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00:00:03,819 --> 00:00:16,780
Vamos a resolver hoy un ejercicio de la EBAU de Matemáticas 2 de Madrid del año 2017, convocatoria de junio, modelo B, ejercicio 3.

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00:00:17,800 --> 00:00:26,820
Es un ejercicio de geometría donde hay que determinar la distancia entre dos rectas que se cruzan, una en forma continua y otra en forma de corte de dos planos,

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00:00:26,820 --> 00:00:33,920
y que nos va a servir para explicar también la teoría de este ejercicio

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00:00:33,920 --> 00:00:40,420
lo primero que hago es en la recta en forma continua sacar un punto como puede ser el 0,0,0

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00:00:40,420 --> 00:00:43,679
y un vector director que sería el 1,1,1

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00:00:43,679 --> 00:00:50,179
entonces pinto la recta con ese punto y ese vector y ya la tengo aquí

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00:00:50,179 --> 00:00:59,359
Ahora voy a representar la otra recta que tiene dos planos que se cortan.

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00:00:59,759 --> 00:01:06,239
Pues lo que voy a hacer es sacar los vectores normales 1, 1, 0 y 1, 0, menos 1

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00:01:06,239 --> 00:01:16,659
y hacer su producto vectorial para conseguir el vector director de la segunda recta, de la recta azul.

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00:01:16,659 --> 00:01:18,859
Que sale menos 1, 1, menos 1.

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00:01:18,859 --> 00:01:24,340
Por supuesto, podría coger cualquier otro vector proporcional

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00:01:24,340 --> 00:01:26,299
Es decir, 1 menos 1 es 1

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00:01:26,299 --> 00:01:29,760
O 7 menos 7 es 7

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00:01:29,760 --> 00:01:32,260
Bueno, para hallar el punto

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00:01:32,260 --> 00:01:35,819
Pues lo que tenemos que hacer es coger uno de los infinitos puntos

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00:01:35,819 --> 00:01:37,959
Que es la intersección de los dos planos

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00:01:37,959 --> 00:01:39,859
Por ejemplo, tomo la x0

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00:01:39,859 --> 00:01:44,200
Y me queda este sistema, muy sencillito

19
00:01:44,200 --> 00:01:46,219
De soluciones 1 y 1

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00:01:46,219 --> 00:01:50,239
he aprovechado que si daba un valor a la x

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00:01:50,239 --> 00:01:52,299
aquí solo quedaba y y aquí solo quedaba z

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00:01:52,299 --> 00:01:55,680
con lo cual era mucho más sencillo

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00:01:55,680 --> 00:01:57,319
así que el punto es el 0,1,1

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00:01:57,319 --> 00:02:00,219
pues con el 0,1,1 y con el menos 1,1, menos 1

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00:02:00,219 --> 00:02:02,340
que nos salió del producto vectorial

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00:02:02,340 --> 00:02:03,560
tenemos la recta roja

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00:02:03,560 --> 00:02:06,299
nos piden la distancia

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00:02:06,299 --> 00:02:07,939
yo se la he preguntado a GeoGebra

29
00:02:07,939 --> 00:02:10,400
y ya me ha dicho que es 0,71

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00:02:10,400 --> 00:02:13,699
luego veremos si nos da lo mismo o no

31
00:02:13,699 --> 00:02:14,939
esperemos que sí, ¿verdad?

32
00:02:14,939 --> 00:02:20,539
si yo pongo las dos rectas en un punto de vista que parezcan paralelas

33
00:02:20,539 --> 00:02:25,819
se entiende perfectamente cuál es la distancia entre ellas

34
00:02:25,819 --> 00:02:28,340
o si la pongo que una de ellas parezca un punto

35
00:02:28,340 --> 00:02:33,360
pues también puedo hacerla con la azul o puedo hacerla con la roja

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00:02:33,360 --> 00:02:37,180
la distancia sería en perpendicular al azul

37
00:02:37,180 --> 00:02:42,340
la distancia que pase o que llegue hasta la recta roja

38
00:02:42,340 --> 00:02:50,199
¿De acuerdo? ¿Cómo se calcula la distancia entre dos rectas que se cruzan?

