1
00:00:00,430 --> 00:00:09,449
Vamos a intentar afianzar el concepto de matriz inversa, que como os he dicho en clase, es uno de los conceptos más importantes y que vamos a necesitar muchísimo.

2
00:00:10,449 --> 00:00:14,750
Porque siempre cae en el examen el calcular en algún momento dado una matriz inversa.

3
00:00:15,390 --> 00:00:19,269
Para ello os expliqué primero los conceptos de menor complementario y de adjunto.

4
00:00:19,910 --> 00:00:23,350
Entonces, bueno, os he puesto aquí las definiciones de tal y como vienen en el libro, ¿vale?

5
00:00:23,370 --> 00:00:26,390
Y es sobre las que vamos a basarnos un poco.

6
00:00:26,390 --> 00:00:28,789
¿Qué era un menor complementario de una matriz?

7
00:00:28,910 --> 00:00:30,570
O sea, del elemento A y J

8
00:00:30,570 --> 00:00:33,329
Pues es el determinante de la matriz que obtenemos

9
00:00:33,329 --> 00:00:35,350
Al suprimir la fila y la columna

10
00:00:35,350 --> 00:00:38,109
En la que está el elemento S A y J

11
00:00:38,109 --> 00:00:41,509
Os recuerdo que el primer número que aparece

12
00:00:41,509 --> 00:00:44,750
La I es las filas y la J es la columna

13
00:00:44,750 --> 00:00:49,630
Y ese menor correspondiente se representa por M mayúscula y J

14
00:00:49,630 --> 00:00:53,229
Entonces vamos a suponer, por ejemplo, que tenemos la matriz A

15
00:00:53,229 --> 00:00:57,009
Voy a poner una 3x3, ¿vale? Para que sea un poquito más complicado

16
00:00:57,009 --> 00:00:59,469
Menos 1, 0, 2

17
00:00:59,469 --> 00:01:03,229
Menos 2, 1, 3

18
00:01:03,229 --> 00:01:05,349
0, no sé

19
00:01:05,349 --> 00:01:07,709
4 menos 1, ¿vale?

20
00:01:08,769 --> 00:01:10,469
Y queremos calcular, por ejemplo

21
00:01:10,469 --> 00:01:13,909
El menor 3, 1

22
00:01:13,909 --> 00:01:16,609
¿Quién va a ser el menor 3, 1?

23
00:01:16,909 --> 00:01:19,290
Bueno, pues el menor 3, 1 es el determinante

24
00:01:19,290 --> 00:01:22,010
Que obtenemos cuando quitamos la fila 3

25
00:01:22,010 --> 00:01:39,049
Y la columna 1, ¿vale? ¿Y qué me queda? Pues es el determinante, 0, 1, 2, 3, calculamos por Sarrus, 0 por 3 es 0, menos, 1 por 2 es 2, pues este menor sería menos 2.

26
00:01:39,049 --> 00:01:45,250
¿Quién sería, por ejemplo, el menor 2, 3?

27
00:01:46,430 --> 00:01:52,629
Pues a ver, sería ahora, voy a cambiar a otro color, por ejemplo el amarillo

28
00:01:52,629 --> 00:01:59,370
Sería fila, elimino fila 2, columna 3

29
00:01:59,370 --> 00:02:03,269
¿Y qué me queda?

30
00:02:03,790 --> 00:02:08,110
Pues quitamos solamente lo que está en amarillo y me queda menos 1, 0

31
00:02:08,110 --> 00:02:09,669
0, 4

32
00:02:09,669 --> 00:02:12,050
¿Y este cuánto sería?

