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00:00:00,000 --> 00:00:08,360
Hoy en la clase de geometría, vamos a ver parte de los aprendizajes referidos al estándar

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00:00:08,360 --> 00:00:13,780
325, que como sabes trata del cálculo de áreas y volúmenes de poliedros y cuerpos

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00:00:13,780 --> 00:00:19,000
redondos, y su aplicación para resolver problemas contextualizados.

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00:00:19,000 --> 00:00:23,800
En este vídeo vamos a centrarnos en áreas y volúmenes de poliedros.

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00:00:23,800 --> 00:00:27,800
Lo primero que haremos es ver este vídeo hasta el final y estar atento a todo lo que

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00:00:27,800 --> 00:00:29,720
se explica.

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00:00:29,720 --> 00:00:31,920
Puedes pararlo cuando quieras.

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00:00:31,920 --> 00:00:35,600
Y repetir las cosas que no entiendas a la primera.

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00:00:35,600 --> 00:00:39,320
Si te quedan dudas, recuérdalas o escríbelas.

10
00:00:39,320 --> 00:00:50,560
Y el próximo día, en clase, tendremos tiempo para preguntarlas, y hacer algunas actividades.

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00:00:50,560 --> 00:00:55,800
El geometría se llaman poliedros a aquellos cuerpos tridimensionales, formados por caras

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00:00:55,800 --> 00:00:57,280
planas.

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00:00:57,280 --> 00:01:00,160
Cada una de las caras es un polígono.

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00:01:00,160 --> 00:01:06,560
Por lo tanto, los poliedros, son los cuerpos geométricos delimitados por polígonos.

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00:01:06,560 --> 00:01:13,640
Excluyéndose de este concepto, los cuerpos redondos, que veremos en otro vídeo.

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00:01:13,640 --> 00:01:18,760
Para calcular el área de cualquier poliedro, debemos desarrollarlo en los diferentes polígonos

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00:01:18,760 --> 00:01:21,640
que forman cada una de sus caras.

18
00:01:21,640 --> 00:01:31,520
De modo que, el área total, será igual a la suma de las áreas de todas ellas.

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00:01:31,520 --> 00:01:36,720
En primer lugar, estudiaremos las áreas y volúmenes de los prismas.

20
00:01:36,720 --> 00:01:42,520
Como sabes, un prisma es un cuerpo geométrico formado por dos caras planas poligonales,

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00:01:42,520 --> 00:01:46,080
paralelas e iguales, que se llaman bases.

22
00:01:46,080 --> 00:01:50,480
Y tantas caras rectangulares como lados tiene cada base.

23
00:01:50,480 --> 00:01:56,560
Aun sean las bases, así tendremos prismas triangulares, rectangulares u ortoedros,

24
00:01:56,560 --> 00:02:00,800
pentagonales, hexagonales, etc.

25
00:02:00,800 --> 00:02:05,760
Para calcular el área de cualquier prisma recto, tenemos que desarrollarlo en los diferentes

26
00:02:05,760 --> 00:02:09,240
polígonos que forman cada una de sus caras.

27
00:02:09,240 --> 00:02:15,400
De forma que, el área total, será igual, a dos veces el área de la base, más el área

28
00:02:15,400 --> 00:02:19,760
de cada uno de los rectángulos que forman sus caras laterales.

29
00:02:19,760 --> 00:02:28,880
Recuerda, el área del rectángulo es el resultado de multiplicar su base por su altura.

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00:02:28,880 --> 00:02:34,360
En el caso del prisma hexagonal que aparece ahora en la imagen, si observamos su desarrollo

31
00:02:34,360 --> 00:02:39,360
plano, vemos que está formado por dos hexágonos y seis rectángulos.

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00:02:39,360 --> 00:02:44,400
Por lo que su área será dos veces el área del hexágono regular que forma sus bases,

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00:02:44,400 --> 00:02:51,920
más el área lateral, que está formada por rectángulos, cuya área acabamos de recordar.

34
00:02:51,920 --> 00:02:56,680
Por eso, conviene recordar también cómo se calcula el área de un polígono regular

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00:02:56,680 --> 00:02:59,240
con más de cuatro lados.

36
00:02:59,240 --> 00:03:02,640
Vamos a tomar como ejemplo un pentágono regular.

37
00:03:02,640 --> 00:03:08,360
Si triangulamos el pentágono, es decir, si lo descomponemos en triángulos, vemos que

38
00:03:08,360 --> 00:03:11,920
obtenemos cinco triángulos iguales entre sí.

39
00:03:11,920 --> 00:03:16,920
El área de cada uno de los triángulos, como ya sabéis, es la base por su altura

40
00:03:16,920 --> 00:03:18,560
dividido entre dos.

