1
00:00:01,520 --> 00:00:13,240
Bueno, vamos a ver, vamos a hacer este ejercicio que lo teníamos pendiente, donde nos dicen que tenemos dos vectores, A y B, de los cuales conocemos su módulo.

2
00:00:13,519 --> 00:00:27,339
Aquí lo que conocemos es que el módulo de A es 1, nunca olvidéis de las flechitas en los vectores, esto es 1, y el módulo de B es raíz de 2 en este caso.

3
00:00:27,339 --> 00:00:41,100
¿Y qué ocurre? Ambos vectores, yo por ejemplo tengo aquí A y tengo aquí B, pues el ángulo que forman entre ellos este ángulo alfa es 45 grados, ¿de acuerdo?

4
00:00:42,079 --> 00:00:51,439
Entonces, lo que nos piden es el módulo de A más B. Si fueran ortogonales, tanto para el módulo de A más B como el módulo de A menos B,

5
00:00:51,439 --> 00:00:55,740
que además serían exactamente iguales, pues podemos utilizar Pitágoras.

6
00:00:56,280 --> 00:01:01,859
Pero en este caso, como se llevan 45 grados, pues tenemos que proceder de la siguiente forma.

7
00:01:02,479 --> 00:01:06,459
Antes de nada vamos a recordar una cosa, que era el producto escalar,

8
00:01:06,780 --> 00:01:13,459
no olvidarse la flechita de los vectores, voy a poner un asterisco para señalar que es producto escalar y no es un producto normal.

9
00:01:13,459 --> 00:01:25,219
El producto escalar de dos vectores O y V es la multiplicación del módulo de U por el módulo de V por el coseno del ángulo que forma.

10
00:01:25,359 --> 00:01:31,920
Para simplificar, voy a llamar a arfa al ángulo que forma O y V, ¿de acuerdo?

11
00:01:32,959 --> 00:01:35,620
Es otra cosa que tenemos que tener en cuenta.

12
00:01:35,620 --> 00:01:53,120
Si yo, por ejemplo, hago el producto escalar de un vector consigo mismo, pues ¿cómo sería la cosa? Pues sería el módulo de u, ¿verdad? Por el módulo de sí mismo, por el coseno del ángulo que forma.

13
00:01:53,120 --> 00:02:07,780
Si yo tengo un vector aquí u y tengo otra vez el mismo vector u, entre ellos ¿cuánto es el ángulo? Pues cero grado. ¿De acuerdo? ¿Qué ocurre con el coseno de cero grado? El coseno de cero grado es uno.

14
00:02:07,780 --> 00:02:23,460
Por lo tanto, cuando yo tengo el producto escalar de un vector por sí mismo, es igual al módulo de ese vector multiplicado por el módulo de ese vector por 1.

15
00:02:24,020 --> 00:02:30,439
¿Cuánto es el módulo de un vector por el módulo de un vector? Pues el módulo del vector al cuadrado.

16
00:02:31,319 --> 00:02:38,199
Entonces, esto de aquí necesitamos saberlo para aplicar la resolución de este ejercicio.

17
00:02:38,199 --> 00:02:46,860
Es decir, el módulo al cuadrado de un vector es igual al producto de ese vector por sí mismo.

18
00:02:47,740 --> 00:02:48,120
¿De acuerdo?

19
00:02:49,900 --> 00:02:57,800
Entonces, sabiendo esto de aquí, pues ya podemos operar con lo que nos pide.

20
00:02:58,259 --> 00:03:00,259
¿Vale? Lo voy a hacer en verde.

21
00:03:00,439 --> 00:03:23,259
Si a mí me piden el módulo de A más B, yo lo que tengo que utilizar es calcular previamente el módulo de A más B al cuadrado.

22
00:03:23,259 --> 00:03:41,280
Y aplico esto de aquí. ¿Qué es el módulo al cuadrado de a más b? Pues igual al producto escalar de a más b consigo mismo. El producto escalar de a más b consigo mismo.

23
00:03:41,280 --> 00:04:08,120
Y aquí ¿qué ocurre? Pues que aplicamos la propiedad distributiva, es decir, hacemos el producto escalar de A consigo mismo, producto escalar de A con A, le sumamos el producto escalar de A por B, esto es igual que cuando aplicamos la propiedad distributiva con la multiplicación pero ahora con el producto escalar,

24
00:04:08,120 --> 00:04:33,100
Y ahora cogemos B, lo voy a hacer encolorado aquí, ¿vale? B le hacemos el producto escalar con A y ahora hacemos B con el producto escalar consigo mismo. Es decir, yo tengo más el producto escalar de B con A, más el producto escalar de B consigo mismo. ¿De acuerdo?