33
00:02:12,189 --> 00:02:13,569
Por Sarrus, menos 1 por 4

34
00:02:13,569 --> 00:02:15,710
Menos 4, menos 0

35
00:02:15,710 --> 00:02:18,310
Bueno, además aquí podemos aplicar

36
00:02:18,310 --> 00:02:19,569
Las propiedades de los determinantes

37
00:02:19,569 --> 00:02:21,069
Porque es una matriz

38
00:02:21,069 --> 00:02:24,330
O sea, es un determinante de orden 2

39
00:02:24,330 --> 00:02:26,370
Y por lo tanto lo podemos entender

40
00:02:26,370 --> 00:02:28,169
Como que es triangular también, o escalar

41
00:02:28,169 --> 00:02:30,430
Y por lo tanto, escalar no, diagonal

42
00:02:30,430 --> 00:02:32,229
Por lo tanto es el producto de la diagonal

43
00:02:32,229 --> 00:02:33,189
Que sería menos 4

44
00:02:33,189 --> 00:02:36,449
Entonces, bueno, pues con esto ya habríamos calculado

45
00:02:36,449 --> 00:02:38,009
Unos ejemplos de lo que eran los menores

46
00:02:38,009 --> 00:02:41,650
¿A qué llamábamos adjunto de un elemento a y j de la matriz?

47
00:02:42,009 --> 00:02:45,770
Pues es, digamos que es trabajar con el menor correspondiente

48
00:02:45,770 --> 00:02:49,129
Pero que le ponemos delante un signo más o menos

49
00:02:49,129 --> 00:02:51,430
¿Ese signo de dónde va a salir?

50
00:02:51,770 --> 00:02:54,250
Pues de la suma de la fila y la columna

51
00:02:54,250 --> 00:02:56,090
Dependiendo de si va a ser par o impar

52
00:02:56,090 --> 00:02:58,710
Tenemos aquí la fórmula

53
00:02:58,710 --> 00:03:01,990
Que era menos 1 elevado a y más j

54
00:03:01,990 --> 00:03:03,289
Porque lo que hacemos es sumar

55
00:03:03,289 --> 00:03:06,610
Entonces, ya que hemos calculado esos dos menores

56
00:03:06,610 --> 00:03:20,270
Vamos a calcular los adjuntos correspondientes. ¿Quién sería el adjunto 3,1? Pues no sería otra cosa que poner menos 1 elevado a 3 más 1 por el menor correspondiente 3,1.

57
00:03:21,009 --> 00:03:33,409
Como el exponente es 4, el signo me queda más, luego esto sería más el valor del menor 3,1 que lo hemos calculado aquí arriba, que sería menos 2 más menos 2, pues sería directamente menos 2.

58
00:03:33,409 --> 00:03:43,569
¿Quién sería el adjunto 2, 3? Pues menos 1 elevado a 2 más 3 por el menor 2, 3.

59
00:03:44,909 --> 00:03:57,650
En este caso 3 y 2 son 5, menos 1 elevado a un número impar a 5 da menos y el valor del menor 2, 3 era menos 4, luego es menos menos 4, es decir 4.

60
00:03:58,509 --> 00:04:02,169
Y esto sería simplemente los conceptos de menores y de adjuntos.

61
00:04:02,169 --> 00:04:04,430
¿Nosotros qué es lo que íbamos a necesitar?

62
00:04:04,909 --> 00:04:06,409
Necesitábamos la matriz adjunta

63
00:04:06,409 --> 00:04:08,689
¿La matriz adjunta cuál es?

64
00:04:08,889 --> 00:04:10,710
Pues es la matriz que se obtiene al sustituir

65
00:04:10,710 --> 00:04:13,889
Cada elemento de la matriz por el adjunto correspondiente

66
00:04:13,889 --> 00:04:15,009
¿Vale?

67
00:04:15,409 --> 00:04:18,230
Es decir, ahora sí que la voy a hacer mejor de orden 2

68
00:04:18,230 --> 00:04:19,949
Vamos a coger una matriz de orden 2

69
00:04:19,949 --> 00:04:23,470
Aunque bueno, lo podríamos hacer directamente

70
00:04:23,470 --> 00:04:26,550
Pero bueno, si yo supongo que tenemos la matriz

71
00:04:26,550 --> 00:04:29,170
Menos 1, pero para que el vídeo no sea demasiado largo

72
00:04:29,170 --> 00:04:29,370
¿Vale?