39
00:02:50,199 --> 00:03:02,900
Bueno, pues lo que vamos a hacer es utilizar la fórmula conocida de módulo del producto mixto de los vectores P, Q, U y V.

40
00:03:02,900 --> 00:03:14,139
Ahora diremos P es el punto de R1 y U es su vector director, Q es el punto de R2 y V es su vector director, dividido por el módulo del producto vectorial de U por V.

41
00:03:14,539 --> 00:03:32,819
Para eso lo que tenemos que hacer es primero el producto mixto, el vector PQ le vemos aquí claramente, 0, 1, 1, el vector U, el vector V, hacéis este determinante, sabéis hacerlo muy bien, y os dará 2.

42
00:03:32,900 --> 00:03:58,580
Ahora vamos con el denominador, pues hacemos el producto vectorial de u por v, me queda menos 2i más 2k, es decir, menos 2, 0, 2, y haciéndolo por Pitágoras, el módulo de un vector, da raíz de 8 o 2 raíz de 2, que he dividido el numerador 2 entre el denominador 2 raíz de 2, pues queda 1 partido raíz de 2,

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00:03:58,580 --> 00:04:05,620
o en decimal 0,71, que recordáis todos que era lo que nos había dicho GeoGebra.

44
00:04:06,180 --> 00:04:11,599
Muy bien, en general la gente se queda aquí, en la distancia entre los rectas que se cruzan,

45
00:04:11,759 --> 00:04:16,860
esta fórmula, lo has puesto en el examen de la EBAU y ya tienes un punto.

46
00:04:17,860 --> 00:04:21,420
Pero nosotros vamos a intentar entender esta fórmula.

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00:04:21,420 --> 00:04:32,399
El producto mixto en realidad lo que nos da es el volumen del paralel epípedo formado por las dos rectas

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00:04:32,399 --> 00:04:37,699
Mirar que la recta azul está sobre una de las aristas, la recta roja está sobre otra de las aristas

49
00:04:37,699 --> 00:04:41,800
Y el vector PQ es la tercera arista

50
00:04:41,800 --> 00:05:00,680
Vale, entonces tengo un paralelepípedo y aquí está un poco por debajo, pero bueno, se ve que esta es la base del paralelepípedo, que estaría formada por la recta roja y azul, las aristas de la recta roja y de la recta azul.

51
00:05:00,680 --> 00:05:15,779
Entonces, lógicamente, si yo divido el volumen del paralelepípedo, módulo del producto mixto, entre el área de la base, módulo del producto vectorial, pues me va a quedar la altura del paralelepípedo.

52
00:05:15,779 --> 00:05:29,079
Es como en el romboide, es el área entre la base me daría la altura siempre en perpendicular. Así que esta es la explicación de por qué esta es la fórmula de la distancia entre dos rectas que se cruzan.

53
00:05:29,079 --> 00:05:35,120
¿De acuerdo? Un concepto simplemente para que lo recordéis.

54
00:05:36,300 --> 00:05:48,240
Otra manera de hacerlo, y me va a servir este ejercicio para ello, es calcular la recta que es perpendicular a la roja y a la azul y las corta.

55
00:05:48,240 --> 00:06:00,480
Entonces, teniendo los dos puntos de corte de esa recta perpendicular, podría calcular también la distancia entre la recta roja y la recta azul, ¿de acuerdo?

56
00:06:00,480 --> 00:06:20,379
Para ello, por lo que vamos a hacer, aquí la tenéis, ahora explicamos cómo la hemos sacado, se ve perfectamente aquí que es perpendicular y que por tanto nos va a dar la altura del paraepípedo o en otras palabras la distancia entre las dos rectas.

57
00:06:20,379 --> 00:06:34,680
¿De acuerdo? Vamos a ver cómo lo hemos calculado. Pues con nuestro cuadernito haríamos la ecuación de, la vamos a dar esa recta negra como corte de dos planos.

