1
00:00:12,210 --> 00:00:17,769
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

2
00:00:17,769 --> 00:00:22,710
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

3
00:00:22,710 --> 00:00:28,050
de la unidad PR3 dedicada a las variables aleatorias discretas y la distribución binomial.

4
00:00:28,750 --> 00:00:35,380
En la videoclase de hoy resolveremos el ejercicio propuesto 2.

5
00:00:47,060 --> 00:00:52,960
En este ejercicio 2 se nos pide que consideremos una urna que contiene 4 bolas rojas y 6 bolas

6
00:00:52,960 --> 00:00:58,700
blancas, de las cuales se van a ir extrayendo tres sin reemplazamiento. Sin reemplazamiento

7
00:00:58,700 --> 00:01:02,899
quiere decir que cada vez que extraigamos una no vuelve otra vez dentro de la urna,

8
00:01:03,439 --> 00:01:08,480
así que la composición tras cada extracción va a ser distinta. Por ejemplo, al principio

9
00:01:08,480 --> 00:01:13,379
tendremos 10 bolas, cuando hayamos extraído la primera tendremos 9 y cuando hayamos extraído

10
00:01:13,379 --> 00:01:18,599
la segunda y vayamos a extraer la tercera tendremos únicamente 8. Se nos pide que describamos

11
00:01:18,599 --> 00:01:23,859
el espacio muestral del experimento aleatorio y que determinemos la imagen de la variable

12
00:01:23,859 --> 00:01:31,299
aleatoria x mayúscula que representa el número de bolas rojas extraídas. Para ello lo que vamos

13
00:01:31,299 --> 00:01:36,480
a hacer es construir un árbol con las tres extracciones. Vamos a representar r al suceso

14
00:01:36,480 --> 00:01:43,700
se extrae una bola roja y b se extrae una bola blanca. Vamos a anotar asimismo, igual que hacíamos

15
00:01:43,700 --> 00:01:49,760
en las unidades anteriores, las probabilidades en cada rama, de tal forma que tendremos el árbol,

16
00:01:49,980 --> 00:01:54,560
en cada nodo la probabilidad que corresponda y finalmente pondremos las hojas y la probabilidad

17
00:01:54,560 --> 00:01:59,760
final en cada hoja. Dado el espacio que tengo en la pantalla voy a tener que dividirlo en varias

18
00:01:59,760 --> 00:02:04,980
partes y lo primero que vamos a hacer es considerar el primer nivel del árbol. Aquí tenemos el nodo

19
00:02:04,980 --> 00:02:11,240
raíz, que está vacío, y una primera ramificación, donde, bueno, pues si tenemos bolas rojas y bolas

20
00:02:11,240 --> 00:02:17,080
blancas al extraer la primera puede que sea roja, puede que sea blanca. Con probabilidades que se

21
00:02:17,080 --> 00:02:21,560
calculan con la ley de Laplace, cuatro décimos en el caso de las bolas rojas, puesto que cuatro

22
00:02:21,560 --> 00:02:26,699
bolas rojas de un total de 10, seis décimos en el caso de las bolas blancas, puesto que hay seis

23
00:02:26,699 --> 00:02:31,919
bolas blancas de un total de 10. Y fijaos, como indicaba medio clases anteriores, la suma de estas

24
00:02:31,919 --> 00:02:38,699
dos probabilidades da 1, puesto que o bien es roja o bien es blanca. Vamos a continuar el árbol a

25
00:02:38,699 --> 00:02:44,240
partir del nivel en el cual la extracción de la primera bola es roja. Vamos a hacer

26
00:02:44,240 --> 00:02:51,099
la segunda y tercera extracciones. Partimos, como digo, de la primera bola extraída es

27
00:02:51,099 --> 00:02:57,400
roja y cuando vamos a extraer la segunda, o bien es roja o bien es blanca. Nos preguntamos

28
00:02:57,400 --> 00:03:00,979
cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea roja sabiendo que la primera también

29
00:03:00,979 --> 00:03:06,460
lo fue. Y nos preguntamos cuál es la probabilidad de que la segunda bola fuera blanca sabiendo

30
00:03:06,460 --> 00:03:11,759
que la primera fue roja. En este caso los denominadores, casos posibles en la ley de

31
00:03:11,759 --> 00:03:16,659
Laplace, son nueve, puesto que hemos extraído una bola nos quedan sólo nueve, de las cuales

32
00:03:16,659 --> 00:03:22,060
tres son rojas, por eso aquí tenemos tres en número de casos favorables, y seis son

33
00:03:22,060 --> 00:03:26,060
blancas, por eso tenemos aquí seis. Tres novenos más seis novenos es igual a uno.

