la ampliada es 4

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00:01:21,450 --> 00:01:27,189
En este caso sería más fácil hacerlo por Gauss incluso que el determinante de 4x4.

17
00:01:27,469 --> 00:01:42,010
Pero bueno, en general esto no lo hace nadie así y lo que se suele hacer es convertir la primera recta de corte de dos planos en una recta en forma paramétrica, es decir, obtener punto y vector.

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00:01:42,010 --> 00:02:05,349
Para obtener el vector se hace el producto vectorial de los vectores normales de los dos planos, 6-1-1 y 2-1-1, da menos 2, menos 8, menos 4, que como podemos coger el vector que nos dé la gana que sea proporcional a este, pues lo divido por menos 2 y me voy a quedar con el vector 1, 4, 2.

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00:02:05,349 --> 00:02:07,989
Ahora necesitaré el punto

20
00:02:07,989 --> 00:02:12,449
Bueno, pues esto normalmente nos lo ponen para que lo hagamos a ojo

21
00:02:12,449 --> 00:02:18,150
Aquí vemos que si la y tiene el mismo signo y el término independiente también

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00:02:18,150 --> 00:02:21,490
Si yo tomo x cero y la z cero

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00:02:21,490 --> 00:02:24,509
Con la y menos uno se cumplen las dos ecuaciones

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00:02:24,509 --> 00:02:26,990
Así que el punto cero menos uno cero

25
00:02:26,990 --> 00:02:31,509
Es un punto de los dos planos y por tanto de la recta

26
00:02:31,509 --> 00:02:35,930
también podríamos hacerlo simplemente dando valor a x0

27
00:02:35,930 --> 00:02:39,469
y resolviendo el sistema que nos daría menos 1 y 0

28
00:02:39,469 --> 00:02:45,770
o a z0 y calcular el sistema en x y en y

29
00:02:45,770 --> 00:02:47,370
que nos daría 0 y menos 1

30
00:02:47,370 --> 00:02:49,310
lo hagamos de la manera que lo hagamos

31
00:02:49,310 --> 00:02:52,490
uno de los puntos, porque podríamos obtener más

32
00:02:52,490 --> 00:02:53,930
si por ejemplo hacemos la y0

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00:02:53,930 --> 00:02:56,430
seguramente nos daría otro punto

34
00:02:56,430 --> 00:02:59,750
o la x3 o lo que sea

35
00:02:59,750 --> 00:03:15,110
Pero bueno, si el más fácil que se puede hacer a ojo es este, el 0, menos 1, 0, y con este punto y este vector, pues he pintado la recta azul. La recta azul es el corte de estos dos planos, ¿de acuerdo? Y es R1.

36
00:03:15,110 --> 00:03:37,569
Ahora vamos a calcular R2, repetimos el procedimiento, producto vectorial de los dos vectores normales a los dos planos, 3 menos 5 menos 2 y 3, 1, 4, da menos 18 menos 18 más 18, si lo divido por menos 18 para que sea más sencillo después, pues 1, 1, menos 1.

37
00:03:37,569 --> 00:03:40,849
para hallar el punto también lo puedo hacer a ojo

38
00:03:40,849 --> 00:03:45,169
porque me doy cuenta de que aquí tengo 3x, 3x, 3, 3

39
00:03:45,169 --> 00:03:48,770
o sea que el punto 1, 0, 0 pertenece a los dos planos

40
00:03:48,770 --> 00:03:52,469
y por tanto a la recta R sub 2

41
00:03:52,469 --> 00:03:57,409
así que utilizo el punto 1, 0, 0 y el vector 1, 1, menos 1

42
00:03:57,409 --> 00:04:00,030
y tengo la recta R2

43
00:04:00,030 --> 00:04:03,389
¿cuál sería la posición relativa?

44
00:04:03,389 --> 00:04:06,250
bueno, si lo estuviera dibujado es que fácil, ¿verdad?