25
00:04:33,100 --> 00:04:42,720
entonces al final que ocurre hemos dicho que era el producto escalar de un vector consigo mismo

26
00:04:42,720 --> 00:04:53,860
pues el módulo del vector al cuadrado que cumple el producto escalar que es conmutativo es decir

27
00:04:53,860 --> 00:04:59,860
es lo mismo el producto escalar de a por b que b por b porque al final si yo sustituyo en la

28
00:04:59,860 --> 00:05:05,180
fórmula pues que es el módulo de a por el módulo de b por el coseno del ángulo que forman entre los

29
00:05:05,180 --> 00:05:10,500
dos y si hago b por a que sería el módulo de b por el módulo de a por el coseno del ángulo que

30
00:05:10,500 --> 00:05:20,040
forman los dos que es el mismo por lo tanto esto es dos veces el producto escalar de a por b y

31
00:05:20,040 --> 00:05:28,519
cuánto es el producto escalar de un vector por sí mismo pues es el módulo del vector al cuadrado

32
00:05:28,519 --> 00:05:45,120
¿De acuerdo? Entonces aquí lo único que tenemos que hallar de momento, esto lo sabemos porque es 1 al cuadrado, esto lo sabemos porque es raíz de 2 al cuadrado, lo único que tendríamos que hallar es el producto escalar de a por b.

33
00:05:45,120 --> 00:06:06,279
Bien, aplicamos fórmula, módulo de a por módulo del vector b por el coseno, en este caso alfa es 45, es decir, esto es igual a 1, esto es por raíz de 2, por raíz de 2 partido de 2, que es el coseno de 45.

34
00:06:06,759 --> 00:06:14,519
Entonces esto que es, esto es raíz de 2 por raíz de 2 es 2, entre 2 es igual a 1, ¿vale?

35
00:06:15,120 --> 00:06:45,899
Si yo sustituyo aquí, que me encuentro que el módulo de a más b al cuadrado es igual al módulo de a al cuadrado más el doble producto del producto escalar de a por b más el módulo de b al cuadrado.

36
00:06:45,899 --> 00:06:49,879
Importante no olvidarse este cuadrado de aquí, ¿vale?

37
00:06:51,000 --> 00:06:51,959
Entonces, ¿qué ocurre?

38
00:06:52,339 --> 00:06:53,860
Que yo ahora empiezo a sustituir.

39
00:06:54,079 --> 00:06:55,920
Módulo de A, 1, ¿verdad?

40
00:06:55,980 --> 00:06:58,360
Me lo dice el enunciado.

41
00:06:58,480 --> 00:07:02,420
1 al cuadrado más doble producto de A por B.

42
00:07:02,420 --> 00:07:05,939
Hemos calculado antes que era 1, pues 1.

43
00:07:06,560 --> 00:07:09,899
Más el módulo de B al cuadrado, era raíz de 2,

44
00:07:09,959 --> 00:07:11,839
que me lo dice el enunciado, al cuadrado.

45
00:07:12,360 --> 00:07:13,519
Por lo tanto, esto es igual.

46
00:07:13,519 --> 00:07:42,649
1 más 2 más 2 es igual a 5, pero eso es lo que nos piden, no, a nosotros lo que nos piden es cuánto vale el módulo de a más b únicamente y que ocurre que el módulo de a más b que es pues la raíz cuadrada del módulo de a más b al cuadrado, es decir, esto es la raíz de 5, ¿vale?

47
00:07:42,649 --> 00:08:00,250
para hacer el, voy a hacerlo aquí en negro, el módulo de a menos b al cuadrado, pues sería exactamente igual.

48
00:08:00,250 --> 00:08:11,389
es a menos b, producto escalar, por a menos b.

49
00:08:12,949 --> 00:08:16,949
Desarrollo, y esto al final, hacedlo ustedes, pero os tiene que salir,

50
00:08:18,089 --> 00:08:24,149
módulo de a al cuadrado menos doble producto del producto escalar de a por b,

51
00:08:26,829 --> 00:08:30,009
más el módulo de b al cuadrado.

52
00:08:30,009 --> 00:08:43,549
Esto tiene que recordar a la identidad notable. Por lo tanto, ¿qué ocurre? El módulo de a menos b al cuadrado, que no es lo que nos piden, a que es igual.

53
00:08:43,549 --> 00:09:13,929
El módulo de A es 1 al cuadrado menos el doble producto de A por B es igual a 1, que lo hemos calculado antes aquí, ¿vale?

54
00:09:14,750 --> 00:09:23,029
Más el módulo de B que era raíz de 2 y todo ello al cuadrado, ¿vale?

55
00:09:23,029 --> 00:09:31,870
Entonces, esto aquí es igual a 1 menos 2 más 2, que es igual a 1.

56
00:09:32,649 --> 00:09:47,710
Por lo tanto, el módulo de A menos B, por favor no os dejéis las flechitas porque eso se penaliza, es igual a la raíz de A, el módulo.

57
00:09:47,710 --> 00:09:54,230
A ver, es que me está esto...

58
00:09:54,230 --> 00:10:03,370
Es, a ver, el módulo de a menos b al cuadrado.

59
00:10:03,750 --> 00:10:08,990
Es decir, la raíz de 1, que es igual a 1.

60
00:10:10,309 --> 00:10:15,090
¿Vale? Sí.

61
00:10:16,490 --> 00:10:17,529
¿Qué ocurre?

62
00:10:17,529 --> 00:10:25,669
Es que claro que si fueran ortogonales, pues esto se hace del tirón, esto se hace del tirón con pitágoras.