41
00:03:18,560 --> 00:03:23,680
Y si observáis en la imagen, la altura del triángulo se corresponde con la apotema

42
00:03:23,680 --> 00:03:24,960
del pentágono regular.

43
00:03:24,960 --> 00:03:31,200
Así, podemos decir que el área del pentágono es cinco veces la base por la apotema dividido

44
00:03:31,200 --> 00:03:32,200
entre dos.

45
00:03:32,200 --> 00:03:37,240
Y cinco veces la base, es el perímetro del pentágono.

46
00:03:37,240 --> 00:03:43,800
Por lo que, el área del pentágono es, finalmente, su perímetro por su apotema, dividido entre

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00:03:43,800 --> 00:03:45,400
dos.

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00:03:45,400 --> 00:03:50,480
Siendo esta expresión válida para calcular el área de cualquier polígono regular.

49
00:03:50,480 --> 00:03:56,000
En el caso de los prismas oblicuos, igualmente, el área total será igual a la suma de las

50
00:03:56,000 --> 00:03:59,960
áreas de las bases, más las caras laterales.

51
00:03:59,960 --> 00:04:07,520
Que en este caso, serán paralelogramos, que pueden ser no rectangulares.

52
00:04:07,520 --> 00:04:12,840
Recordaremos aquí, que el área de cualquier paralelogramo, es igual a la de un rectángulo

53
00:04:12,840 --> 00:04:14,320
con la misma base y altura.

54
00:04:14,320 --> 00:04:19,600
Tal, como puedes observar en la animación.

55
00:04:19,600 --> 00:04:25,760
Para calcular el volumen de cualquier prisma, tanto si son rectos, como si son oblicuos,

56
00:04:25,760 --> 00:04:31,360
tendrá que calcular el área de una de sus bases y multiplicarla por la altura del prisma.

57
00:04:31,360 --> 00:04:37,640
Seguidamente, vamos a ver cómo se calculan las áreas y los volúmenes de las pirámides.

58
00:04:37,640 --> 00:04:42,920
Una pirámide recta, es un poliedro formado por una base, que es un polígono regular

59
00:04:42,920 --> 00:04:47,280
con cualquier número de lados, y sus caras laterales.

60
00:04:47,280 --> 00:04:52,480
Que son triángulos isósceles e iguales entre sí, tantos como número de lados tiene la

61
00:04:52,480 --> 00:04:53,760
base.

62
00:04:53,760 --> 00:04:58,840
Todos los triángulos tienen un vértice común que es el vértice de la pirámide.

63
00:04:58,840 --> 00:05:04,240
Según el número de lados que tengan las bases, así tendremos pirámides triangulares,

64
00:05:04,240 --> 00:05:09,640
rectangulares, pentagonales, hexagonales, etc.

65
00:05:09,640 --> 00:05:15,520
En el caso de las pirámides oblicuas, igualmente están formadas por una base, que es un polígono

66
00:05:15,520 --> 00:05:22,040
regular, y sus caras laterales también serán triángulos, pero, en este caso, alguno de

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00:05:22,040 --> 00:05:24,880
ellos puede no ser isósceles.

68
00:05:24,880 --> 00:05:30,640
Para calcular el área de la pirámide, tenemos que observar el desarrollo plano de la misma.

69
00:05:30,640 --> 00:05:36,280
Así, el área total de la pirámide, será igual al área de la base, más el área de

70
00:05:36,280 --> 00:05:40,880
los triángulos que conforman sus caras laterales.

71
00:05:40,880 --> 00:05:46,880
Para calcular el área de un triángulo, conviene recordar, que con dos triángulos iguales,

72
00:05:46,880 --> 00:05:53,160
se forma un paralelogramo, cuya área, según hemos visto anteriormente, es su base por

73
00:05:53,160 --> 00:05:54,160
su altura.

74
00:05:54,160 --> 00:05:59,600
Así, tenemos que el área de uno solo de los triángulos, será la mitad del área

75
00:05:59,600 --> 00:06:01,520
del paralelogramo.

76
00:06:01,520 --> 00:06:05,720
Esto es, la mitad de la base por la altura.

77
00:06:05,720 --> 00:06:10,320
Obsérvese, que la altura de la pirámide no es la altura de los triángulos que forman

78
00:06:10,320 --> 00:06:15,880
sus caras laterales, sino que ésta sería la apotema de la pirámide.

79
00:06:15,880 --> 00:06:20,640
Partiendo de un prisma cuadrangular, podemos calcular el volumen de una pirámide que

80
00:06:20,640 --> 00:06:24,600
tenga la misma altura y la misma base que el prisma.

