1 00:00:02,160 --> 00:00:08,220 En este vídeo vamos a definir cómo calcular determinantes de orden n. 2 00:00:08,480 --> 00:00:12,960 En el vídeo anterior vimos cómo calculábamos determinantes de orden 2 y de orden 3. 3 00:00:13,119 --> 00:00:16,859 Ahora vamos a generalizar para calcular determinantes de cualquier orden. 4 00:00:17,679 --> 00:00:21,219 Lo primero de todo recordaremos el concepto de menor complementario. 5 00:00:22,160 --> 00:00:25,820 Añadiremos un nuevo concepto que es el concepto de adjunto. 6 00:00:25,820 --> 00:00:30,859 Y ya por fin podremos pasar a la definición general de determinante de orden n. 7 00:00:30,859 --> 00:00:40,520 Pues bien, partimos de una matriz de orden n. Recordad que el trabajar con determinantes solo tiene sentido si estamos trabajando con matrices cuadradas. 8 00:00:41,460 --> 00:00:49,719 Se definía el menor complementario de alfa sub i, que denotábamos con alfa sub j, de cualquier elemento a sub i, j de la matriz, 9 00:00:50,320 --> 00:00:57,179 como el determinante que se obtiene al suprimir todos los elementos de la fila i y de la columna j. 10 00:00:57,179 --> 00:01:06,819 fijaos que el menor complementario será un determinante de orden un grado menos que la matriz de partida 11 00:01:06,819 --> 00:01:12,239 recordad que por ejemplo cuando teníamos una matriz de orden 3 12 00:01:12,239 --> 00:01:16,640 el menor complementario de cada uno de los elementos era un determinante de orden 2 13 00:01:16,640 --> 00:01:18,439 siempre bajamos un grado 14 00:01:18,439 --> 00:01:24,200 se denomina adjunto del elemento a sub j de la matriz 15 00:01:24,200 --> 00:01:35,760 al menor complementario alfa y j precedido de un signo positivo o un signo negativo, según la posición que ocupa en la matriz. 16 00:01:36,379 --> 00:01:39,540 ¿Y cómo podemos decir si es positivo o negativo? 17 00:01:40,099 --> 00:01:49,299 Como ya vimos en el ejemplo de matrices de orden 3, decíamos que al menor complementario le precedíamos con un signo positivo 18 00:01:49,299 --> 00:01:56,379 si la suma del lugar de la fila y la columna que ocupa nos daba un número par positivo 19 00:01:56,379 --> 00:01:59,319 y si me daba un número impar negativo. 20 00:01:59,319 --> 00:02:08,599 Recordad ese esquema de signos alternos que teníamos más, menos, más, menos, más, menos, más, etc. 21 00:02:09,759 --> 00:02:18,599 y que eran los signos que iban a preceder al menor complementario dentro de la definición determinante de la matriz. 22 00:02:18,599 --> 00:02:32,000 Pues bien, repito, se denomina adjunto del elemento a sub ij al menor complementario alfa ij precedido de un signo positivo o negativo según sea por impar la suma de la fila y la columna. 23 00:02:32,000 --> 00:02:52,639 Se representa con a sub ij, en este caso la A en mayúscula, y se obtiene calculando a sub ij es el producto de una potencia de base menos 1 con exponente la suma de la fila y columna que ocupa por el menor complementario asocial que te está asociado, por el menor complementario alfa sub ij. 24 00:02:52,639 --> 00:03:05,300 A partir de ese concepto podemos definir el determinante de una matriz cuadrada como la suma de los elementos de una fila o columna cualquiera multiplicados por sus respectivos adjuntos. 25 00:03:06,300 --> 00:03:21,259 Por ejemplo, el determinante de esta matriz 3x3 yo lo puedo definir si lo desarrollo por la segunda columna como la suma de los productos de cada uno de sus elementos por su adjunto. 26 00:03:21,259 --> 00:03:34,680 Sería el primer elemento de esta segunda columna por su adjunto, el A12, el segundo elemento de la segunda columna por su adjunto, el A22 y el tercer elemento de la segunda columna por su adjunto. 