63
00:10:25,990 --> 00:10:40,149
De hecho, lo voy a hacer como si en vez de tener 45 grados, pues fuese 90, ¿vale?

64
00:10:40,149 --> 00:10:59,210
Voy a crear una nueva página y entonces me dicen que módulo de A es igual a 1, módulo de B es igual a raíz de 2 y que el ángulo que forman es 90 grados, es decir, son ortogonales.

65
00:10:59,210 --> 00:11:05,169
pues entonces

66
00:11:05,169 --> 00:11:07,450
esto por el método gráfico es súper fácil

67
00:11:07,450 --> 00:11:09,850
yo tengo aquí un vector A

68
00:11:09,850 --> 00:11:13,190
y otro ortogonal a él

69
00:11:13,190 --> 00:11:15,889
que es B, esto es 90 grados

70
00:11:15,889 --> 00:11:18,889
como el módulo suma

71
00:11:18,889 --> 00:11:21,830
es esto de aquí, pues yo aquí tengo

72
00:11:21,830 --> 00:11:23,389
un triángulo

73
00:11:23,389 --> 00:11:26,929
donde esto es A

74
00:11:26,929 --> 00:11:29,590
esto es B

75
00:11:29,590 --> 00:11:34,370
¿Vale? Y esto es precisamente lo que me pide la hipotenusa.

76
00:11:34,370 --> 00:11:44,190
Con lo cual, el módulo de a más b es directamente la raíz de qué?

77
00:11:44,509 --> 00:11:55,590
De 1 al cuadrado más raíz de 2 al cuadrado, módulo de a más b es igual a raíz de 5.

78
00:11:55,590 --> 00:12:00,929
no, raíz de 3, perdón

79
00:12:00,929 --> 00:12:02,950
más 2

80
00:12:02,950 --> 00:12:04,049
raíz de 3

81
00:12:04,049 --> 00:12:06,509
si yo lo hago como hemos visto

82
00:12:06,509 --> 00:12:08,490
yo tengo que hacer módulo de a

83
00:12:08,490 --> 00:12:10,850
más módulo de b al cuadrado

84
00:12:10,850 --> 00:12:12,230
hemos dicho que es

85
00:12:12,230 --> 00:12:14,970
el producto escalar

86
00:12:14,970 --> 00:12:16,090
de a más b

87
00:12:16,090 --> 00:12:17,929
voy a poner aquí

88
00:12:17,929 --> 00:12:20,330
bien esto, vale

89
00:12:20,330 --> 00:12:22,090
de a más b

90
00:12:22,090 --> 00:12:24,350
producto escalar a

91
00:12:24,350 --> 00:12:25,789
más b

92
00:12:25,789 --> 00:12:27,129
¿de acuerdo?

93
00:12:27,129 --> 00:12:51,169
¿Esto a qué es igual? Es igual al producto de A por A más el producto de B por A, no olvidaré hacer la flechita, más el producto escalar de A por B, que es igual que B por A, más el producto escalar de B por B.

94
00:12:52,029 --> 00:12:56,269
¿Qué hemos dicho que era el producto escalar de un vector consigo mismo?

95
00:12:56,470 --> 00:12:58,830
Es el módulo de a al cuadrado.

96
00:12:59,549 --> 00:13:05,149
Esto y esto es igual, por lo tanto es dos veces el producto escalar de a por b.

97
00:13:06,210 --> 00:13:10,149
Y esto es el módulo de b al cuadrado.

98
00:13:10,649 --> 00:13:10,970
¿De acuerdo?

99
00:13:11,450 --> 00:13:20,490
Estos como son ortogonales, ¿cuánto es el producto escalar de dos vectores ortogonales, a y b?

100
00:13:20,490 --> 00:13:43,570
Pues el producto escalar de a y b es 0, porque por el coseno de 90 es 0, por lo tanto el módulo de a más b al cuadrado es igual al módulo de a al cuadrado más módulo de b al cuadrado,

101
00:13:43,570 --> 00:13:53,610
es decir, 1 al cuadrado más raíz de 2 al cuadrado, esto es igual a 1, esto es más 2 y es igual a 3.

102
00:13:53,789 --> 00:14:05,710
¿Lo que me piden? No, me piden a más b, el módulo, que es la raíz cuadrada de a más b al cuadrado,

103
00:14:05,710 --> 00:14:08,830
Es decir, en la raíz de 3.

104
00:14:09,429 --> 00:14:12,429
¿Veis cómo me sale exactamente lo mismo?

105
00:14:12,769 --> 00:14:13,490
Claro, no hay color.

106
00:14:14,049 --> 00:14:24,750
Cuando son ortogonales es más fácil hacerlo por el método gráfico que por el método que habría que hacerlo si este ángulo no fuese 90 grados.

107
00:14:25,070 --> 00:14:28,870
¿Qué particularidad tienen cuando los ángulos son ortogonales?

108
00:14:28,870 --> 00:14:41,970
Pues que el módulo de la suma de vectores es igual al módulo, no os olvidéis aquí la flechita, de la resta de vectores.

109
00:14:43,029 --> 00:14:44,750
Cualquier duda, me preguntáis.