81
00:06:24,600 --> 00:06:30,160
Vamos a observar el vídeo para ver cuántas pirámides necesito hasta rellenar un prisma.

82
00:06:30,160 --> 00:06:37,040
Como ves, el volumen del prisma es, exactamente, tres veces el volumen de la pirámide.

83
00:06:37,040 --> 00:06:42,640
De modo que, si has estado atento, podrás deducir por ti mismo, cómo se calcula el

84
00:06:42,640 --> 00:07:08,800
volumen de una pirámide.

85
00:07:08,800 --> 00:07:14,200
El tronco de pirámide o pirámide truncada, es el poliedro que resulta de cortar una pirámide

86
00:07:14,200 --> 00:07:19,840
por un plano paralelo a la base, y separar la parte que contiene el vértice.

87
00:07:19,840 --> 00:07:24,960
Si observamos el desarrollo plano de una pirámide truncada, vemos que está formada por dos

88
00:07:24,960 --> 00:07:28,520
bases, que serán polígonos regulares.

89
00:07:28,520 --> 00:07:34,800
Y sus caras laterales son tantos trapecios y sósceles, como lados tienen sus bases.

90
00:07:34,800 --> 00:07:40,320
Por lo tanto, para calcular el área total del tronco de pirámide o pirámide truncada,

91
00:07:40,320 --> 00:07:44,840
habrá que sumar el área de las dos bases, más el área de los trapecios que forman

92
00:07:44,840 --> 00:07:47,800
sus caras laterales.

93
00:07:47,800 --> 00:07:51,360
Veamos cómo se calcula el área del trapecio.

94
00:07:51,360 --> 00:07:57,320
Como puedes ver en la animación, con dos trapecios iguales, se forma un paralelogramo,

95
00:07:57,320 --> 00:08:02,800
cuya área es, como hemos visto, el producto de su base por su altura.

96
00:08:02,800 --> 00:08:07,680
Siendo su base, la suma de las bases mayor y menor del trapecio.

97
00:08:07,680 --> 00:08:14,080
Por tanto, el área de uno de los trapecios, será la mitad del área del paralelogramo.

98
00:08:14,080 --> 00:08:20,320
Continuamos viendo cómo se calcula el volumen del tronco de pirámide, o pirámide truncada.

99
00:08:20,320 --> 00:08:25,520
Si observamos la imagen, llegamos a la conclusión de que el volumen del tronco de pirámide

100
00:08:25,520 --> 00:08:30,960
o pirámide truncada, será igual al volumen de la pirámide grande, menos el volumen de

101
00:08:30,960 --> 00:08:32,120
la pirámide pequeña.

102
00:08:32,120 --> 00:08:41,480
Seguidamente, veremos el área de los poliedros regulares, cuyas caras son triángulos equiláteros.

103
00:08:41,480 --> 00:08:43,320
Estos poliedros son.

104
00:08:43,320 --> 00:08:47,960
El tetraedro, cuyas cuatro caras son triángulos equiláteros.

105
00:08:47,960 --> 00:08:52,360
El octaedro, formado por ocho triángulos equiláteros.

106
00:08:52,360 --> 00:08:59,320
Y el icosaedro, que tiene 20 caras que son también triángulos equiláteros.

107
00:08:59,320 --> 00:09:04,440
El área del tetraedro, al estar formado por cuatro caras triangulares, será igual

108
00:09:04,440 --> 00:09:09,800
a cuatro veces el área del triángulo, que como ya sabes es la mitad de la base por su

109
00:09:09,800 --> 00:09:10,800
altura.

110
00:09:10,800 --> 00:09:16,040
Igualmente, el área del octaedro será ocho veces el área del triángulo equilátero

111
00:09:16,040 --> 00:09:17,040
que lo forma.

112
00:09:17,040 --> 00:09:23,800
Finalmente, el área del icosaedro, será 20 veces el área del triángulo equilátero

113
00:09:23,800 --> 00:09:27,360
que forma cada una de sus caras.

114
00:09:27,400 --> 00:09:30,560
Seguimos ahora con el hexaedro o cubo.

115
00:09:30,560 --> 00:09:33,600
Está formado por seis caras cuadradas.

116
00:09:33,600 --> 00:09:41,360
Por lo que el área total será, seis veces el área del cuadrado que las forman.

117
00:09:41,360 --> 00:09:46,120
El dodecaedro, está formado por doce pentágonos regulares.

118
00:09:46,120 --> 00:09:50,560
De modo que su área será doce veces el área del pentágono regular que forma cada una

119
00:09:50,560 --> 00:09:51,560
de sus caras.

120
00:09:57,360 --> 00:10:00,360
Subtítulos realizados por la comunidad de Amara.org