1 00:00:01,260 --> 00:00:13,640 Bueno, tras haber detectado errores en este ejercicio, voy a hacer un vídeo explicando qué es lo que hay que hacer para poder estudiar según los valores de M el rango de la matriz. 2 00:00:13,919 --> 00:00:23,420 Esta matriz, lo primero que tenemos que fijar en su dimensión, una matriz 3x4, por lo tanto tiene 3 filas, 4 columnas, y eso implica que el rango máximo va a ser 3. 3 00:00:23,420 --> 00:00:31,859 Os recuerdo que en una matriz rectangular el rango máximo va a estar definido por el número menor entre las filas y las columnas. 4 00:00:32,000 --> 00:00:36,320 En este caso, como tenemos tres filas y cuatro columnas, pues el rango máximo va a ser 3. 5 00:00:37,380 --> 00:00:42,500 Vamos a estudiar ahora si el rango, por lo tanto, puede ser 0, 1 o 2. 6 00:00:42,640 --> 00:00:49,299 Vemos que no es una matriz nula, por lo tanto, no va a ser rango 0. 7 00:00:49,299 --> 00:01:10,099 Y para ello, ¿cómo se demuestra? Pues nosotros cogemos cualquier elemento que no sea 0. Por ejemplo, yo me he ido al elemento a 1, 1, pero nos podríamos haber ido al elemento 3, 1 o al elemento 3, 3, donde vemos que si yo cojo el elemento a 1, 1, que es el 1, yo hago su determinante, me da también 1 y es distinto de 0. 8 00:01:10,099 --> 00:01:28,299 Yo ya puedo decir que no es la matriz nula, por lo tanto, el rango mínimo es 1, es decir, hasta aquí, yo lo único que puedo decir de la matriz A, que su rango puede ser 1, 2 o 3 y descartado el 0, recordemos que la única matriz que tiene rango 0 es aquella que es la matriz nula. 9 00:01:28,299 --> 00:01:50,040 Si ahora nos vamos a cualquier menor de orden 2, yo he cogido la primera columna y la tercera columna y muy importante aquí, es decir, si yo cojo de la primera columna la primera fila y la segunda fila, de esa tercera columna también tengo que coger esa primera fila y esa segunda fila. 10 00:01:50,040 --> 00:01:54,099 Por lo tanto, mi menor es el 1, 2, 1, 3. 11 00:01:54,439 --> 00:01:59,659 Si yo hago el determinante y yo tengo, como es en este caso, que es distinto de 0, vale 1, 12 00:02:00,099 --> 00:02:03,640 yo ya puedo decir que el mínimo rango de mi matriz es 2. 13 00:02:03,719 --> 00:02:09,919 ¿Por qué? Porque tengo un menor de orden 2 dentro de la matriz, cuyo determinante es 0. 14 00:02:09,919 --> 00:02:15,879 Y eso implica que el rango ya no es ni 0, como ya sabíamos por no ser la matriz nula, 15 00:02:15,879 --> 00:02:22,060 ni uno, puesto que hay un menor de orden 2 cuyo determinante es distinto de 0. 16 00:02:22,840 --> 00:02:26,979 La única posibilidad del rango es que sea o 2 o 3. 17 00:02:27,460 --> 00:02:31,039 Entonces, aquí lo que tenemos que ver son todas las posibilidades 18 00:02:31,039 --> 00:02:38,439 de cuántos menores de orden 3 podemos formar con una matriz 3x4. 19 00:02:38,840 --> 00:02:43,000 Fijaros que como yo quiero coger menores de orden 3x3, 20 00:02:43,000 --> 00:02:48,759 tengo que coger las tres filas, sí o sí, sin embargo, de las cuatro columnas yo tengo que coger tres. 21 00:02:48,900 --> 00:02:54,139 No sé si recordáis esto, pero esto es combinatoria, es decir, el típico problema que nos dicen 22 00:02:54,139 --> 00:02:59,860 si tenemos cuatro alumnos, ¿cuántos grupos de tres personas podemos hacer? 23 00:02:59,960 --> 00:03:04,860 Pues esto se hace con combinatoria, que es el número combinatorio 4 sobre 3 que se aplica a esta fórmula 24 00:03:04,860 --> 00:03:06,819 y me da que hay cuatro posibilidades. 25 00:03:06,819 --> 00:03:16,759 Esas cuatro posibilidades son formar un menor con las columnas 1, 2 y 3, con las columnas 1, 2 y 4, con las columnas 2, 3 y 4 y con las columnas 1, 3 y 4. 