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00:00:00,000 --> 00:00:05,080
Hola, en este vídeo vamos a deducir un par de fórmulas para calcular la

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00:00:05,080 --> 00:00:10,680
distancia de un punto P a un plano. Esta distancia viene definida como la

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00:00:10,680 --> 00:00:17,360
longitud del segmento que une P con su proyección QP sobre el plano y que

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00:00:17,360 --> 00:00:20,720
sería este segmento que estamos representando aquí.

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00:00:20,720 --> 00:00:25,120
Sin embargo, para poder hallar esta distancia sin tener que hallar primero el

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00:00:25,120 --> 00:00:30,800
punto proyección partiremos de un punto cualquiera del plano, que es

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00:00:30,800 --> 00:00:36,520
fácil de hallar a partir de su ecuación, y formaremos el vector que le une con el

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00:00:36,520 --> 00:00:41,680
punto P cuya distancia al plano queremos calcular. En este caso estaríamos

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00:00:41,680 --> 00:00:47,160
hablando de este vector. La longitud de este vector variará en función del

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00:00:47,160 --> 00:00:53,520
punto P y en sí misma es más grande que la distancia punto plano, salvo que

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00:00:54,280 --> 00:00:58,480
tengamos la suerte tremenda de que nuestro punto elegido al azar coincida con la proyección.

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00:00:58,480 --> 00:01:03,480
Para no tener que preocuparnos por esto podemos observar lo siguiente.

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00:01:03,480 --> 00:01:09,160
Este vector que une el punto genérico P sub P con el punto P

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00:01:10,800 --> 00:01:15,880
puede proyectarse sobre la dirección ortogonal haciendo uso del vector

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00:01:15,880 --> 00:01:18,800
normal del plano.

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00:01:18,800 --> 00:01:26,240
La distancia de hecho coincide con esa proyección por el simple hecho

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00:01:26,240 --> 00:01:33,400
de que es un cateto de este triángulo que observamos aquí.

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00:01:33,400 --> 00:01:40,880
Bien, el resto es utilizar fórmulas ya conocidas. Sabemos que la proyección de

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00:01:40,880 --> 00:01:44,800
un vector sobre otro puede calcularse como el producto escalar de ambos

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00:01:44,800 --> 00:01:51,400
vectores partido por el módulo del vector sobre el que se proyecta. El valor

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00:01:51,400 --> 00:01:55,480
absoluto que aparece en el numerador de esta fórmula se debe a que el vector

22
00:01:55,480 --> 00:02:00,680
normal podría apuntar hacia abajo en este dibujo, es decir, en la dirección

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00:02:00,680 --> 00:02:08,360
contraria y entonces obtendríamos un valor negativo correspondiente a la

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00:02:08,360 --> 00:02:11,960
proyección en sentido contrario. Con este valor absoluto ese problema queda

25
00:02:11,960 --> 00:02:13,440
resuelto.

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00:02:13,440 --> 00:02:21,680
Bien, desarrollemos ahora recordando que el plano pues tendrá una ecuación

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00:02:21,680 --> 00:02:26,360
general de este tipo. El punto P tendrá unas coordenadas P sub X, P sub Y, P sub Z

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00:02:26,360 --> 00:02:33,840
y el punto genérico y variable sobre el plano tendrá las coordenadas X y Z.

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00:02:34,840 --> 00:02:43,160
Sustituyendo entonces en la ecuación anterior, pues tenemos este vector de

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00:02:43,160 --> 00:02:46,160
aquí.

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00:02:46,880 --> 00:02:51,920
Perdón, miremos el producto escalar que daría desarrollo de esta manera. El vector que une P sub Y con P

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00:02:51,920 --> 00:02:56,120
sería esa resta de coordenadas de puntos y el vector normal viene dado por los

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00:02:56,120 --> 00:03:00,120
coeficientes de las variables en la ecuación del plano.

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00:03:00,360 --> 00:03:04,960
Si ahora realizamos el producto escalar, obtendremos lo siguiente,

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00:03:08,200 --> 00:03:13,800
donde ya se han agrupado las cantidades negativas que salían. Puesto que el

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00:03:13,800 --> 00:03:19,320
punto P sub Y de coordenadas X y Z pertenece al plano, entonces ese

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00:03:19,320 --> 00:03:24,600
producto entre paréntesis AX más BI más CZ, según se deduce de la ecuación

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00:03:24,600 --> 00:03:28,280
del plano, tiene que ser exactamente igual a D.

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00:03:28,280 --> 00:03:33,400
Y por tanto todo ese paréntesis puede quedar sustituido por el coeficiente D.

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00:03:33,400 --> 00:03:40,040
Y esta es precisamente la ecuación, perdón, la fórmula de distancia de un

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00:03:40,040 --> 00:03:43,040
punto a un plano que utilizaremos en la práctica.