1
00:00:01,159 --> 00:00:03,529
Hola, ¿qué tal?

2
00:00:04,889 --> 00:00:07,129
Chicos y chicas de segundo bachillerato

3
00:00:07,129 --> 00:00:13,369
Vamos a hacer un vídeo recordatorio de cómo se calcula el rango de una matriz

4
00:00:13,369 --> 00:00:22,170
En este caso vamos a hacer el cálculo del rango de una matriz utilizando determinantes

5
00:00:22,170 --> 00:00:24,829
Sabéis que se puede hacer de otra manera

6
00:00:24,829 --> 00:00:27,030
Este vídeo es con determinantes

7
00:00:27,030 --> 00:00:32,609
Bueno, la clave del uso de los determinantes es estas frases que os he puesto en negro

8
00:00:32,609 --> 00:00:34,770
Y es la siguiente

9
00:00:34,770 --> 00:00:36,869
Esta primera

10
00:00:36,869 --> 00:00:41,229
Ya sabemos que si hay un determinante de orden n

11
00:00:41,229 --> 00:00:43,070
De orden n

12
00:00:43,070 --> 00:00:46,950
Que no vale 0

13
00:00:46,950 --> 00:00:49,530
Un determinante de orden n

14
00:00:49,530 --> 00:00:51,469
Que no vale 0

15
00:00:51,469 --> 00:00:54,950
Entonces el rango ya sabemos que es como poco es n

16
00:00:54,950 --> 00:00:57,409
Puede ser mayor que n pero como poco n

17
00:00:57,409 --> 00:00:58,609
¿De acuerdo?

18
00:00:59,049 --> 00:01:01,590
O sea que encontrar un determinante que no sea nulo

19
00:01:01,590 --> 00:01:03,630
Nos da mucha información del rango

20
00:01:03,630 --> 00:01:05,010
En cambio

21
00:01:05,010 --> 00:01:07,609
La otra frase

22
00:01:07,609 --> 00:01:10,049
Es la clave de todo

23
00:01:10,049 --> 00:01:11,650
La que hay que tener presente

24
00:01:11,650 --> 00:01:13,069
Por favor para hacer bien este problema

25
00:01:13,069 --> 00:01:15,390
Es que si todos los determinantes

26
00:01:15,390 --> 00:01:17,689
De orden n por n

27
00:01:17,689 --> 00:01:18,609
Son 0

28
00:01:18,609 --> 00:01:21,489
Entonces ya sé que el rango va a ser menor que n

29
00:01:21,489 --> 00:01:22,849
Esto es

30
00:01:22,849 --> 00:01:24,450
Importantísimo

31
00:01:24,450 --> 00:01:26,189
Importantísimo

32
00:01:26,189 --> 00:01:28,209
Importantísimo

33
00:01:28,209 --> 00:01:30,549
Es decir, que es mucho mejor

34
00:01:30,549 --> 00:01:32,329
Encontrar un determinante no nulo

35
00:01:32,329 --> 00:01:34,469
Porque solo encontrando uno

36
00:01:34,469 --> 00:01:36,010
Ya tengo información

37
00:01:36,010 --> 00:01:38,629
En cambio, si el determinante es cero

38
00:01:38,629 --> 00:01:41,030
Para obtener gran información

39
00:01:41,030 --> 00:01:42,489
Sobre el rango, tiene que ser

40
00:01:42,489 --> 00:01:44,890
Que todos esos determinantes sean cero

41
00:01:44,890 --> 00:01:47,879
Espero que esto quede claro

42
00:01:47,879 --> 00:01:49,560
¿Vale?

43
00:01:50,819 --> 00:01:52,060
Sí, ya lo creo que

44
00:01:52,060 --> 00:01:54,420
Lo tenéis claro ya de vuestras clases

45
00:01:54,420 --> 00:02:03,140
Vale, vamos a hacer dos ejemplos. ¿Por qué dos ejemplos? Porque se trabajan de distinta manera, según la matriz sea cuadrada o la matriz sea rectangular.

46
00:02:03,579 --> 00:02:13,979
Vamos a empezar por un ejemplo de la matriz cuadrada y entonces siempre es bueno poner, para situarnos en el problema, pues que el rango de A puede ser o 1, o 2, o 3.

