1
00:00:02,540 --> 00:00:06,320
Bueno, vamos a considerar ahora el siguiente ejercicio.

2
00:00:07,000 --> 00:00:12,240
Tenemos tres vectores, el vector u de componentes menos 3, 0,

3
00:00:13,800 --> 00:00:20,399
el vector v de componentes 1, menos 2,

4
00:00:21,660 --> 00:00:26,899
y el vector w de componentes menos 7, 2.

5
00:00:26,899 --> 00:00:30,160
La pregunta que os hago es

6
00:00:30,160 --> 00:00:35,399
¿Estos tres vectores son linealmente dependientes o independientes?

7
00:00:36,240 --> 00:00:39,799
Fijaros que en el vídeo anterior hemos visto una forma muy sencilla

8
00:00:39,799 --> 00:00:44,280
de ver si dos vectores eran linealmente dependientes o independientes

9
00:00:44,280 --> 00:00:50,920
Simplemente bastaba con ver si existía proporcionalidad entre sus componentes o no

10
00:00:50,920 --> 00:00:56,799
Por ejemplo, si yo cojo el vector u y el vector v

11
00:00:56,799 --> 00:01:06,219
y hago la proporción entre sus componentes, diríamos menos tres es a uno, como cero es a menos dos.

12
00:01:07,019 --> 00:01:15,700
Vemos que esta proporción no se cumple, con lo cual estos dos vectores serían linealmente independientes.

13
00:01:16,959 --> 00:01:19,439
Y gráficamente veríamos que tienen distinta dirección.

14
00:01:19,439 --> 00:01:29,340
Si ahora por ejemplo cogemos el vector v y el vector w y hacemos lo mismo

15
00:01:29,340 --> 00:01:38,500
Vemos la proporcionalidad entre las componentes, diríamos 1 es a menos 7 como menos 2 es a 2

16
00:01:38,500 --> 00:01:42,680
Entonces vemos aquí también, duplicando en cruz, no da lo mismo

17
00:01:42,680 --> 00:01:45,659
No hay proporcionalidad entre las componentes

18
00:01:45,659 --> 00:01:54,680
Eso significa que los vectores son linealmente independientes también, es decir, tienen distinta dirección el v y el w.

19
00:01:55,560 --> 00:02:01,959
Y por último nos faltaría considerar la última pareja, que sería el vector u con el w.

20
00:02:02,620 --> 00:02:11,379
Si consideramos el vector u y el vector w, y hacemos la proporción,

21
00:02:11,379 --> 00:02:16,000
menos 3 es a menos 7 como 0 es a 2

22
00:02:16,000 --> 00:02:18,560
veríamos que tampoco se cumple la proporción

23
00:02:18,560 --> 00:02:23,199
esos dos vectores también serían linealmente independientes entre sí

24
00:02:23,199 --> 00:02:30,259
¿Significa eso que el conjunto formado por los tres es linealmente independiente?

25
00:02:30,699 --> 00:02:35,419
Pues vamos a ver que siempre que tengamos tres vectores en V2

26
00:02:35,419 --> 00:02:42,199
siempre vamos a tener que los vectores son linealmente dependientes

27
00:02:42,199 --> 00:02:49,780
y eso vamos a verlo con la definición que hemos visto de vectores linealmente dependientes

28
00:02:49,780 --> 00:02:54,620
es decir, yo tengo que hacer una combinación lineal de los tres en este caso

29
00:02:54,620 --> 00:03:06,479
estoy llamando con las letras griegas alfa, beta y gamma a los escalares

30
00:03:06,479 --> 00:03:11,039
Formamos esa combinación lineal

31
00:03:11,039 --> 00:03:18,180
Y lo que tenemos que ver ahora es si alfa, beta y gamma son necesariamente nulos

32
00:03:18,180 --> 00:03:21,159
Con lo cual serían linealmente independientes

33
00:03:21,159 --> 00:03:25,840
O no necesariamente nulos, con lo cual serían linealmente dependientes

34
00:03:25,840 --> 00:03:35,460
Vamos a resolverlo resolviendo el sistema de ecuaciones

35
00:03:35,460 --> 00:03:39,960
Donde las incógnitas van a ser los escalares

36
00:03:39,960 --> 00:03:51,659
Igual al vector nulo

37
00:03:51,659 --> 00:03:58,080
Es decir, alfa por el vector de componentes menos 3, 0

38
00:03:58,080 --> 00:04:04,080
más beta, otro escalar, por el vector v de componentes 1, menos 2

39
00:04:04,080 --> 00:04:11,000
más gamma, el escalar gamma, por w que es el vector de componentes menos 7, 2

40
00:04:11,000 --> 00:04:15,659
Formada esta combinación lineal e igualada al vector nulo

41
00:04:15,659 --> 00:04:20,720
Vamos a ver cómo resulta el sistema

42
00:04:20,720 --> 00:04:34,920
vamos a escribirlo ya directamente, la primera ecuación fijaros que sería menos 3 alfa más beta menos 7 gamma igual a 0

43
00:04:34,920 --> 00:04:52,100
y la segunda ecuación sería, esto se me haría 0, menos 2 beta más 2 gamma.