73
00:04:29,410 --> 00:04:30,990
Menos 1, 4, 2, 3

74
00:04:30,990 --> 00:04:37,170
y quiero calcular la matriz adjunta, la adjunta de A.

75
00:04:38,310 --> 00:04:46,490
El truquito que yo os dije es que lo primero, como la matriz adjunta simplemente es como si fueran todos los menores con un signo,

76
00:04:47,050 --> 00:04:52,290
yo lo que suelo hacer primero, para que no se me olvide poner el signo, es ponerlo inicialmente.

77
00:04:52,850 --> 00:04:55,910
Yo sé que el primer elemento, que es el 1,1, siempre va a ser positivo.

78
00:04:55,910 --> 00:05:01,689
y a partir de él voy a poner los siguientes alternando si el primero es positivo o el siguiente es negativo

79
00:05:01,689 --> 00:05:08,529
ya que el primero suma 2 y el siguiente suma 3 y a partir de él, el de abajo también sería menos

80
00:05:08,529 --> 00:05:14,490
y por lo tanto aquí el que me queda es más, ya sé que algunos me decís pues para qué

81
00:05:14,490 --> 00:05:18,589
pero eso es una, para que lo vamos a hacer tal, yo simplemente porque me resulta más sencillo

82
00:05:18,589 --> 00:05:23,209
porque ahora lo único que hago es calcular menores y no tengo que estar pensando en los signos

83
00:05:23,209 --> 00:05:29,709
Los he puesto un poco juntos y no me he dejado mucho espacio para poner los números

84
00:05:29,709 --> 00:05:34,589
¿Vale? Si fuera de orden 3, aquí pondríamos un más, aquí pondríamos un menos

85
00:05:34,589 --> 00:05:37,069
Aquí pondríamos un más, un menos y un más

86
00:05:37,069 --> 00:05:38,470
¿Vale? Y así con todo

87
00:05:38,470 --> 00:05:42,050
Pero en este caso la tenemos de orden 2

88
00:05:42,050 --> 00:05:44,230
¿Y ahora qué es lo único que tendríamos que hacer?

89
00:05:44,230 --> 00:05:45,670
Pues los adjuntos correspondientes

90
00:05:45,670 --> 00:05:52,870
Os recuerdo lo sencillo que era hacerlo en una matriz 2x2

91
00:05:52,870 --> 00:06:01,110
El primer elemento, pues tendríamos que poner, es el menor 1,1 y es tachar primera fila, primera columna.

92
00:06:01,470 --> 00:06:03,769
¿Qué número me queda simplemente? El 3.

93
00:06:05,050 --> 00:06:15,149
En el segundo, ¿qué hacemos? Tachamos, a ver que no me sale el cursor, primera fila, segunda columna, que me queda el 2.

94
00:06:15,149 --> 00:06:20,360
Ahora vamos al elemento 2, 1

95
00:06:20,360 --> 00:06:25,100
Pues tacho segunda fila, primera columna

96
00:06:25,100 --> 00:06:26,699
Y el que me queda es el 4

97
00:06:26,699 --> 00:06:31,079
Y el último, el elemento 2, 2

98
00:06:31,079 --> 00:06:33,600
Tacho segunda fila, segunda columna

99
00:06:33,600 --> 00:06:36,240
Y me queda el elemento menos 1

100
00:06:36,240 --> 00:06:36,860
¿Vale?

101
00:06:38,339 --> 00:06:40,420
Y así solo he tenido que calcular menores

102
00:06:40,420 --> 00:06:42,079
Los signos ya los había puesto antes

103
00:06:42,079 --> 00:06:45,360
Si que es cierto que ahora la vuelvo a escribir para poner bien los signos

104
00:06:45,360 --> 00:06:47,699
Puedo poner más 3 o simplemente 3

105
00:06:47,699 --> 00:06:50,240
menos 2, menos 4

106
00:06:50,240 --> 00:06:52,040
y aquí me queda más menos 1

107
00:06:52,040 --> 00:06:53,259
así que menos 1

108
00:06:53,259 --> 00:06:56,579
y esta sería la matriz adjunta

109
00:06:56,579 --> 00:06:58,160
que bueno

110
00:06:58,160 --> 00:07:00,240
aquí estoy poniendo poco a poco tal y como viene