34
00:03:27,740 --> 00:03:32,680
Cuando la primera bola extraída fue roja y la segunda también, a la hora de extraer

35
00:03:32,680 --> 00:03:38,159
la tercera nos podemos encontrar con que sea roja o sea blanca. La probabilidad de que la tercera bola

36
00:03:38,159 --> 00:03:43,979
sea roja, sabiendo que la primera lo fue y la segunda también, es dos octavos. Nos quedan dos

37
00:03:43,979 --> 00:03:50,340
bolas rojas de un total de ocho. La probabilidad de que la tercera bola extraída sea blanca, sabiendo

38
00:03:50,340 --> 00:03:55,439
que la primera fue roja y la segunda también, es seis octavos, puesto que nos quedan seis bolas

39
00:03:55,439 --> 00:04:02,300
blancas de un total de ocho bolas. Fijaos que está sumada una. Vamos a esta otra ramificación. La

40
00:04:02,300 --> 00:04:05,580
primera extracción nos dio una bola roja, la segunda extracción nos dio una bola

41
00:04:05,580 --> 00:04:10,319
blanca y ahora para la tercera o bien es roja o bien es blanca. La probabilidad de

42
00:04:10,319 --> 00:04:14,159
que la tercera bola sea roja, sabiendo que la primera fue roja y la segunda fue

43
00:04:14,159 --> 00:04:18,120
blanca, es tres octavos, puesto que nos quedan tres bolas rojas de un total de

44
00:04:18,120 --> 00:04:22,680
ocho. La probabilidad de que la tercera bola sea blanca, sabiendo que la primera

45
00:04:22,680 --> 00:04:26,459
fue roja y la segunda fue blanca, es cinco octavos, puesto que nos quedan cinco

46
00:04:26,459 --> 00:04:31,459
bolas blancas de un total de ocho bolas. Antes de continuar la discusión de

47
00:04:31,459 --> 00:04:38,160
A partir del caso blanca del primer nivel, aquí ya tenemos cuatro hojas y cuatro probabilidades que podemos escribir,

48
00:04:38,560 --> 00:04:43,759
teniendo en cuenta el principio de la multiplicación en los diagramas de árbol, lo que era la probabilidad compuesta.

49
00:04:45,079 --> 00:04:49,620
Aquí tenemos la hoja, la primera bola fue roja y la segunda fue roja y la tercera también.

50
00:04:50,180 --> 00:04:56,420
La probabilidad de este suceso, tenemos tres bolas rojas, es cuatro décimos por tres novenos por dos octavos.

51
00:04:56,500 --> 00:04:57,699
Aquí tenemos el resultado final.

52
00:04:58,680 --> 00:05:06,120
Aquí tenemos la hoja que corresponde con la primera bola extraída fue roja, la segunda también fue roja y la tercera fue blanca.

53
00:05:06,259 --> 00:05:07,319
Roja y roja y blanca.

54
00:05:07,939 --> 00:05:13,060
La probabilidad de esta hoja se calcula multiplicando 4 décimos por 3 novenos por 6 octavos.

55
00:05:13,439 --> 00:05:14,699
Aquí tenemos el resultado final.

56
00:05:16,100 --> 00:05:18,779
A partir de este caso, la primera bola extraída fue roja.

57
00:05:19,019 --> 00:05:25,699
Tenemos, aparte de las dos hojas que acabo de comentar, primera roja, segunda blanca y tercera roja con esta probabilidad.

58
00:05:25,699 --> 00:05:31,220
probabilidad, primera roja, segunda blanca y tercera también blanca con esta otra probabilidad.

