1
00:00:01,330 --> 00:00:04,389
Buenos días, buenas tardes o buenas noches.

2
00:00:04,830 --> 00:00:11,390
Estamos hoy aquí reunidos para resolver el ejercicio 16 del concurso de primavera de 2015,

3
00:00:12,089 --> 00:00:14,349
nivel 4, fase 2.

4
00:00:15,490 --> 00:00:16,449
Y dice así.

5
00:00:17,530 --> 00:00:20,329
La suma de la progresión geométrica decreciente ilimitada,

6
00:00:21,190 --> 00:00:25,670
a por r, r al cuadrado, r al cubo, etc., es 7.

7
00:00:26,089 --> 00:00:28,510
Es una suma infinita, pero sabemos que da 7.

8
00:00:28,510 --> 00:00:40,229
Y la suma de la progresión obtenida considerando solamente los términos con exponente impar de r, es decir, aquellos que son a por r, a por r al cubo, a por r elevado a 5, etc., es 3.

9
00:00:41,170 --> 00:00:43,189
¿Cuál es el valor de a más r?

10
00:00:43,549 --> 00:00:48,969
Y tenemos las 5 opciones que normalmente suele que hay en este concurso.

11
00:00:50,590 --> 00:00:55,030
Como estamos hablando con progresiones, hay que tener en cuenta las ideas y técnicas básicas.

12
00:00:55,030 --> 00:00:59,829
y entre ellas, pues bueno, a veces se hace de manera directa

13
00:00:59,829 --> 00:01:02,710
o hay otras veces que hay que saberse de ciertas fórmulas

14
00:01:02,710 --> 00:01:04,689
en este caso de las progresiones geométricas

15
00:01:04,689 --> 00:01:08,170
hay que saber cuál es la fórmula que nos da la suma de los infinitos términos

16
00:01:08,170 --> 00:01:10,569
de una progresión geométrica cuando converge

17
00:01:10,569 --> 00:01:12,969
que en este caso lo hace porque ya nos dicen que da 7

18
00:01:12,969 --> 00:01:16,650
y muy bien, vamos allá

19
00:01:16,650 --> 00:01:20,010
primero definamos lo que es una progresión geométrica

20
00:01:20,010 --> 00:01:22,170
y veamos nuestro caso

21
00:01:22,170 --> 00:01:45,930
Pues damos una progresión geométrica, dados a y r, pues definimos a sub 1 como a, a sub 2 como a por r, a sub 1 por r, a por r, el a sub 3 a sub 2 por r, que es lo mismo que a sub 1 por r al cuadrado, y en general a sub n más 1 será pues el anterior a sub n por la razón r, o el primero a sub 1, que es a, por r elevado a n.

22
00:01:45,930 --> 00:01:49,709
Ahora bien, ¿este ejercicio cómo se va a plantear?

23
00:01:50,769 --> 00:01:56,569
Pues, primero hay que saberse la fórmula que nos da la suma de la progresión geométrica

24
00:01:56,569 --> 00:02:02,290
Que en el caso de que la razón en valor absoluto sea menor que 1

25
00:02:02,290 --> 00:02:04,329
La suma es finita

26
00:02:04,329 --> 00:02:06,530
Y da lo que pone ahí

27
00:02:06,530 --> 00:02:10,530
La suma desde el primer término hasta el infinito

28
00:02:10,530 --> 00:02:13,650
De los términos es el primero a su 1

29
00:02:13,650 --> 00:02:16,250
O sea, A dividido entre 1 menos la razón.

30
00:02:17,629 --> 00:02:20,129
Si no se sabe esta fórmula, pues que no se puede hacer el ejercicio.

31
00:02:21,110 --> 00:02:26,270
Ahora bien, este ejercicio nos dice algo sobre la que esta suma vale 7 y también habla sobre la suma de los pares.

32
00:02:27,289 --> 00:02:29,469
Para poder resolver este ejercicio hay que saber dos cosas.

33
00:02:29,469 --> 00:02:32,150
Primero, la fórmula que está aquí puesta en pantalla.

34
00:02:32,150 --> 00:02:46,590
Y segundo, el poder manipular la suma original, de forma que para los que son de exponente impar, luego será sacar factor común y hacer un cambio de variable.

35
00:02:47,389 --> 00:02:53,229
Y a partir de ahí tendremos dos fórmulas y nos dará un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que resolveremos.

36
00:02:54,210 --> 00:02:59,349
Vamos primero a calcular la fórmula que nos da la suma de los términos de exponente impar.

37
00:03:02,150 --> 00:03:02,889
Y va como sigue.

