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00:00:05,339 --> 00:00:20,960
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:20,960 --> 00:00:25,559
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:25,559 --> 00:00:29,839
de la unidad FU2 dedicada a las funciones elementales y definidas a trozos.

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00:00:31,760 --> 00:00:40,039
En la videoclase de hoy estudiaremos las funciones racionales generales.

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00:00:40,960 --> 00:00:52,259
En esta clase vamos a hablar de las funciones racionales en general. Ya sabemos que las funciones

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00:00:52,259 --> 00:00:58,659
racionales son el cociente de dos polinomios y vamos a hablar de funciones generales o sea

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00:00:58,659 --> 00:01:04,120
aquellas que no se van a restringir a los dos casos particulares que hemos visto ya o sea no

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00:01:04,120 --> 00:01:09,060
va a ser el cociente de dos polinomios de primer grado no van a ser funciones homográficas ni van

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00:01:09,060 --> 00:01:14,840
a ser de la forma una constante por x elevado a un exponente entero negativo no van a ser las

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00:01:14,840 --> 00:01:19,719
primeras funciones que vimos en esta sección. La representación gráfica de las funciones

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00:01:19,719 --> 00:01:25,939
racionales depende de cada caso y vamos a tener representaciones muy variadas dependiendo de cómo

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00:01:25,939 --> 00:01:31,959
sean estos dos polinomios. Sí que hay algunas características que van a poder estudiarse así

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00:01:31,959 --> 00:01:37,700
en forma general y por eso estamos dando esta videoclase. Por ejemplo, el dominio de las

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00:01:37,700 --> 00:01:42,920
funciones racionales se va a determinar siempre como el conjunto de los números reales excluyendo

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00:01:42,920 --> 00:01:48,920
los ceros del denominador. Mientras que la imagen sí que va a depender de cada caso y necesitaremos

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00:01:48,920 --> 00:01:54,519
tener la representación gráfica para poder decidir cuál es. En cuanto a los puntos de corte con los

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00:01:54,519 --> 00:01:59,459
ejes se van a determinar algebraicamente. Los puntos de corte con el eje de las x se van a

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00:01:59,459 --> 00:02:04,299
encontrar en las abstizas solución de la ecuación f de x igual a cero y ahora lo que igualaremos a

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00:02:04,299 --> 00:02:09,939
cero va a ser el numerador. Vamos a buscar los ceros del numerador. El punto de corte con el eje

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00:02:09,939 --> 00:02:15,340
de las y es de existir. Se va a calcular la ordenada buscando el valor numérico f de cero

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00:02:15,340 --> 00:02:22,599
siempre y cuando cero pertenezca al dominio. En cuanto a monotonía, extremos relativos,

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00:02:22,759 --> 00:02:28,020
curvatura y puntos de inflexión van a depender fuertemente de cada caso y de hecho las siguientes

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00:02:28,020 --> 00:02:31,759
unidades nos vamos a dedicar a estudiar características de las funciones que nos

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00:02:31,759 --> 00:02:37,800
van a permitir caracterizar las funciones racionales. Las asíntotas de las asíntotas

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00:02:37,800 --> 00:02:43,680
sí podemos decir algo en general. Las asíntotas verticales podrán hallarse en los puntos que

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00:02:43,680 --> 00:02:49,060
hemos eliminado del dominio. De la forma que a la que determinamos el dominio y buscamos los ceros

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00:02:49,060 --> 00:02:53,780
del denominador para eliminarlos, bien en esos ceros del denominador estudiaremos si hay o no

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00:02:53,780 --> 00:02:59,620
asíndotas verticales. En cuanto a asíndotas horizontales, las habrá siempre que el grado

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00:02:59,620 --> 00:03:04,979
del numerador y del denominador coincidan. Y en cuanto a asíndota oblicua, cuando el grado del

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00:03:04,979 --> 00:03:10,520
numerador sea una unidad mayor que el grado del denominador. Una característica general de las

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00:03:10,520 --> 00:03:14,419
funciones racionales es que son todas ellas continuas en todo su dominio, que es una cosa

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00:03:14,419 --> 00:03:20,460
muy útil en un momento dado. En cuanto a la simetría va a depender de cada caso y lo que