26 00:03:17,300 --> 00:03:24,319 Comencemos el primer caso en el cual cogemos el menor de orden 3 formado por la primera, segunda y tercera columna que es esta matriz de aquí. 27 00:03:24,620 --> 00:03:33,939 Si yo hallo el determinante, aquí es muy importante porque lo que voy a intentar, en vez de aplicar la regla de Sarru, voy a intentar hacer una matriz triangular. 28 00:03:33,939 --> 00:03:37,599 al triangular esta matriz 29 00:03:37,599 --> 00:03:39,900 voy a hacer ceros en la primera columna 30 00:03:39,900 --> 00:03:42,400 por lo tanto como referencia a la primera fila 31 00:03:42,400 --> 00:03:44,300 y aquí sí que es súper importante 32 00:03:44,300 --> 00:03:49,780 como yo voy a hacer un cero aquí 33 00:03:49,780 --> 00:03:51,960 pues puedo hacerlo de dos formas 34 00:03:51,960 --> 00:03:54,580 restando a la fila 1 la fila 2 35 00:03:54,580 --> 00:03:57,020 o restandole a la fila 2 la fila 1 36 00:03:57,020 --> 00:03:58,620 como ya estamos en determinante 37 00:03:58,620 --> 00:04:01,319 no podemos hacer que la fila 2 38 00:04:01,319 --> 00:04:03,280 esté multiplicada por un número negativo 39 00:04:03,280 --> 00:04:10,699 Por lo tanto, la única posibilidad es, para hacer un 0 en el elemento A21, es que restemos la segunda fila a la primera. 40 00:04:10,900 --> 00:04:13,020 Y entonces ya obtenemos esto de aquí. 41 00:04:13,479 --> 00:04:15,680 Igualmente pasa con el F3. 42 00:04:15,780 --> 00:04:19,699 Para hacer un 0 en el elemento A31, nosotros tenemos dos posibilidades. 43 00:04:19,959 --> 00:04:24,160 Dos veces F1 menos F3 o F3 menos 2F1. 44 00:04:24,259 --> 00:04:29,220 Como estamos en determinante, no podemos multiplicar nuestras filas por un número negativo. 45 00:04:29,399 --> 00:04:32,699 Lo suyo es hacer la fila 3 menos dos veces fila 1. 46 00:04:32,699 --> 00:04:38,259 Recordemos que si yo multiplico por un número negativo mi fila, el determinante cambia de signo. 47 00:04:38,839 --> 00:04:45,199 Entonces ya una vez que tengo aquí formados los ceros, puedo observar que tengo dos filas que son exactamente iguales. 48 00:04:45,259 --> 00:04:54,680 Aquí aprovecho para recordaros que hay una propiedad de los determinantes, que cuando una matriz está formada por dos filas o dos columnas iguales, pues el determinante es cero. 49 00:04:54,680 --> 00:05:02,120 y también la propiedad que dice que si una matriz está formada por filas o columnas 50 00:05:02,120 --> 00:05:06,000 que son combinación lineal de otras filas o columnas, el determinante es cero. 51 00:05:06,319 --> 00:05:13,399 Por lo tanto, si yo intento seguir triangulando al hacer cero en el elemento a3,2, 52 00:05:13,620 --> 00:05:16,459 yo lo que tengo que hacer es la fila 3 menos la fila 2, importante. 53 00:05:16,620 --> 00:05:20,500 Como quiero hacer un cero en la segunda columna, cojo como referencia la segunda fila. 54 00:05:20,500 --> 00:05:23,040 puedo hacer aquí dos cosas 55 00:05:23,040 --> 00:05:24,459 f2 menos f3 pero 56 00:05:24,459 --> 00:05:26,959 nosotros elegimos f3 menos f2 57 00:05:26,959 --> 00:05:29,040 porque recordemos que a nuestra 58 00:05:29,040 --> 00:05:30,759 fila que es donde queremos hacer el cero 59 00:05:30,759 --> 00:05:32,959 no podemos multiplicarlo por número negativo 60 00:05:32,959 --> 00:05:35,019 por lo menos, por lo tanto la única opción 61 00:05:35,019 --> 00:05:36,879 es fila 3 menos la fila 2, yo lo hago 62 00:05:36,879 --> 00:05:38,899 y aquí ya se ve claramente 63 00:05:38,899 --> 