58
00:06:34,680 --> 00:06:55,759
El primer plano va a ser un vector que tiene un punto que es el punto P, vamos a ver dónde está nuestra recta, el punto P, 0, 0, 0, por eso pongo X y Z, un plano, o sea, un vector director que es el 1, 1, 1, también de R1,

59
00:06:55,759 --> 00:07:16,759
Y el segundo vector, vamos a llamarle W, es el resultado de hacer el producto vectorial de Y por V, pero que en este caso ya lo tenemos hecho. Aquí le tenemos, menos 2, 0, 2, con lo cual es el tercer vector o la tercera línea que tengo que poner en ese determinante.

60
00:07:16,759 --> 00:07:22,720
determinante. Como todos sabéis de la ecuación de un plano en forma de determinante con un punto

61
00:07:22,720 --> 00:07:29,860
y dos vectores, pues lo igualo a cero y me sale este plano. 2x menos 4y más 2z igual a cero, que

62
00:07:29,860 --> 00:07:36,939
puedo simplificar, por supuesto, a x menos 2y más z igual a cero. Si ahora yo repito lo mismo, pero

63
00:07:36,939 --> 00:07:47,079
con el punto Q, 0, 1, 1, el vector V, menos 1, 1, menos 1, y el vector W del que hemos

64
00:07:47,079 --> 00:07:55,180
hablado antes, pues me sale esta matriz cuyo determinante igual a cero me da el plano X

65
00:07:55,180 --> 00:08:03,079
más 2Y más Z menos 3 igual a cero, si ya simplifico. Entonces, si yo, vais a ver, pinto

66
00:08:03,079 --> 00:08:14,720
esos dos planos, que son E y F, pues ahí está que la intersección de esos dos planos

67
00:08:14,720 --> 00:08:22,699
que acabo de decir nos proporciona la recta que une perpendicularmente las dos rectas

68
00:08:22,699 --> 00:08:31,639
azul y roja y por tanto nos servirá para calcular la distancia entre ellas. Vamos a

69
00:08:31,639 --> 00:08:38,960
ver lo que voy a hacer ahora es los puntos de corte que son de y aquí lo veis todavía mejor

70
00:08:38,960 --> 00:08:47,960
los puntos de corte de y de acuerdo y ahora si hago la distancia entre esos dos puntos de corte

71
00:08:47,960 --> 00:08:54,840
pues me vuelve a dar 0 71 por cierto como hemos hecho los puntos de corte que esto también me

72
00:08:54,840 --> 00:09:04,899
sirve para aprenderlo en papel. Bueno, pues lo que yo hago, primero, por cierto, he pasado

73
00:09:04,899 --> 00:09:16,139
la recta negra paramétrica, cogiendo un punto, que sería el 0, 3 cuartos, 3 medios, y un

74
00:09:16,139 --> 00:09:29,220
vector que sería el del producto vectorial de estos dos vectores de u y de vamos de los dos

75
00:09:29,220 --> 00:09:35,559
planos que hemos hecho y eso pues me arroja la recta esta negra esto es lo que estábamos diciendo

76
00:09:35,559 --> 00:09:45,379
nos perdáis perdonar 0 3 cuartos 3 medios que es el punto y el vector director es 1 0 menos 1 que

77
00:09:45,379 --> 00:09:52,679
Y como os he dicho, sale de hacer el producto vectorial de las dos ecuaciones de los dos planos.

78
00:09:53,299 --> 00:09:56,240
1 menos 2, 1, por 1, 2, 1.

79
00:09:58,100 --> 00:10:04,940
Vale. Por supuesto, no hace falta que os diga que 1, 0, menos 1 es el vector W.

80
00:10:05,639 --> 00:10:07,840
Lo único que le he dividido por menos 2.

81
00:10:08,919 --> 00:10:12,019
Bueno, ya tengo la recta R3. ¿Cómo hallo los cortes?

82
00:10:12,019 --> 00:10:15,679
Bueno, pues tendría que hacer el corte entre R1 y R3

83
00:10:15,679 --> 00:10:17,559
¿Cómo se hace el corte entre R1 y R3?