27 00:03:34,680 --> 00:04:00,120 Fijaos aquí, es todo suma, no he hablado de suma alternada. ¿Por qué? Porque el signo me lo va a decir el adjunto. El signo me lo va a decir el adjunto. El adjunto, recordamos que acabamos de definir que es el producto del menor complementario precedido por un signo positivo o negativo. 28 00:04:00,120 --> 00:04:10,319 En este caso, por ejemplo, ¿qué signo llevaría precedido ese menor complementario? Pues si nos fijamos, la suma de la fila y la columna en lugar que ocupa este elemento es 3, número impar. 29 00:04:10,740 --> 00:04:19,579 Pues este menor complementario de este adjunto tendría y habría precedido un signo negativo. Acordaos, más, menos. Perfecto, ¿no? 30 00:04:20,879 --> 00:04:29,420 Y por supuesto, da igual la fila o la columna por las que desarrollemos el determinante porque siempre el resultado va a ser el mismo. 31 00:04:30,120 --> 00:04:43,839 Entonces, en general, el determinante de una matriz cuadrada de orden n lo vamos a definir para cualquier fila, pues como la suma del producto de los elementos de esa fila por sus adjuntos. 32 00:04:43,839 --> 00:04:52,319 Los elementos de la fila I son de la forma AI1, AI2, AI3, puntos suspensivos, AIN 33 00:04:52,319 --> 00:05:03,879 Los elementos de la fila J, si lo desarrollo por la columna J, pues los elementos de la columna J son el A1J, el A2J, A3J, etc. 34 00:05:04,300 --> 00:05:13,319 Por tanto, el determinante, si lo desarrollamos por la columna J, sería la suma de los productos de cada uno de sus elementos por sus adjuntos 35 00:05:13,319 --> 00:05:15,339 el primer elemento de la columna J 36 00:05:15,339 --> 00:05:17,740 por su adjunto, el segundo elemento de la columna J 37 00:05:17,740 --> 00:05:19,699 por su adjunto, el tercer elemento de la columna J 38 00:05:19,699 --> 00:05:21,279 por su adjunto, etc. 39 00:05:21,759 --> 00:05:24,220 Aquí, si lo desarrollamos por la fila I 40 00:05:24,220 --> 00:05:25,639 el primer elemento de la fila I 41 00:05:25,639 --> 00:05:28,060 por su adjunto, el segundo elemento de la fila I 42 00:05:28,060 --> 00:05:29,959 por su adjunto, el tercer elemento de la fila I 43 00:05:29,959 --> 00:05:31,199 por su adjunto, etc. 44 00:05:32,139 --> 00:05:34,079 Y la fila I, si la matriz es de orden N 45 00:05:34,079 --> 00:05:36,100 la I puede variar 46 00:05:36,100 --> 00:05:37,720 o sea, puedes coger cualquier fila 47 00:05:37,720 --> 00:05:39,100 desde la 1 hasta la N 48 00:05:39,100 --> 00:05:41,660 o puedes coger cualquier columna, es decir, la J 49 00:05:41,660 --> 00:05:47,879 va a variar desde la 1 hasta la n. Veamos un ejemplo. Vamos a calcular este determinante 50 00:05:47,879 --> 00:05:53,540 de la matriz de orden 4 desarrollándolas por una fila o una columna. Antes de ponerme 51 00:05:53,540 --> 00:05:58,420 a desarrollar y elegir lanzar cualquier fila o cualquier columna podemos observar que por 52 00:05:58,420 --> 00:06:05,519 ejemplo esta columna, la columna 3, está formada por dos ceros. Como el determinante 53 00:06:05,519 --> 00:06:12,300 lo hemos definido como el producto de los elementos de una fila o columna por sus adjuntos, 54 00:06:12,819 --> 00:06:18,720 si tengo elementos que son cero, ese sumando va a desaparecer, con lo cual el cálculo 55 00:06:18,720 --> 00:06:23,879 del determinante se va a ver reducido. Es decir, no cuesta nada antes de ponerse a desarrollar 56 00:06:23,879 --> 00:06:28,680 el determinante, echar un pequeño vistazo a cómo son los elementos del determinante 57 00:06:28,680 --> 00:06:34,180 y escoger la fila o columna que tenga mayor número de ceros, porque hará que ese cálculo 58 00:06:34,180 --> 00:06:37,139 sea más corto, más reducido. 