45
00:04:06,250 --> 00:04:11,389
vemos que son dos rectas que se cortan

46
00:04:11,389 --> 00:04:15,129
si las ponemos así, también son dos maneras

47
00:04:15,129 --> 00:04:18,750
de ponerlas para luego intentar calcular la distancia

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00:04:18,750 --> 00:04:22,750
¿no? muy bien, entonces

49
00:04:22,750 --> 00:04:26,470
¿cuál es la posición relativa? bueno, pues habría que calcular

50
00:04:26,470 --> 00:04:30,129
los rangos de estas dos matrices

51
00:04:30,129 --> 00:04:34,370
de esta matriz, formada por los vectores de las dos rectas

52
00:04:34,370 --> 00:04:36,970
1, 4, 2 y 1, 1, menos 1

53
00:04:36,970 --> 00:04:42,550
y la misma matriz ampliada con el vector P1, P2

54
00:04:42,550 --> 00:04:46,250
1, 1, 0

55
00:04:46,250 --> 00:04:50,290
entonces, el rango de esta matriz es 2

56
00:04:50,290 --> 00:04:52,110
se ve facilísimamente

57
00:04:52,110 --> 00:04:55,550
y el de esta, si hago el determinante, me da menos 3

58
00:04:55,550 --> 00:04:58,089
así que el rango de esa matriz es 3

59
00:04:58,089 --> 00:05:01,870
recordad, si fueran 1 y 1

60
00:05:01,870 --> 00:05:05,129
las dos rectas serían coincidentes

61
00:05:05,129 --> 00:05:08,889
1 y 2 serían paralelas

62
00:05:08,889 --> 00:05:11,750
sistema compartido indeterminado, ningún punto en común

63
00:05:11,750 --> 00:05:15,930
2 y 2 se cortarían, un punto en común

64
00:05:15,930 --> 00:05:19,970
y 2 y 3, que es el caso, se cruzan

65
00:05:19,970 --> 00:05:23,170
así que la respuesta al apartado A es

66
00:05:23,170 --> 00:05:26,449
las rectas R1 y R2 se cruzan

67
00:05:26,449 --> 00:05:30,129
por eso tiene sentido ahora calcular la distancia entre las dos rectas

68
00:05:30,129 --> 00:05:35,930
también si fueran paralelas también se podría calcular, claro, aunque sería otro método diferente.

69
00:05:36,170 --> 00:05:39,170
¿Cómo se calcula la distancia entre dos rectas que se cruzan?

70
00:05:39,850 --> 00:05:42,470
Bueno, pues la manera más sencilla es utilizar esta fórmula,

71
00:05:43,290 --> 00:05:50,689
el cociente entre el módulo del producto mixto de P1, P2, U y V,

72
00:05:51,029 --> 00:05:53,589
dividido por el módulo del producto vectorial de U por V.

73
00:05:54,129 --> 00:05:58,389
En realidad esta fórmula lo que nos dice es que hemos construido un parámetro de P2,

74
00:05:58,389 --> 00:06:01,930
que está en verde, con la base en negro

75
00:06:01,930 --> 00:06:06,850
y el volumen del par de epípedo

76
00:06:06,850 --> 00:06:09,230
entre el área de la base, pues nos daría

77
00:06:09,230 --> 00:06:13,829
si lo podemos poner, no está bien porque

78
00:06:13,829 --> 00:06:17,970
lo negro tiene que dejar de verse, ahí estaríamos, ahora

79
00:06:17,970 --> 00:06:22,209
ahora estamos dividiendo el volumen del par de epípedo entre la superficie

80
00:06:22,209 --> 00:06:26,149
de la base, que no se ve, porque está, digamos, perpendicular

81
00:06:26,149 --> 00:06:29,610
a la pantalla y eso nos daría la altura de este

82
00:06:29,610 --> 00:06:34,310
romboide, vamos a decir, en realidad del parámetro epípedo, que es la distancia

83
00:06:34,310 --> 00:06:38,089
entre las dos rectas que se cruzan. En realidad, para verlo perfecto

84
00:06:38,089 --> 00:06:42,290
la recta roja no debería verse como recta, sino sólo como

85
00:06:42,290 --> 00:06:46,129
un puntito. Esta es la explicación de esta fórmula. No vamos a hacer aquí

86
00:06:46,129 --> 00:06:49,990
como en otros ejercicios, lo de calcular la recta perpendicular

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00:06:49,990 --> 00:06:53,709
a las dos, ni nada de eso. Simplemente vamos a utilizar la fórmula y ya está.