84
00:10:17,860 --> 00:10:20,159
Aunque aquí pone lambda, lambda y lambda

85
00:10:20,159 --> 00:10:23,519
Para hacer el corte entre dos rectas en cualquier ejercicio en particular

86
00:10:23,519 --> 00:10:26,419
Debéis coger lambda, mu y sigma

87
00:10:26,419 --> 00:10:28,299
Es decir, tres parámetros diferentes

88
00:10:28,299 --> 00:10:30,460
O abc o trs

89
00:10:30,460 --> 00:10:33,279
Lo de menos son las letras, evidentemente

90
00:10:33,279 --> 00:10:35,879
Entonces, para hacer el corte entre R1 y R3

91
00:10:35,879 --> 00:10:39,320
Pues igualo la coordenada x, la coordenada y y la coordenada z

92
00:10:39,320 --> 00:10:41,919
Eso lo he hecho aquí

93
00:10:41,919 --> 00:10:45,120
he igualado la coordenada x de r1 y r3

94
00:10:45,120 --> 00:10:48,200
de la coordenada y y la coordenada z

95
00:10:48,200 --> 00:10:50,200
que me sale aquí

96
00:10:50,200 --> 00:10:53,840
lo resuelvo y me dice que esto tiene solución

97
00:10:53,840 --> 00:10:55,840
es decir, se cortan, solo faltaba

98
00:10:55,840 --> 00:10:58,000
y para lambda tres cuartos

99
00:10:58,000 --> 00:11:00,279
con lo cual, si ahora en lambda meto tres cuartos

100
00:11:00,279 --> 00:11:03,360
me sale que el punto tres cuartos, tres cuartos, tres cuartos

101
00:11:03,360 --> 00:11:05,559
es uno de los puntos de corte

102
00:11:05,559 --> 00:11:07,759
si lo buscamos, qué casualidad

103
00:11:07,759 --> 00:11:10,299
el d es tres cuartos, tres cuartos, tres cuartos

104
00:11:10,299 --> 00:11:11,639
el punto d

105
00:11:11,639 --> 00:11:40,559
Si ahora lo repito entre r2 y r3, igualo también la coordenada x de r2 de r3, la coordenada y de r2 de r3 y la coordenada z de r2 de r3, lo resuelvo, me sale mu menos un cuarto, que me llevaría, perdonad, a, este sería la mu, 0 menos 1, 0 menos un cuarto, menos un cuarto,

106
00:11:40,559 --> 00:11:43,240
1 más 1 cuarto

107
00:11:43,240 --> 00:11:45,879
que muera menos 1 cuarto

108
00:11:45,879 --> 00:11:47,600
perdón, entonces sería 1 cuarto la x

109
00:11:47,600 --> 00:11:49,399
1 menos 1 cuarto

110
00:11:49,399 --> 00:11:50,279
3 cuartos

111
00:11:50,279 --> 00:11:52,820
y 1 más 1 cuarto

112
00:11:52,820 --> 00:11:53,639
5 cuartos

113
00:11:53,639 --> 00:11:56,080
es decir, 1 cuarto

114
00:11:56,080 --> 00:11:58,000
3 cuartos, 5 cuartos

115
00:11:58,000 --> 00:11:58,919
vamos a ver si es verdad

116
00:11:58,919 --> 00:12:02,460
y el punto es 1 cuarto, 3 cuartos, 5 cuartos

117
00:12:02,460 --> 00:12:03,519
muy bien

118
00:12:03,519 --> 00:12:06,440
si ahora hallo el segmento

119
00:12:06,440 --> 00:12:07,679
y la distancia pues me da

120
00:12:07,679 --> 00:12:09,480
como os decía el 0,71

121
00:12:09,480 --> 00:12:17,940
hay uno que equivale con lo que me dijo geogebra y con lo que allí bueno simplemente para que veáis

122
00:12:17,940 --> 00:12:22,919
otro tipo de ejercicio otra manera de hacerlo y sobre todo un ejercicio que cae también mucho en