111
00:07:00,240 --> 00:07:01,920
en el libro ¿vale? pero luego ya veremos

112
00:07:01,920 --> 00:07:04,399
porque lo necesitábamos, aunque ya os lo expliqué en clase

113
00:07:04,399 --> 00:07:05,740
a ver

114
00:07:05,740 --> 00:07:08,360
¿cuál es la definición de la matriz

115
00:07:08,360 --> 00:07:10,560
inversa? os recuerdo

116
00:07:10,560 --> 00:07:12,240
que os dije en clase ¿quién era el inverso

117
00:07:12,240 --> 00:07:14,160
de 3? no es menos 3

118
00:07:14,160 --> 00:07:15,680
es un tercio ¿verdad?

119
00:07:15,680 --> 00:07:23,160
porque es a elevado a menos 1, entonces la matriz inversa es aquella matriz al que al multiplicarla por ella misma

120
00:07:23,160 --> 00:07:31,379
lo que obtenemos es la identidad y aunque os dije que, aunque os dije no, sabemos que el producto de matrices no es conmutativo

121
00:07:31,379 --> 00:07:41,000
pero en el caso de la matriz inversa me da igual multiplicar a por a menos 1 que a menos 1 por a, en ambos casos me tiene que dar la identidad

122
00:07:41,660 --> 00:07:45,939
Esta sería la definición de la matriz inversa, o sea, lo que tiene que verificar.

123
00:07:46,220 --> 00:07:47,899
¿Yo cómo os definí la matriz inversa?

124
00:07:47,939 --> 00:07:51,319
Que es lo que pone aquí el cálculo práctico de la matriz inversa,

125
00:07:51,379 --> 00:07:54,360
que fue por lo que yo, o sea, por lo que hemos calculado todo lo demás.

126
00:07:54,759 --> 00:07:58,519
Pues porque tenemos aquí la fórmula, pero porque en el fondo,

127
00:07:58,519 --> 00:08:04,420
la matriz inversa no es otra cosa que uno partido por el determinante de A

128
00:08:04,420 --> 00:08:09,379
por la traspuesta de la matriz adjunta.

129
00:08:11,000 --> 00:08:32,039
Esta es la fórmula, por eso necesitábamos conocer la matriz adjunta que es lo que hemos calculado antes, el determinante ya lo sabemos y lo que es una matriz traspuesta también, entonces lo que viene debajo en el libro que también os lo comenté, que lo empecé diciendo, bueno voy poniendo todo que lo otro son como casos prácticos, propiedades también que se tienen.

130
00:08:32,980 --> 00:08:38,039
¿Cuándo va a existir la matriz inversa? Pues a ver, por lógica, lo que vimos en clase.

131
00:08:38,460 --> 00:08:46,379
Si me están pidiendo calcular el determinante, pues para calcular un determinante sabemos que la matriz tiene que ser cuadrada,

132
00:08:47,120 --> 00:08:52,039
porque si no, no existe el determinante, pues es lo primero que tenemos aquí, ¿verdad?

133
00:08:52,460 --> 00:08:58,580
Es decir, la matriz tiene que ser cuadrada para que se pueda hallar el determinante, es lo primero que tenemos que tener claro.

134
00:08:58,580 --> 00:09:03,620
Y luego, ¿qué ocurre? Que aquí el determinante está dividiéndose.

135
00:09:04,159 --> 00:09:10,159
Luego, para que se pueda dividir, el determinante tiene que ser distinto de 0, ¿vale?

136
00:09:10,159 --> 00:09:11,120
Que es lo que tenemos ahí.

137
00:09:11,600 --> 00:09:17,379
Se ha quedado un poquito feo, pero bueno, yo creo que más o menos, no sé si lo puedo borrar, vamos a probar.

138
00:09:17,840 --> 00:09:18,960
Sí, ¿vale?