47
00:02:14,860 --> 00:02:22,080
El rango no puede ser nunca 4 porque yo en esta matriz A no puedo poner un determinante de 4 por 4, no lo puedo encajar de ninguna manera.

48
00:02:22,599 --> 00:02:24,819
Luego el rango será o 1, o 2, o 3.

49
00:02:25,439 --> 00:02:29,740
El rango 0, que muchas veces lo preguntáis porque os atrae mucho, no sé por qué,

50
00:02:30,219 --> 00:02:32,860
el rango 0 es cuando todos los elementos de la matriz son 0.

51
00:02:33,699 --> 00:02:38,159
Bueno, como la matriz es cuadrada, vamos a empezar de lo grande a lo pequeño.

52
00:02:38,419 --> 00:02:40,539
Vamos a lo grande. ¿Por qué puedo ir a lo grande?

53
00:02:40,599 --> 00:02:43,080
Porque yo puedo estudiar el rango 3. ¿Por qué?

54
00:02:43,080 --> 00:02:47,379
Porque hay un determinante de orden 3x3. Solo hay uno, ¿eh?

55
00:02:47,379 --> 00:03:16,289
Bien, así que vamos allá, lo que tengo que hacer es estudiar este determinante de 3x3, mirad, como sólo hay un determinante de 3x3, es como si estuviera estudiando todos los determinantes de 3x3, bueno, pues yo tengo que hacer ese determinante y a ver qué sale, bueno, pues qué sale, esto ya os tenéis que fiar de mí, sale 0, muy bien,

56
00:03:16,289 --> 00:03:28,750
Como sale 0 y ya no hay más determinantes de 3 por 3, solo hay 1, pues entonces ya sé seguro que el rango de A tiene que ser menor que 3.

57
00:03:29,349 --> 00:03:42,169
Ya no puede ser 3. El rango de A no puede ser 3. Por tanto, el rango de A ya tengo que ser 1 o 2.

58
00:03:42,169 --> 00:03:45,189
Seguimos, muy bien

59
00:03:45,189 --> 00:03:49,110
Vamos a ver cómo estudiamos si el rango, seguimos de lo grande a lo pequeño

60
00:03:49,110 --> 00:03:50,150
Porque estamos ahí, vale

61
00:03:50,150 --> 00:03:52,090
¿Cómo estudiamos si el rango es 2?

62
00:03:52,189 --> 00:03:57,289
Pues para estudiar si el rango es 2, tengo que empezar a buscar determinantes de 2 por 2

63
00:03:57,289 --> 00:03:59,530
Hasta que encuentre uno que no sea 0

64
00:03:59,530 --> 00:04:05,939
Si no lo encuentro, pues entonces diré que el rango no puede ser 2

65
00:04:05,939 --> 00:04:08,360
Vamos allá, empezamos

66
00:04:08,360 --> 00:04:17,180
Empezamos por este que es el que me resulta más cómodo

67
00:04:17,180 --> 00:04:30,360
Genial, pues cojo este determinante, 1 menos 2, 2 menos 4, que es un determinante de 2 por 2, y esto me sale menos 4 menos menos 4, 0.

68
00:04:32,259 --> 00:04:43,180
¿Qué significa esto? ¿Qué significa esto? Pues esto no significa nada, lo único que significa es que hay que seguir.

69
00:04:43,839 --> 00:04:44,899
¿Qué significa que hay que seguir?

70
00:04:45,220 --> 00:04:48,420
Que tengo que seguir estudiando los determinantes de 2 por 2.

71
00:04:49,620 --> 00:04:56,300
Acordaros que para que, si un determinante vale 0, esto tiene sentido solo si todos los determinantes de orden 2 valen 0.

72
00:04:56,959 --> 00:04:59,139
Como hay que seguir, pues hay que buscar otro determinante.

73
00:04:59,699 --> 00:05:00,939
Voy a buscar otro determinante.

74
00:05:00,939 --> 00:05:07,040
En este caso, voy a buscar, a ver cómo lo pongo, voy a poner este de aquí, lo voy a poner así.

75
00:05:08,480 --> 00:05:10,220
Pero, bueno, muy bien, ha quedado bonito.

