1
00:00:00,000 --> 00:00:03,200
Hola, en este vídeo vamos a estudiar cómo obtener

2
00:00:03,200 --> 00:00:06,000
el punto simétrico de un punto A

3
00:00:06,000 --> 00:00:08,200
respecto a un plano dado

4
00:00:08,200 --> 00:00:12,600
o plano de simetría. Los datos del problema son por tanto el punto A

5
00:00:12,600 --> 00:00:14,400
y el plano de simetría.

6
00:00:14,400 --> 00:00:17,200
Intuitivamente el punto simétrico

7
00:00:17,200 --> 00:00:22,600
sería la imagen especular de nuestro punto A respecto a ese plano

8
00:00:22,600 --> 00:00:26,000
que haría las veces de espejo.

9
00:00:26,000 --> 00:00:29,200
¿Cómo podemos obtener entonces las coordenadas del punto A'

10
00:00:29,200 --> 00:00:32,000
conocidas las de A y el plano?

11
00:00:32,000 --> 00:00:33,700
La idea intuitiva

12
00:00:33,700 --> 00:00:37,200
es que estos dos segmentos

13
00:00:37,200 --> 00:00:40,000
que son perpendiculares al plano

14
00:00:40,000 --> 00:00:43,000
y que pasan cada uno de ellos por

15
00:00:43,000 --> 00:00:44,800
los puntos A y A'

16
00:00:44,800 --> 00:00:48,400
son de la misma longitud.

17
00:00:48,400 --> 00:00:49,900
La técnica

18
00:00:49,900 --> 00:00:52,600
en la práctica para encontrar A'

19
00:00:52,600 --> 00:00:55,100
pasa entonces por detectar primero

20
00:00:55,100 --> 00:00:58,400
cuál es el punto que está al final de ese primer segmento

21
00:00:58,400 --> 00:01:03,700
que no es otro que ese punto P que llamamos la proyección

22
00:01:03,700 --> 00:01:05,700
de A sobre el plano

23
00:01:05,700 --> 00:01:09,300
y que ya hemos estudiado en otro vídeo cómo se calcula.

24
00:01:09,300 --> 00:01:12,700
Se calcularía a través de esta recta perpendicular al plano

25
00:01:12,700 --> 00:01:16,000
y que pasa por A que es fácil de obtener.

26
00:01:16,000 --> 00:01:19,100
Bien, pues una vez tengamos entonces

27
00:01:19,100 --> 00:01:21,100
el punto proyección

28
00:01:21,100 --> 00:01:23,100
observamos

29
00:01:23,100 --> 00:01:25,100
que

30
00:01:25,100 --> 00:01:26,900
es el punto medio

31
00:01:26,900 --> 00:01:31,600
entre el dato A y el punto buscado A', es decir, debe cumplirse

32
00:01:31,600 --> 00:01:33,400
la relación

33
00:01:33,400 --> 00:01:35,500
propia del punto medio

34
00:01:35,500 --> 00:01:38,900
que podemos utilizar para despejar

35
00:01:38,900 --> 00:01:40,300
A'

36
00:01:40,300 --> 00:01:43,800
como dos veces el punto de proyección menos A

37
00:01:43,800 --> 00:01:45,900
y de esta manera el problema

38
00:01:45,900 --> 00:01:52,900
pues quedaría totalmente resuelto.

39
00:01:53,100 --> 00:01:56,900
Vamos a ilustrar brevemente el procedimiento con un caso práctico

40
00:01:56,900 --> 00:01:59,300
en el que A es el punto 3, 4, menos 3

41
00:01:59,300 --> 00:02:03,600
y el plano de simetría es X más Y más Z igual a 1.

42
00:02:03,600 --> 00:02:06,500
El primer paso que sería hallar el punto proyección

43
00:02:06,500 --> 00:02:10,900
pues ya lo hemos explicado y resuelto en el vídeo correspondiente

44
00:02:10,900 --> 00:02:14,600
y vamos a escribir aquí directamente el valor de ese punto proyección que es el

45
00:02:14,600 --> 00:02:16,300
2, 3, menos 4.

46
00:02:16,300 --> 00:02:17,400
Podéis consultar

47
00:02:17,400 --> 00:02:20,300
el vídeo sobre proyección de un punto sobre un plano

48
00:02:20,300 --> 00:02:23,300
para ver este ejemplo resuelto.

49
00:02:23,300 --> 00:02:24,800
Una vez obtenido

50
00:02:24,800 --> 00:02:27,000
pues para hallar el simétrico

51
00:02:27,000 --> 00:02:30,000
basta aplicar esta expresión

52
00:02:30,000 --> 00:02:35,200
es decir, A' sería dos veces 2, 3, menos 4 menos el punto dato

53
00:02:35,200 --> 00:02:38,400
3, 4, menos 3

54
00:02:38,400 --> 00:02:42,700
obteniéndose como simétrico el punto A' 1, 2, menos 5.