44
00:04:56,269 --> 00:05:02,689
Bueno, en este sistema de esta segunda ecuación si dividimos todo por 2 por ejemplo

45
00:05:02,689 --> 00:05:05,750
me quedaría que menos beta más gamma es igual a 0

46
00:05:05,750 --> 00:05:09,649
es decir, que gamma y beta toman el mismo valor

47
00:05:09,649 --> 00:05:13,850
Bien, y sustituyendo en esta otra ecuación

48
00:05:13,850 --> 00:05:21,899
como gamma es lo mismo que beta

49
00:05:21,899 --> 00:05:25,860
pues pondríamos menos 7 beta igual a 0

50
00:05:25,860 --> 00:05:32,000
es decir, menos 3 alfa menos 6 beta es igual a 0

51
00:05:32,000 --> 00:05:40,060
menos 3 alfa es igual a 6 beta

52
00:05:40,060 --> 00:05:43,839
alfa sería igual a menos 2 beta

53
00:05:43,839 --> 00:05:53,300
Fijaros que en este caso vemos que efectivamente si gamma vale 0

54
00:05:53,300 --> 00:05:58,120
si gamma vale 0, pues entonces beta también valdría 0

55
00:05:58,120 --> 00:06:01,459
y alfa también valdría 0

56
00:06:01,459 --> 00:06:07,420
Pero ¿es la única posibilidad para que esta combinación lineal

57
00:06:07,420 --> 00:06:11,980
de los vectores igualado a vector nulo se cumpla?

58
00:06:11,980 --> 00:06:23,180
Pues no, porque si cogemos por ejemplo que gamma vale 1, pues beta valdría 1 también y alfa valdría menos 2.

59
00:06:24,019 --> 00:06:32,600
O sea que no hay una única solución para este sistema, hay infinitas soluciones.

60
00:06:32,600 --> 00:06:44,620
Con lo cual los vectores u, v y w son linealmente dependientes.

61
00:06:44,959 --> 00:06:54,259
A pesar que tomados de dos en dos habíamos visto que eran vectores linealmente independientes.

62
00:06:58,689 --> 00:07:01,990
La conclusión de este ejemplo que acabamos de ver es la siguiente.

63
00:07:01,990 --> 00:07:08,129
En V2, si tenemos dos vectores U y V que sean linealmente independientes

64
00:07:08,129 --> 00:07:16,329
y añadimos un tercer vector W, el conjunto formado por los tres va a ser linealmente dependiente

65
00:07:16,329 --> 00:07:22,089
Y eso nos lleva a otra conclusión interesante y es que cualquier vector W

66
00:07:22,089 --> 00:07:26,790
vamos a poder escribirlo como combinación lineal de U y de V

67
00:07:26,790 --> 00:07:29,670
Fijaros, la demostración es sencilla

68
00:07:29,670 --> 00:07:37,930
Si los tres vectores son LD, significa que al formar una combinación lineal de los tres

69
00:07:37,930 --> 00:07:45,449
e igualarlo al vector nulo, vamos a ver que no necesariamente los tres escalares tienen que ser nulos

70
00:07:45,449 --> 00:07:49,490
Supongamos que por ejemplo gamma es distinto de cero

71
00:07:49,490 --> 00:08:06,680
Podemos dividir toda esta ecuación por gamma, despejar w

72
00:08:06,680 --> 00:08:18,379
y efectivamente el resultado es el que habíamos dicho.

73
00:08:18,660 --> 00:08:27,170
Es decir, vamos a poder escribir W como un número, un escalar,

74
00:08:30,069 --> 00:08:42,200
K1 por el vector U, más otro escalar, que vamos a llamar K2, por el vector V.

75
00:08:42,200 --> 00:08:59,769
En el ejemplo que veíamos antes, con los tres vectores u de componentes menos 3, 0,

76
00:09:00,909 --> 00:09:10,409
v de componentes 1, menos 2, y w de componentes menos 7, 2,

77
00:09:13,159 --> 00:09:19,940
vimos que, por ejemplo, u y v eran linealmente independientes

78
00:09:19,940 --> 00:09:37,710
y que si consideramos u, v y w, el conjunto de los tres ya formaban un conjunto linealmente dependiente.

79
00:09:38,110 --> 00:09:39,289
¿Eso qué significa?

80
00:09:40,070 --> 00:09:52,490
Por lo que hemos dicho antes, significa que w lo voy a poder expresar como combinación lineal de u y de u.

81
00:09:52,490 --> 00:10:03,129
Efectivamente, vamos a coger las componentes de cada uno

82
00:10:03,129 --> 00:10:06,009
W es menos 7, 2

83
00:10:06,009 --> 00:10:14,929
Esto tiene que ser igual a alfa por el vector u

84
00:10:14,929 --> 00:10:16,669
menos 3, 0

85
00:10:16,669 --> 00:10:19,090
más otro escalar

86
00:10:19,090 --> 00:10:23,669
por el vector v de componentes 1, menos 2

87
00:10:23,669 --> 00:10:25,929
Si hacemos las operaciones

88
00:10:25,929 --> 00:10:30,250
menos 7 tiene que ser igual a menos 3 alfa

89
00:10:30,250 --> 00:10:32,970
más beta

90
00:10:32,970 --> 00:10:42,320
Y 2 tiene que ser igual a alfa por 0, que me da 0, menos 2 beta

91
00:10:42,320 --> 00:10:49,519
Si resolvemos este sistema, de aquí sacamos que beta vale menos 1

92
00:10:49,519 --> 00:10:57,960
Y de la primera ecuación, sustituyendo este valor de beta obtenido

93
00:10:57,960 --> 00:11:07,429
Resulta que alfa tiene que ser igual a 2

94
00:11:07,429 --> 00:11:23,990
Es decir, que W lo podremos expresar como 2U menos V.