38
00:03:03,330 --> 00:03:07,330
Pues nada, cogemos el a sub 2, que sería a sub 1 por r elevado a 1.

39
00:03:07,530 --> 00:03:13,849
Fijaos que los que tengan índice par tendrán una potencia impar de r.

40
00:03:14,210 --> 00:03:22,849
Sub 2 más a sub 4 más a sub 6, si los ponemos en su forma original, sería a por r, a por r al cubo, a por r elevado a 5.

41
00:03:23,530 --> 00:03:31,430
Sacamos factor común y tenemos r, que es el factor común a todos, que multiplica a sub 1 más a sub 1 por r al cuadrado, etc.

42
00:03:32,150 --> 00:03:39,409
Y ahora, haciendo el cambio de variable r por r al cuadrado, pues nos quedaría esta otra progresión geométrica.

43
00:03:39,409 --> 00:03:47,710
Bueno, porque es obvio que si r es menor que 1 en valor absoluto, da igual, menos un 0,5 también valdría.

44
00:03:48,650 --> 00:03:52,629
r al cuadrado también es en valor absoluto menor que 1. De hecho, es positivo y es menor que 1.

45
00:03:53,949 --> 00:03:59,669
Y entonces, al tener aquí una progresión geométrica con razón menor que 1, podemos aclarar su suma.

46
00:03:59,669 --> 00:04:06,009
y su suma será a sub 1, que es el primer elemento, partido por 1 menos la razón, que en este caso es r mayúscula.

47
00:04:06,550 --> 00:04:20,430
En nuestro caso particular, pues como la razón es r al cuadrado, sustituimos, multiplicamos y ya nos queda todo pues r por a sub 1 partido por 1 menos r al cuadrado.

48
00:04:21,269 --> 00:04:27,589
Y ahora vamos a poner las dos condiciones que nos dice el problema juntas, que es que la original la suma es 7

49
00:04:27,589 --> 00:04:31,089
y la de términos impares, que tiene esta expresión, su suma es 3

50
00:04:31,089 --> 00:04:34,470
a ver, aquí se puede resolver el sistema de varias formas

51
00:04:34,470 --> 00:04:39,430
lo interesante es que esto lo podemos poner como diferencia de cuadrados

52
00:04:39,430 --> 00:04:43,389
o sea, eso es una de las, el reconocimiento de patrones

53
00:04:43,389 --> 00:04:46,750
una de las ideas es el reconocimiento de patrones, pero esto ya es para resolver en sí

54
00:04:46,750 --> 00:04:51,069
el sistema, y pues poniendo u a la sub 1 en un sitio

55
00:04:51,069 --> 00:04:53,769
y r en otro, pues nos queda que esto sabemos que es 7

56
00:04:53,769 --> 00:04:57,110
ya pues despejamos, el 1 más r pasa multiplicando

57
00:04:57,110 --> 00:05:00,029
pues 7r menos 3r es 4r

58
00:05:00,029 --> 00:05:02,209
y dividiendo pues r es igual a 3 cuartos

59
00:05:02,209 --> 00:05:03,990
que efectivamente es menor que 1

60
00:05:03,990 --> 00:05:07,850
si pasamos al lado siguiente

61
00:05:07,850 --> 00:05:12,730
pues sabemos que como 1 es 7 y r sabemos que es 3 cuartos

62
00:05:12,730 --> 00:05:15,290
ponemos 3 cuartos en la fórmula

63
00:05:15,290 --> 00:05:17,310
hacemos las operaciones y las cuentas

64
00:05:17,310 --> 00:05:19,750
y nos queda que el primer elemento es 7 cuartos

65
00:05:19,750 --> 00:05:23,089
Así pues, la suma, no hay nada más que sumar

66
00:05:23,089 --> 00:05:26,009
7 cuartos más 3 cuartos, que es 10 cuartos

67
00:05:26,009 --> 00:05:30,730
Simplificada por 5 medios, que es la solución E

68
00:05:30,730 --> 00:05:38,029
Y ya está, este problema requeriría, repito, de dos ingredientes básicos

69
00:05:38,029 --> 00:05:39,430
Sabes la fórmula

70
00:05:39,430 --> 00:05:45,230
Y después, manipular la suma de los impares sacando el factor común

71
00:05:45,230 --> 00:05:48,610
Y después, haciendo un cambio de variable

72
00:05:48,610 --> 00:05:51,889
Pues nada, con esto terminamos

73
00:05:51,889 --> 00:05:54,290
Y el dicho de hoy es

74
00:05:54,290 --> 00:05:55,810
Bueno, de este ejercicio es

75
00:05:55,810 --> 00:05:58,430
No por mucho madrugar, amanece más temprano