00:05:41,019 que tengo una fila 64 00:05:41,019 --> 00:05:42,680 de ceros por lo tanto mi determinante 65 00:05:42,680 --> 00:05:44,819 es cero, esta matriz también es 66 00:05:44,819 --> 00:05:46,899 rectangular, perdona es triangular 67 00:05:46,899 --> 00:05:49,000 entonces sería la multiplicación 68 00:05:49,000 --> 00:05:51,339 de los elementos de la diagonal 69 00:05:51,339 --> 00:05:52,819 principal, por lo tanto 70 00:05:52,819 --> 00:05:54,680 1 por m menos 1 por 0 71 00:05:54,680 --> 00:05:57,060 puede ser 0, por lo tanto, en este caso 72 00:05:57,060 --> 00:05:58,839 de este menor de orden 3 formado por la 73 00:05:58,839 --> 00:06:00,779 primera y segunda y tercera columna 74 00:06:00,779 --> 00:06:02,860 independientemente del valor de m 75 00:06:02,860 --> 00:06:04,160 su rango es 2 76 00:06:04,160 --> 00:06:06,899 ¿esto qué es lo que quiere decir? ¿que ya tengo que parar? 77 00:06:07,079 --> 00:06:08,579 no, tengo que seguir 78 00:06:08,579 --> 00:06:09,779 con los demás 79 00:06:09,779 --> 00:06:12,920 menores de orden 3 80 00:06:12,920 --> 00:06:14,680 porque puede ocurrir que para 81 00:06:14,680 --> 00:06:17,019 alguno de ellos el rango sea 3 82 00:06:17,019 --> 00:06:18,660 por lo tanto ahora nos vamos 83 00:06:18,660 --> 00:06:25,720 a la posibilidad de coger un menor de orden 3 formado por la primera columna, segunda 84 00:06:25,720 --> 00:06:32,860 columna, cuarta columna. Igual, exactamente igual. Hago un 0 en la primera columna, por 85 00:06:32,860 --> 00:06:37,959 lo tanto, como referencia a la primera fila. No puedo poner en negativo la fila donde yo 86 00:06:37,959 --> 00:06:43,540 quiero hacer el 0. Me queda esto de aquí. Y aquí, al querer hacer un 0 en este elemento 87 00:06:43,540 --> 00:06:48,839 de aquí, como está en la segunda columna, como referencia a la segunda fila, mi tercera fila no 88 00:06:48,839 --> 00:06:54,439 puede estar multiplicada por un número negativo, con lo cual la única posibilidad es que f3 sea 89 00:06:54,439 --> 00:07:00,439 f3 menos f0. Y ahora aquí, si nos fijamos, tenemos una matriz triangular, es decir, una matriz 90 00:07:00,439 --> 00:07:07,540 triangular es aquella que tiene ceros por debajo o por encima de la diagonal principal, y lo bueno 91 00:07:07,540 --> 00:07:13,220 de tener el determinante de una matriz triangular es que el determinante es la multiplicación de 92 00:07:13,220 --> 00:07:19,120 los elementos de la diagonal. Por lo tanto, sería 1 por m menos 1 por m, es decir, m por m menos 1. 93 00:07:19,360 --> 00:07:25,420 Cuando yo tengo dos números multiplicando lo igual a 0, la única posibilidad es que cada uno de los 94 00:07:25,420 --> 00:07:33,860 factores sea 0. Por lo tanto, aquí tengo m menos 1 igual a 0, por lo tanto, m es igual a 1, o m igual a 0, 95 00:07:33,939 --> 00:07:39,319 por lo tanto, m es 0. ¿Por qué lo es igual a 0? Porque yo lo que quiero distinguir es aquellos valores 96 00:07:39,319 --> 00:07:47,019 que me hacen 0, el determinante que son 0 o 1 y por lo tanto el rango de A124 sería 2 97 00:07:47,019 --> 00:07:55,759 y si la M es distinta de 0 y distinta de 1, entonces el rango de esta matriz 124 sería 3. 98 00:07:56,699 --> 00:08:02,240 Si yo terminara aquí, lo único que puedo decir, como en el primer caso independientemente del valor de M 99 00:08:02,240 --> 00:08:09,100 el rango era 2, pues yo aquí diría que si la M es 0 o 1, el rango de A es 2, 100 00:08:09,100 --> 00:08:13,480 pero si la M es distinto de 0 o distinto de 1, pues entonces el rango es 3. 