76
00:05:10,220 --> 00:05:17,220
busco este determinante que tengo aquí, menos 2, 3, menos 4, 1

77
00:05:17,220 --> 00:05:20,279
este es un determinante de 2 por 2

78
00:05:20,279 --> 00:05:23,259
vamos a ver qué pasa con él

79
00:05:23,259 --> 00:05:27,560
y esto sale, menos 2 más 12, 10

80
00:05:27,560 --> 00:05:29,300
distinto de 0

81
00:05:29,300 --> 00:05:31,259
y ahora ya concluyo

82
00:05:31,259 --> 00:05:36,720
como he encontrado un determinante de 2 por 2 distinto de 0

83
00:05:36,720 --> 00:05:40,860
yo ya sé que el rango va a ser mayor o igual que 2

84
00:05:40,860 --> 00:05:44,860
como no podía ser 3, yo ya aquí concluyo que el rango

85
00:05:44,860 --> 00:05:46,920
de A es 2

86
00:05:46,920 --> 00:05:52,779
vamos a ponerlo en pequeño

87
00:05:52,779 --> 00:05:57,839
ahí, ya está

88
00:05:57,839 --> 00:06:02,339
así que ya lo he tenido ahí, muy bien, ya está hecho, es sencillo

89
00:06:02,339 --> 00:06:06,620
es sencillo, bien, vamos a hacer

90
00:06:06,620 --> 00:06:09,600
el de la matriz, ahora una matriz

91
00:06:09,600 --> 00:06:14,240
rectangular, venga

92
00:06:14,240 --> 00:06:18,379
una matriz rectangular, la tengo preparada, ya puedo ir mucho más rápido

93
00:06:18,379 --> 00:06:23,540
y la matriz triangular que tengo preparada para todos vosotros

94
00:06:23,540 --> 00:06:28,300
es esta, 3, 1, 5, 0, 1, ya os he dicho

95
00:06:28,300 --> 00:06:32,300
que las matrices se nombran por filas y 0, menos 1

96
00:06:32,300 --> 00:06:35,620
1, 3, bueno, empezamos

97
00:06:35,620 --> 00:06:41,439
el rango de A es o 1 o 2 o 3

98
00:06:41,439 --> 00:06:44,839
otra cosa que preguntan muchos alumnos

99
00:06:44,839 --> 00:06:46,420
¿por qué no puede ser rango 4?

100
00:06:46,740 --> 00:06:47,519
vamos a ver

101
00:06:47,519 --> 00:06:50,279
¿por qué no puede ser rango 4 si tiene 4 columnas?

102
00:06:50,519 --> 00:06:52,620
pues yo a la persona esa que me pregunta le digo

103
00:06:52,620 --> 00:06:57,180
muy bien, estudiame aquí dentro de esta matriz un determinante de 4 por 4

104
00:06:57,180 --> 00:06:59,620
no puede porque no hay

105
00:06:59,620 --> 00:07:02,100
luego el rango como mucho puede ser 3

106
00:07:02,100 --> 00:07:06,019
pues ahora aquí se hace de distinta manera

107
00:07:06,019 --> 00:07:09,319
no conviene empezar de lo grande a lo pequeño

108
00:07:09,319 --> 00:07:12,160
a ver, ¿por qué no conviene empezar estudiando el rango 3?

109
00:07:12,579 --> 00:07:15,120
porque ¿cuántos determinantes hay de 3 por 3?

110
00:07:15,319 --> 00:07:16,100
los voy a poner

111
00:07:16,100 --> 00:07:18,540
¿sabéis cuáles son los determinantes que hay de 3 por 3?

112
00:07:18,660 --> 00:07:22,000
todos estos, mirad, está columna 1, columna 2, columna 3

113
00:07:22,000 --> 00:07:26,480
está columna 1, columna 2, columna 4

114
00:07:26,480 --> 00:07:33,160
Está columna 1, columna 3, columna 4

115
00:07:33,160 --> 00:07:37,319
Y está el determinante de la columna 2, columna 3, columna 4

116
00:07:37,319 --> 00:07:41,240
Todos estos son de 3 por 3

117
00:07:41,240 --> 00:07:46,680
Bueno, pues entonces es un rollo empezar a estudiar esto

118
00:07:46,680 --> 00:07:48,600
¿Por qué es un rollo?

119
00:07:48,600 --> 00:07:52,420
Lo de siempre, si uno sale distinto de 0, alegría

120
00:07:52,420 --> 00:07:55,519
Pero como salga 0, hay que seguir estudiando todos

121
00:07:55,519 --> 00:08:03,220
Entonces habría que estudiar 4. Entonces es más cómodo empezar por el rango 2 y seguir hacia adelante.