123
00:12:22,919 --> 00:12:29,519
la bau que es calcular la recta perpendicular a dos rectas que se cruzan vale bueno pues ya

124
00:12:29,519 --> 00:12:37,039
hemos terminado el apartado 1 completamente para pasar al apartado 2 pues no tiene nada que ver

125
00:12:37,039 --> 00:12:43,659
con el 1, nos dan una recta S, la vamos a pintar, esta es la recta S, la vamos a ver

126
00:12:43,659 --> 00:12:52,980
aquí, 0, 2, 1, porque está en forma continua, cuidado porque aquí hay una trampa y el segundo

127
00:12:52,980 --> 00:12:58,279
término de la forma continua de la recta tiene la coordenada i negativa, lo cual como

128
00:12:58,279 --> 00:13:05,259
sabéis no puede ser, así que lo que hago es darle la vuelta, multiplicarlo por menos

129
00:13:05,259 --> 00:13:13,379
1 sería y menos 2 partido por menos 1 eso me hace que ver que claramente el punto es el 0 2 1 y el

130
00:13:13,379 --> 00:13:22,139
vector director el 1 menos 1 1 así que en realidad está la recta rosa cuidado con la trampa vale que

131
00:13:22,139 --> 00:13:27,240
no es normal que nos la pongan pero aquí nos la han puesto ahora quiero un plano perpendicular

132
00:13:27,240 --> 00:13:34,139
que pasa por el origen pues con 1 menos 1 1 yo sé que el plano tiene que ser x menos y más z

133
00:13:34,139 --> 00:13:47,700
Lo vamos a pintar, este plano rosa es x menos y más z, aquí están mis planos, x menos y más z igual a 0, porque tiene que pasar por el 0, 0, 0.

134
00:13:48,179 --> 00:13:58,799
Esto lo hemos podido construir con las coordenadas del vector director de la recta multiplicado por x menos un punto por el que pasara,

135
00:13:58,799 --> 00:14:01,620
Como pasa por el 0, 0, 0, pues por X, Y, Z.

136
00:14:02,320 --> 00:14:09,360
Y ya lo tengo, el plano perpendicular que me hablan aquí, que pasa por el origen y la recta.

137
00:14:09,460 --> 00:14:10,960
¿Cómo se obtiene el punto de corte?

138
00:14:11,360 --> 00:14:20,000
Bueno, pues ya sabéis que lo que hay que hacer para obtener el punto de corte es coger la recta en forma paramétrica y sustituirla por la X, la Y y la Z del plano.

139
00:14:20,000 --> 00:14:22,340
esta recta en forma paramétrica

140
00:14:22,340 --> 00:14:24,779
lambda, 2 menos lambda

141
00:14:24,779 --> 00:14:26,240
1 más lambda

142
00:14:26,240 --> 00:14:29,840
se mete en el plano

143
00:14:29,840 --> 00:14:32,759
me queda esta ecuación

144
00:14:32,759 --> 00:14:37,120
se resuelve, queda lambda a un tercio

145
00:14:37,120 --> 00:14:40,899
y si ya en esta recta

146
00:14:40,899 --> 00:14:41,899
meto lambda a un tercio

147
00:14:41,899 --> 00:14:44,320
me queda 0 más un tercio

148
00:14:44,320 --> 00:14:46,840
2 menos un tercio

149
00:14:46,840 --> 00:14:47,720
5 tercios

150
00:14:47,720 --> 00:14:51,100
y 1 más 1 tercio, 4 tercios

151
00:14:51,100 --> 00:14:56,320
o sea que hemos dicho que es 1 tercio, 5 tercios, 4 tercios

152
00:14:56,320 --> 00:14:58,039
el punto Z que buscamos

153
00:14:58,039 --> 00:15:01,620
1 tercio, 5 tercios, 4 tercios

154
00:15:01,620 --> 00:15:04,159
el punto Z que buscamos

155
00:15:04,159 --> 00:15:08,820
y ya tenemos el otro punto del ejercicio de la EBAU