59 00:06:37,779 --> 00:06:42,740 Entonces, en este caso, la columna que tiene mayor número de ceros es la tercera. 60 00:06:42,920 --> 00:06:44,759 Luego voy a desarrollar por la tercera columna. 61 00:06:46,279 --> 00:06:50,040 Pues bien, desarrollamos por la tercera columna y lo que haremos será multiplicar 62 00:06:50,040 --> 00:06:53,980 cada uno de los elementos de esa columna por su adjunto. 63 00:06:55,100 --> 00:06:57,779 Multiplicar por cero es cero, de sumando no lo ponemos. 64 00:06:58,600 --> 00:07:00,540 Siguiente elemento, el 2. 65 00:07:00,540 --> 00:07:17,100 Luego multiplicaríamos el 2 por su adjunto y su adjunto se obtiene como multiplicando una potencia de base menos 1 elevada a la suma del número de fila y número de columna que ocupa. 66 00:07:17,100 --> 00:07:22,720 está en la fila 2, columna 3, pues elevada a 2 más 3. 67 00:07:23,480 --> 00:07:28,980 Y por el menor complementario, que el menor complementario recordamos que era el determinante 68 00:07:28,980 --> 00:07:35,160 que resultaba de suprimir todos los elementos de la fila 2 y todos los elementos de la fila 3. 69 00:07:35,160 --> 00:07:40,939 Luego el determinante 1, 1, 3, menos 1, 2, 2, 1, 0, 1. 70 00:07:44,139 --> 00:07:58,959 Siguiente elemento de la tercera columna, el 6, luego más 6 por la potencia de base menos 1 elevada a la suma del índice que representa la fila que ocupa y su columna. 71 00:07:59,639 --> 00:08:12,879 Este elemento del 6 está en la fila 4, columna 3, pues elevado a 4 más 3 por su menor complementario, que es el determinante que resultaba de suprimir todos los elementos de la fila 4 y todos los elementos de la fila 3. 72 00:08:12,879 --> 00:08:18,639 Luego el 1, 1, 3, 0, menos 1, 1, menos 1, 2, 2. 73 00:08:21,360 --> 00:08:24,339 Ahora simplemente se trata de realizar estas operaciones. 74 00:08:25,160 --> 00:08:35,860 2 por menos 1 elevado a exponente impar, pues menos 2, colocamos el menos 2 por, y ahora recordamos la regla de Sarrus para calcular este determinante. 75 00:08:35,860 --> 00:09:05,840 Regla de Sarrus 76 00:09:05,860 --> 00:09:13,580 que están en la diagonal secundaria 1 por 2 y por 3, menos el producto de los elementos que están en la paralela diagonal secundaria 77 00:09:13,580 --> 00:09:22,200 con su vértice opuesto 0 por 2 y por 1, 0, y menos el producto de los elementos que están en la otra línea paralela a la diagonal secundaria, 78 00:09:22,679 --> 00:09:25,980 menos 1 por 1 y por 1, menos 1, menos 1. 79 00:09:25,980 --> 00:09:41,000 Ahora, trabajamos el segundo sumando. 6 por menos 1 elevado a una potencia, o sea, menos 1 elevado a exponente impar, menos 1, pues 6 por menos 1, menos 6, de ahí que pongamos este menos 6. 80 00:09:41,000 --> 00:10:09,019 Y ahora calculando este determinante por la regla de Sarrus, 1 por menos 1 por 2 menos 2, más 1 por 1 y por menos 1 menos 1, más 0 por 2 y por 3, 0, menos, menos 1 por menos 1 y por 3, menos 3, menos 0 por 1 y por 2, 0, y menos 2 por 1 y por 1, 2, menos 2. 81 00:10:11,000 --> 00:10:28,100 Realizamos las operaciones dentro del paréntesis, menos 2 por 2 más 2, 4, menos 6 menos 2 más 1 menos 1 y menos 6 por menos 2 menos 1 menos 3, menos 3 menos 6 y menos 2 menos 8. 82 00:10:28,580 --> 00:10:37,779 Jerarquía de operaciones, primero hacemos las multiplicaciones, menos 2 por menos 1, 2 y menos 6 por menos 8 más 48 en el determinante 50.