59
00:05:32,139 --> 00:05:38,540
Tenemos que continuar el árbol a partir de esta primera ramificación en donde en la primera bola

60
00:05:38,540 --> 00:05:44,660
obtenemos una de color blanco. Aquí tenemos el resto del diagrama que se construye de una forma

61
00:05:44,660 --> 00:05:51,980
análoga a como he comentado el caso a partir de una bola roja. Una vez que he extraído una primera

62
00:05:51,980 --> 00:05:56,959
bola ya es blanca, la segunda puede ser roja o bien blanca y en cualquiera de estos casos la

63
00:05:56,959 --> 00:06:02,160
tercera bola extraída puede ser roja o puede ser blanca. Podéis comprobar como aquí tenemos las

64
00:06:02,160 --> 00:06:06,860
correspondientes probabilidades aplicando la ley de Laplace y aplicando el principio de multiplicación

65
00:06:06,860 --> 00:06:12,319
aquí tenemos las probabilidades de las cuatro hojas restantes que serían la primera bola fue

66
00:06:12,319 --> 00:06:18,259
blanca, la segunda y la tercera fueron rojas, la primera bola fue blanca, la segunda roja, la tercera

67
00:06:18,259 --> 00:06:24,360
blanca, la primera y la segunda bolas fueron blancas y la tercera fue roja, la primera, la segunda y la

68
00:06:24,360 --> 00:06:31,360
tercera todas las bolas son blancas. Aquí tenemos en estos cuatro y estos otros cuatro, un total de

69
00:06:31,360 --> 00:06:38,399
ocho casos, los sucesos del espacio muestral. ¿Qué se nos pedía? Describe el espacio muestral del

70
00:06:38,399 --> 00:06:43,860
experimento aleatorio. Ahora se nos pide además que determinemos la imagen de la variable aleatoria.

71
00:06:43,860 --> 00:06:47,920
La variable aleatoria lo que hace es contar el número de bolas rojas extraídas.

72
00:06:49,379 --> 00:06:54,100
Cuando tenemos el suceso primera bola roja y segunda bola roja y tercera bola roja,

73
00:06:54,540 --> 00:06:59,579
la variable aleatoria que cuenta el número de bolas rojas nos va a decir 3, puesto que aquí hay 3 bolas rojas.

74
00:07:00,540 --> 00:07:06,220
Cuando tenemos el suceso primera bola roja y segunda bola roja y tercera bola blanca,

75
00:07:06,439 --> 00:07:11,420
la variable aleatoria nos va a devolver el valor 2, puesto que aquí tenemos solo 2 bolas rojas.

76
00:07:11,420 --> 00:07:15,740
aquí que tenemos primera roja, segunda blanca y tercera roja

77
00:07:15,740 --> 00:07:17,439
la variable aleatoria va a devolver 2

78
00:07:17,439 --> 00:07:22,139
aquí que tenemos primera roja, segunda blanca y tercera blanca

79
00:07:22,139 --> 00:07:24,160
la variable aleatoria va a devolver 1

80
00:07:24,160 --> 00:07:25,560
hay una única bola roja

81
00:07:25,560 --> 00:07:31,060
aquí que tenemos primera bola blanca, segunda y tercera rojas

82
00:07:31,060 --> 00:07:32,000
nos va a devolver 2

83
00:07:32,000 --> 00:07:36,079
aquí que tenemos primera bola blanca, segunda roja y tercera blanca

84
00:07:36,079 --> 00:07:37,279
nos va a devolver 1

85
00:07:37,279 --> 00:07:41,399
aquí que tenemos las dos primeras bolas blancas y la tercera roja

86
00:07:41,399 --> 00:07:50,839
Nos va a devolver 1. Y aquí que tenemos que las tres bolas son blancas, primera blanca y segunda blanca y tercera blanca, la variable aleatoria nos va a devolver 0.

87
00:07:51,600 --> 00:08:02,459
Así pues, la imagen de la variable aleatoria está formada por los valores 0, 1, 2 y 3. Un total de cuatro elementos posibles en la imagen de esta variable aleatoria.

88
00:08:02,459 --> 00:08:12,980
Por eso, esta variable aleatoria es discreta. Hay un conjunto finito, podría haber sido infinito o numerable, pero en este caso hay un conjunto finito de valores posibles que devuelve la variable aleatoria.

89
00:08:13,560 --> 00:08:28,360
Fijaos que a la variable aleatoria x yo le doy como entrada un suceso del espacio muestral, cualquiera de todos estos, y ella me va a devolver un número, en este caso un número natural, el resultado de contar, porque me lo han dicho, es el enunciado, el número de bolas rojas.

90
00:08:28,360 --> 00:08:37,129
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios

91
00:08:37,129 --> 00:08:41,970
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web

92
00:08:41,970 --> 00:08:47,590
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual

93
00:08:47,590 --> 00:08:49,490
Un saludo y hasta pronto