101 00:08:13,560 --> 00:08:17,720 Pero como me quedan todavía los casos 2, 3, 4 y 1, 3, 4, tengo que proseguir. 102 00:08:18,180 --> 00:08:27,120 Voy ahora a la matriz formada por el menor de orden 3 compuesto por la columna 2, 3 y 4. 103 00:08:27,220 --> 00:08:30,920 Igual procedo exactamente igual, este es un caso un poquito más complicado. 104 00:08:30,920 --> 00:08:39,620 lo que voy a hacer es, como tengo la tercera columna, un 0 y un 1 y un m más 1, este elemento a3, 3 lo voy a hacer 0. 105 00:08:39,759 --> 00:08:43,480 ¿Para qué? Para poder desarrollar el determinante por la tercera columna. 106 00:08:43,919 --> 00:08:53,139 Entonces, si yo hago este operativo, pues resulta que ya lo que tengo es un 0 en el 3, 3, me queda esto de aquí. 107 00:08:53,139 --> 00:09:06,039 Y recordar, lo que hago es, multiplico por menos 1 elevado a 2 más 3, por el valor del elemento a 2, 3 y por el menor complementario que se llama. 108 00:09:06,139 --> 00:09:12,240 El menor complementario es el determinante que me queda al eliminarme mi fila y mi columna. 109 00:09:12,379 --> 00:09:20,120 Por lo tanto, me queda este determinante, lo opero y resulta que me sale que es m multiplicado a 3 menos 2m. 110 00:09:20,120 --> 00:09:41,860 A mí que es lo que me interesa siempre, igualarlo a 0. Si yo esto lo igualo a 0, tengo dos posibles valores, que m sea 0 o que m sea 3 medios. Por lo tanto, si el valor de m es 0 o el valor de m es 3 medios, el rango del menor de orden 3 formado por la segunda, tercera y cuarta columna, el rango es 2, ¿vale? 111 00:09:41,860 --> 00:09:48,840 Pero si la m es distinto de 0 y m es distinto de 3 medios, el rango es 3, ¿vale? 112 00:09:48,879 --> 00:09:56,899 Por lo tanto, yo ya tengo otro valor que es 3 medios que me haría que el rango fuese 2, ¿vale? 113 00:09:57,159 --> 00:10:03,960 Me voy ya al último caso, que es el 1, 3, 4, que está formado por el menor de orden 3 114 00:10:03,960 --> 00:10:06,759 compuesto por la primera, tercera y cuarta columna. 115 00:10:06,759 --> 00:10:17,659 Pues igualmente, como tengo aquí un 0, un 1 y aquí un m más 1, voy a intentar hacer 0 el m más 1 para poder desarrollar el determinante por la tercera columna. 116 00:10:18,919 --> 00:10:25,240 Desarrollo exactamente igual y obtengo que al final tengo m multiplicado por menos m que es igual a m. 117 00:10:25,240 --> 00:10:44,759 Si yo lo igualo a 0, pues estoy como en el segundo caso, de que m es igual a c, entonces el rango de esta matriz es 2, pero que si m es distinto de 0, el rango de esta matriz formada por el menor de orden 3 compuesto por las columnas 1, 3 y 4 es 3. 118 00:10:44,759 --> 00:11:12,000 Si yo recopilo los cuatro casos, ¿qué es lo que ocurría? Que en el menor 1, 2 y 3 es 0 siempre para cualquier valor de m, por lo tanto el rango es 2. En el menor 1, 2, 4 me pasaba que el rango es 2 si la m es 0 o la m es 1. En el menor 1, 3, 4 el rango es 2 si la m es 0 y en el menor 2, 3, 4 el rango es 2 si m es igual a 0 o m es igual a 3 medios. 119 00:11:12,000 --> 00:11:28,120 Con todos estos cuatro casos, ¿yo qué puedo decir sin error a equivocarme? Que el rango de la matriz es 3 siempre y cuando la m sea distinto de 0, m sea distinto de 1 y m sea distinto de 3 medios. 120 00:11:28,120 --> 00:11:50,840 En cualquier otro caso, aquí esto realmente me faltaría, el rango de A sería 2 si la M, y esto es muy importante, es 0 o, aquí es un O, si la M es igual a 1 o la M es igual a 3. 121 00:11:51,240 --> 00:11:56,600 ¿De acuerdo? Aquí es los únicos valores donde el rango es 3. 122 00:11:56,600 --> 00:11:59,620 Espero que os sirva y cualquier duda me preguntáis.