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00:03:20,460 --> 00:03:24,819
hemos de hacer es estudiar numerador y denominador, los polinomios del numerador y del denominador

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00:03:24,819 --> 00:03:30,860
por separado. Si el numerador y el denominador, ambos polinomios, tienen ambos simetría par o

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00:03:30,860 --> 00:03:36,180
ambos simetría impar, la función racional va a tener simetría par. Mientras que si el numerador

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00:03:36,180 --> 00:03:40,500
y el denominador tiene uno de ellos simetría par y el otro simetría impar, no importa cuál de los

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00:03:40,500 --> 00:03:47,699
2 sea, la función racional va a tener simetría en par. Aquí tenemos un par de ejemplos de dos

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00:03:47,699 --> 00:03:53,259
funciones racionales relativamente sencillas. A la izquierda la función f de x igual a x al cubo

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00:03:53,259 --> 00:03:59,319
entre x cuadrado menos 2x más 1. A la derecha la función g de x igual a x cuadrado entre x cuadrado

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00:03:59,319 --> 00:04:06,900
más x menos 2. En el primer caso vemos que tenemos una función continua en todo su dominio que es

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00:04:06,900 --> 00:04:12,199
toda la recta real excepto el 1 y es que ahí en x igual a 1 nos encontramos con una asíntota

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00:04:12,199 --> 00:04:17,860
vertical y esta función vemos que tiene una asíntota oblicua igual a x más 2. La imagen,

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00:04:18,399 --> 00:04:23,819
toda la recta real. En este otro caso vemos que tenemos una función nuevamente continua en todo

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00:04:23,819 --> 00:04:30,319
su dominio que es toda la recta real excepto x igual a menos 2 y x igual a 1 que es donde esta

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00:04:30,319 --> 00:04:35,240
función tiene dos asíntotas verticales y así mismo vemos que esta función tiene la asíntota

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00:04:35,240 --> 00:04:41,519
horizontal y igual a 1. Y en cuanto a la imagen pues sería la unión de estos dos conjuntos que

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00:04:41,519 --> 00:04:48,540
tenemos aquí. En el caso de esta función vemos que comienza siendo monótona creciente hasta que

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00:04:48,540 --> 00:04:53,199
alcanzamos la asíntota y a partir de aquí tiene un tramo decreciente hasta alcanzar este mínimo y a

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00:04:53,199 --> 00:04:59,120
partir de aquí un tramo creciente. En extremos relativos tenemos únicamente este mínimo. En la

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00:04:59,120 --> 00:05:05,300
función g, pues vemos una función creciente en esta primera rama, a continuación creciente hasta

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00:05:05,300 --> 00:05:11,639
alcanzar este máximo y luego decreciente y en esta otra rama tenemos una función decreciente hasta

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00:05:11,639 --> 00:05:16,620
alcanzar un mínimo aquí en x igual a 4 que no se aprecia bien pero está y a partir de aquí la

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00:05:16,620 --> 00:05:22,680
función va a ser creciente hacia la asíntota horizontal. En cuanto a puntos de inflexión y

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00:05:22,680 --> 00:05:28,360
curvatura, bueno pues aquí tenemos un tramo donde la función es convexa y aquí donde la función,

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00:05:28,360 --> 00:05:36,620
concava y aquí donde es convexa y tenemos un punto de inflexión aquí claramente en x igual a 0 y aquí tenemos esta rama de función

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00:05:36,620 --> 00:05:46,319
convexa. Aquí podemos tener una rama convexa, una rama concava y aquí nos vamos a encontrar con un tramo convexo y un tramo

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00:05:46,319 --> 00:05:54,759
cóncavo y aquí en algún lugar nos vamos a encontrar con un punto de inflexión. Como veis, caracterizar estas funciones no es tan sencillo

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00:05:54,759 --> 00:05:59,079
como en los casos anteriores y desde luego, encontrar cuál es la expresión algebraica

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00:05:59,079 --> 00:06:04,759
que corresponde con estas funciones no va a ser nada sencillo y va a ser algo que en general no podremos hacer.

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00:06:07,819 --> 00:06:13,439
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

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00:06:14,180 --> 00:06:18,279
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

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00:06:19,060 --> 00:06:23,839
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

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00:06:23,839 --> 00:06:25,800
Un saludo y hasta pronto.