88
00:06:53,709 --> 00:07:16,170
Bueno, ¿cuál es el producto mixto? Pues anda, resulta que el producto mixto lo hemos hecho en el apartado anterior, cuando estudiamos esta matriz para ver cuál era la posición relativa, el resultado era el producto mixto, así que este menos 3 en valor absoluto, es decir, 3 va a ser el numerador de esta fórmula.

89
00:07:16,170 --> 00:07:20,370
Para hacer el denominador, pues hacemos el punto vectorial de u por v

90
00:07:20,370 --> 00:07:25,170
Me da este vector, aquí no puedo simplificar porque esto me está dando un área

91
00:07:25,170 --> 00:07:28,449
Cuidado con cuando se pueden simplificar vectores y cuando no

92
00:07:28,449 --> 00:07:33,550
Si hacemos pitágoras, o la longitud del vector, pues nos da 3 raíz de 6

93
00:07:33,550 --> 00:07:41,089
Y si dividimos el resultado del producto mixto, que era 3, entre 3 raíz de 6

94
00:07:41,089 --> 00:07:42,709
Pues me queda 1 partido raíz de 6

95
00:07:42,709 --> 00:07:45,850
Que si alguno lo quiere ver en decimales, ahora veré por qué

96
00:07:45,850 --> 00:07:48,029
da 0,41

97
00:07:48,029 --> 00:07:49,850
¿por qué lo quería en decimales?

98
00:07:49,949 --> 00:07:51,970
porque le he preguntado a GeoGebra que me lo dijera

99
00:07:51,970 --> 00:07:55,209
y me ha dicho que da 0,41

100
00:07:55,209 --> 00:07:56,810
lo cual quiere decir que

101
00:07:56,810 --> 00:07:57,930
por si acaso

102
00:07:57,930 --> 00:08:00,990
el ejercicio está perfecto

103
00:08:00,990 --> 00:08:04,050
así que ya tenemos la respuesta al apartado B

104
00:08:04,050 --> 00:08:05,250
1 partido por raíz de 6

105
00:08:05,250 --> 00:08:06,850
raíz de 6 partido por 6

106
00:08:06,850 --> 00:08:10,089
sería la manera correcta racionalizada

107
00:08:10,089 --> 00:08:14,529
y vamos con el apartado C

108
00:08:14,529 --> 00:08:19,269
allá la ecuación del plano que contiene a r1 y al punto 1, 2, 3

109
00:08:19,269 --> 00:08:21,310
bueno, pues ecuación de un plano

110
00:08:21,310 --> 00:08:24,769
la hemos sacado aquí, ya lo tenemos en GeoGebra

111
00:08:24,769 --> 00:08:28,149
la ecuación del plano sería

112
00:08:28,149 --> 00:08:31,689
x y z menos un punto del plano

113
00:08:31,689 --> 00:08:34,409
en este caso no he querido utilizar p

114
00:08:34,409 --> 00:08:36,649
sino he utilizado p sub 1

115
00:08:36,649 --> 00:08:38,090
que es igual de válido

116
00:08:38,090 --> 00:08:41,669
porque para luego hacer el determinante

117
00:08:41,669 --> 00:08:43,610
creo que me salía más sencillo

118
00:08:43,610 --> 00:09:07,169
El vector 1, 4, 2, que es el vector director de R1, todas esas cosas las tenemos aquí, 1, 4, 2, el punto P1, y el punto PP1, bueno, pues PP1 es 1 menos 0, 1, 2 menos menos 1, 3, y 3 menos 0, 3.

119
00:09:07,169 --> 00:09:11,629
así que hago este determinante y le igual a 0 para obtener la ecuación del plano

120
00:09:11,629 --> 00:09:15,309
me ha salido 6x menos y menos z menos 1 igual a 0

121
00:09:15,309 --> 00:09:17,909
que es la respuesta al apartado c

122
00:09:17,909 --> 00:09:25,190
y que es este plano, que como veis incluye al punto p y a la recta r1

123
00:09:25,190 --> 00:09:28,049
o sea que está todo perfecto

124
00:09:28,049 --> 00:09:30,269
bueno, espero que hayáis aprendido cosas