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00:00:01,649 --> 00:00:12,310
Vamos a resolver el problema de selectividad de la PAU 2016, septiembre, modelo B, ejercicio 3, que tenemos aquí.

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00:00:13,330 --> 00:00:23,449
Y es un ejercicio bastante sencillo de cálculo del volumen de un tetraedro, en el que los cuatro puntos que tiene el tetraedro serán el origen de coordenadas

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00:00:23,449 --> 00:00:29,890
y los puntos de intersección de un plano que pasa por estos tres puntos con cada uno de los ejes coordenados.

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00:00:29,890 --> 00:00:45,890
Lo primero que vamos a hacer es pintar los tres puntos A, B y C que les tenemos aquí y ahora para hallar las coordenadas del plano que los contiene, o sea, la ecuación del plano que lo contiene, pues simplemente resolvemos este determinante.

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00:00:45,890 --> 00:00:53,590
determinante, donde hemos puesto en la primera fila las coordenadas de x y z menos el punto

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00:00:53,590 --> 00:01:01,070
a, en la segunda fila hemos puesto las coordenadas del vector a b, es decir, b menos a, y en

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00:01:01,070 --> 00:01:07,870
la tercera fila las coordenadas del vector a c, es decir, c menos a. Resolvemos ese determinante

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00:01:07,870 --> 00:01:14,670
y nos sale la ecuación del plano. Como todos los coeficientes que salen son pares, pues

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00:01:14,670 --> 00:01:20,430
hemos decidido dividirlo todo por 2 para que salga más sencillo. Si utilizamos la herramienta

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00:01:20,430 --> 00:01:28,549
de GeoGebra, plano que pasa por 3 puntos, pues rápidamente nos pintaría el plano de

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00:01:28,549 --> 00:01:34,689
una manera más sencilla, como vemos coincide la ecuación con la nuestra, vemos que los

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00:01:34,689 --> 00:01:42,209
3 puntos están sobre dicho plano, poniéndolo así, y entonces se ve perfectamente. Ahora

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00:01:42,209 --> 00:02:07,920
Ahora lo que vamos a hacer, lógicamente, es pintar el punto 0, 0, 0, que es el P1, los puntos A, B y C ya no los vamos a necesitar, ni siquiera el plano tampoco, bueno, el plano lo vamos a dejar hasta que hayamos los puntos de corte, porque a ojímetro se pueden ver, ¿vale?

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00:02:07,920 --> 00:02:22,919
Y, como decíamos, vamos a calcular los puntos de corte añadiendo a nuestro plano las coordenadas del eje X, que son el corte de los planos Y0 y Z0.

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00:02:24,060 --> 00:02:34,060
Entonces nos sale este sistema de ecuaciones, que si le decimos al ordenador que no lo resuelva, pues da menos medio 0,0, que lo añadiremos aquí como el punto P2.

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00:02:34,060 --> 00:02:46,099
Ahora añadimos el eje Y, resolvemos y el punto 0, menos 1, 0 lo añadimos como P3

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00:02:46,099 --> 00:02:56,819
Seguimos añadiendo el eje Z ahora y resolvemos y el punto 0, 0, 1 tercio le añadimos como P4

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00:02:57,240 --> 00:03:02,000
Ahora que ya tengo los 4 puntos, pues es momento de quitar ya el plano

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00:03:02,000 --> 00:03:08,740
y podemos hacer para que se vea mucho mejor, pues ampliar que se vean los cuatro puntos.

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00:03:08,740 --> 00:03:16,919
El 0, 0, 0, menos un medio 0, 0, 0, menos uno 0 y 0, 0, un tercio.

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00:03:18,280 --> 00:03:21,860
Simplemente ahora construyo el tetraedro para que le veáis, ahí está,

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00:03:22,620 --> 00:03:30,120
y su volumen, lo vamos a hacer en cas, será un sexto del determinante del producto mixto,

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00:03:30,120 --> 00:03:38,020
del determinante de los vectores P1, P2, P1, P3 y P1, P4.

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00:03:38,319 --> 00:03:45,240
Lo bueno que tiene es que como P1 es 0, 0, 0, en realidad son las coordenadas de P2, P3 y P4 los vectores,

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00:03:45,879 --> 00:03:51,199
lo que nos facilita claramente hacer el determinante, que encima sale diagonal.

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00:03:51,199 --> 00:03:55,680
el determinante sale un sexto y dividido otra vez por seis

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00:03:55,680 --> 00:04:01,159
pues sale que el volumen es un treinta y seisavo de la unidad cúbica

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00:04:01,159 --> 00:04:04,000
si hubiéramos construido un cubo de unidad uno

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00:04:04,000 --> 00:04:07,159
pues nos habría cabido treinta y seis como esto

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00:04:07,159 --> 00:04:09,919
y así hemos terminado el ejercicio