122
00:08:04,420 --> 00:08:08,879
Empezamos por el rango 2. Aquí vamos a explicar una cosa muy importante con el rango 2.

123
00:08:10,459 --> 00:08:14,420
Vamos a empezar a coger un determinante de S. Bueno, voy a coger este.

124
00:08:14,420 --> 00:08:21,220
muy bien, cojo este determinante que es 1, 2, 3, 1

125
00:08:21,220 --> 00:08:26,459
y este determinante sale menos 5 distinto de 0

126
00:08:26,459 --> 00:08:29,720
como esto es un determinante de 2 por 2

127
00:08:29,720 --> 00:08:33,139
que no vale 0

128
00:08:33,139 --> 00:08:37,840
pues yo ya sé que el rango de A es como poco 2

129
00:08:37,840 --> 00:08:40,559
es decir, puedo poner mayor o igual que 2

130
00:08:40,559 --> 00:08:44,059
o si lo veis más claro, puedo poner que el rango de A

131
00:08:44,059 --> 00:08:46,860
ya serán 2 o 3

132
00:08:46,860 --> 00:08:49,120
muy bien, bueno pues fijaros que

133
00:08:49,120 --> 00:08:52,759
no nos ha ayudado mucho porque al final tenemos que ir a estudiar

134
00:08:52,759 --> 00:08:55,720
el rango 3, así que en el rango 3

135
00:08:55,720 --> 00:08:58,779
habría que estudiar 1, 2, 3, 4

136
00:08:58,779 --> 00:09:01,379
determinantes, que es bastante tedioso

137
00:09:01,379 --> 00:09:04,899
bueno, pues no va a hacer falta estudiar, no lo va a hacer falta

138
00:09:04,899 --> 00:09:07,720
¿por qué? porque viene un concepto muy importante

139
00:09:07,720 --> 00:09:10,779
para todos nosotros, que es el concepto

140
00:09:10,779 --> 00:09:12,759
de Orlán, y significa lo siguiente

141
00:09:12,759 --> 00:09:16,000
que cuando hemos encontrado

142
00:09:16,000 --> 00:09:17,600
un determinante

143
00:09:17,600 --> 00:09:19,820
no nulo, acordaros que

144
00:09:19,820 --> 00:09:21,840
esto se llama un menor, porque era más pequeño

145
00:09:21,840 --> 00:09:23,960
que el determinante, bueno, cuando he encontrado un determinante

146
00:09:23,960 --> 00:09:25,840
no nulo, para estudiar el siguiente

147
00:09:25,840 --> 00:09:27,899
rango, o sea, para estudiar el rango 3

148
00:09:27,899 --> 00:09:29,960
no hace falta

149
00:09:29,960 --> 00:09:32,220
estudiar todos estos determinantes

150
00:09:32,220 --> 00:09:34,039
aquí viene

151
00:09:34,039 --> 00:09:36,120
la clave, la voy a poner otra vez

152
00:09:36,120 --> 00:09:37,879
así que

153
00:09:37,879 --> 00:09:39,460
este concepto se llama

154
00:09:39,460 --> 00:09:43,570
orlar, todavía no lo he dicho lo que es

155
00:09:43,570 --> 00:09:47,250
Orlamos, de orlar, poner una orla

156
00:09:47,250 --> 00:09:50,590
¿Qué es? ¿Qué has puesto? Orlamos

157
00:09:50,590 --> 00:09:55,169
¿Qué es orlar? Orlar nos dice que una vez que he encontrado

158
00:09:55,169 --> 00:09:59,450
un determinante no nulo, que es importantísimo, ya no hace

159
00:09:59,450 --> 00:10:03,029
falta estudiar todos los determinantes siguientes, del siguiente

160
00:10:03,029 --> 00:10:06,769
orden, sino sólo hace falta estudiar los determinantes

161
00:10:06,769 --> 00:10:10,309
que contengan al que hemos encontrado

162
00:10:10,309 --> 00:10:16,309
solo hace falta estudiar los determinantes que contengan al que hemos encontrado

163
00:10:16,309 --> 00:10:19,450
luego aquí hay uno, y aquí voy a poner el otro

164
00:10:19,450 --> 00:10:25,529
¿cómo puedo completar este determinante? pues con la columna 3