139
00:09:21,220 --> 00:09:25,340
Entonces, para calcular una matriz, lo primero que siempre vamos a hacer es calcular su determinante.

140
00:09:25,559 --> 00:09:27,679
¿Qué es distinto de 0? Existe.

141
00:09:27,679 --> 00:09:29,980
Y entonces ya nos ponemos a calcular lo demás.

142
00:09:30,019 --> 00:09:36,179
No me pongo a calcular la adjunta porque si luego resulta que el determinante es cero, hemos trabajado tontamente.

143
00:09:36,879 --> 00:09:45,200
¿Vale? Y antes de hacer un ejemplo de cómo calcular la matriz inversa, a ver, os pongo aquí algunas de las propiedades que también es importante.

144
00:09:45,960 --> 00:09:57,440
Lo primero, a ver, vamos a ver con este. Matriz regular. Me desaparece el cursor aquí, pero no sé por qué no está.

145
00:09:57,440 --> 00:10:01,340
Matriz regular, una matriz irregular o invertible si tiene inversa

146
00:10:01,340 --> 00:10:03,639
¿Vale? Estos son conceptos que tenemos que saber

147
00:10:03,639 --> 00:10:06,580
Se va a llamar matriz regular, aquí está

148
00:10:06,580 --> 00:10:10,220
Matriz regular o invertible si tiene inversa

149
00:10:10,220 --> 00:10:12,779
Estos son los conceptos que necesitáis conocer

150
00:10:12,779 --> 00:10:17,639
Matriz singular, la que no tiene inversa

151
00:10:17,639 --> 00:10:23,480
Y la matriz ortogonal es aquella en la que su inversa coincide con su traspuesta

152
00:10:23,480 --> 00:10:25,500
¿Esto para qué es necesario?

153
00:10:25,500 --> 00:10:31,279
Pues a ver, simplemente porque en algún momento os vais a encontrar ejercicios que os digan, comprueba si la matriz A es regular.

154
00:10:32,299 --> 00:10:37,700
Si no sabéis que una matriz regular es la que tiene inversa, pues no podréis hacer el ejercicio.

155
00:10:38,200 --> 00:10:43,179
Y sobre todo para aquellos que vayáis a la APAU, a la EBAU, hay veces que lo suelen poner así.

156
00:10:43,799 --> 00:10:46,399
Y luego, dos propiedades muy importantes que tenemos aquí.

157
00:10:46,679 --> 00:10:49,840
Esta primera, la propiedad de la matriz inversa.

158
00:10:50,240 --> 00:10:53,580
La inversa de un producto es el producto de las inversas.

159
00:10:53,580 --> 00:10:59,899
Muy sencillo, pero ojo, no es tan sencillo como yo estaba diciéndolo

160
00:10:59,899 --> 00:11:08,379
A ver, lo que acabo de decir es la inversa de un producto, he dicho que es el producto de las inversas

161
00:11:08,379 --> 00:11:13,940
Pero al revés, si aquí es A por B, aquí es B menos 1 por A menos 1

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00:11:13,940 --> 00:11:17,600
Ojo con esto, ¿vale? Que el producto no es conmutativo

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00:11:17,600 --> 00:11:30,860
Y luego, por la definición también del concepto de matriz inversa y de las propiedades de los determinantes, el determinante de la matriz inversa es el inverso del determinante de A.

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00:11:32,700 --> 00:11:38,679
Entonces estas son las propiedades que tenemos que sabernos, por lo menos las tenemos que conocer.

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00:11:38,679 --> 00:11:41,200
voy a dejar este vídeo para que no se alargue

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00:11:41,200 --> 00:11:42,919
simplemente lo voy a parar ya

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00:11:42,919 --> 00:11:44,059
como si fuera simplemente

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00:11:44,059 --> 00:11:46,820
la teoría de cómo calcular la inversa

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00:11:46,820 --> 00:11:48,799
y ahora hago un único vídeo

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00:11:48,799 --> 00:11:50,159
calculando la inversa