165
00:10:25,529 --> 00:10:28,789
que sería aquí, 0, 5, 1

166
00:10:28,789 --> 00:10:33,769
menos 1, 0, o con la columna 4, 1, 0, 3

167
00:10:33,769 --> 00:10:37,549
0, menos 1, bueno espero que esto

168
00:10:37,549 --> 00:10:42,250
se entienda, esto espero que se entienda

169
00:10:42,250 --> 00:11:00,750
Es decir, que no hace falta estudiar ya este determinante, el 2, 0, 1, 1, 5, 0, menos 1, 1, 3, o sea, de la columna 2, 3 y 4, este no hace falta estudiarlo, que estaría aquí, ¿lo veis? Este estaría aquí, pues ese no hace falta estudiarlo ya.

170
00:11:00,750 --> 00:11:23,850
Bueno, pues nos hemos quitado un determinante. Pues ni el otro tampoco, ¿eh? Vale. Importantísimo. Espero que haya quedado claro lo de qué es orlar. Lo repito, orlar es que para estudiar el rango superior que nos toca, no hace falta estudiar todos los determinantes, sino sólo los que contengan a nuestro determinantito que no ha valido cero.

171
00:11:26,580 --> 00:11:28,240
Espero que se haya entendido. Bueno, pues lo hacemos.

172
00:11:28,960 --> 00:11:35,919
Vamos a hacer este primer determinante. Bueno, pues este primer determinante lo he preparado para que salga lo que os imagináis, 0.

173
00:11:39,059 --> 00:11:44,779
Como sale 0, esto es un determinante de 3 por 3, pues no significa nada, significa que hay que seguir.

174
00:11:46,600 --> 00:11:50,059
Hay que seguir estudiando los demás determinantes, pero ya solo me queda uno por estudiar.

175
00:11:50,059 --> 00:11:54,460
Bueno, pues este determinante ya sí que nos sale 0

176
00:11:54,460 --> 00:11:59,059
Este determinante sale menos 18

177
00:11:59,059 --> 00:12:03,509
Como este determinante es de 3 por 3

178
00:12:03,509 --> 00:12:09,490
Distinto de 0, pues ya tengo que el rango de A es 3

179
00:12:09,490 --> 00:12:14,879
Y se acabó

180
00:12:14,879 --> 00:12:18,440
Repito que esto de orlar es importantísimo

181
00:12:18,440 --> 00:12:19,960
Porque nos ahorra muchísimo trabajo

182
00:12:19,960 --> 00:12:21,759
Y muchísimas...

183
00:12:21,759 --> 00:12:23,779
Os quitáis de reclamaciones en los exámenes

184
00:12:23,779 --> 00:12:25,480
Porque no lo ponéis y perderéis nota

185
00:12:25,480 --> 00:12:28,720
Porque en el examen tendréis que poner que estáis orlando

186
00:12:28,720 --> 00:12:31,720
Porque si no vuestro profesor, vuestra profesora os pondrá

187
00:12:31,720 --> 00:12:36,799
¿Y por qué no has estudiado los otros dos determinantes que hay?

188
00:12:37,779 --> 00:12:39,620
Claro, eso hay que ponerlo

189
00:12:39,620 --> 00:12:42,220
Cuando estemos en un sistema de ecuaciones

190
00:12:42,220 --> 00:12:43,659
Esto va a ser jauja

191
00:12:43,659 --> 00:12:44,279
¿Por qué?

192
00:12:45,279 --> 00:12:47,460
Porque este primero de aquí

193
00:12:47,460 --> 00:12:50,440
Esto es la matriz de los coeficientes que ya la hemos estudiado

194
00:12:50,440 --> 00:12:53,279
Luego en verdad solo habrá que estudiar uno que es este

195
00:12:53,279 --> 00:12:55,950
Bueno

196
00:12:55,950 --> 00:12:59,610
dicho está

197
00:12:59,610 --> 00:13:02,110
espero que os haya

198
00:13:02,110 --> 00:13:04,529
gustado y refrescado la memoria

199
00:13:04,529 --> 00:13:07,120
muchas gracias

200
00:13:07,120 --> 00:13:08,639
por escuchar

201
00:13:08,639 --> 00:13:10,720
hasta luego