1
00:00:02,480 --> 00:00:07,280
Vamos a ver ahora ejemplos en los cuales la función es una función racional.

2
00:00:08,560 --> 00:00:13,800
Como ejemplo, esta función igual a x cuadrado más 1 partido de x.

3
00:00:14,539 --> 00:00:18,359
Vamos a ver el dominio. El dominio de la función racional, que acordad que era

4
00:00:18,359 --> 00:00:24,320
todos los números reales, estructurando aquellos valores de x que anulaban el denominador.

5
00:00:24,539 --> 00:00:29,420
En este caso, como el denominador se anula cuando x vale 0,

6
00:00:29,420 --> 00:00:32,039
el dominio de la función sería en todos los reales menos 0.

7
00:00:33,789 --> 00:00:44,630
Calculamos la derivada primera, en este caso como es un cociente, pues derivada del numerador, 2x, por el denominador sin derivar,

8
00:00:45,170 --> 00:00:51,770
menos la primera como está, x cuadrado más 1 entre paréntesis por la derivada del denominador que es 1.

9
00:00:52,369 --> 00:00:56,890
Y todo dividido por la función del denominador al cuadrado.

10
00:00:56,890 --> 00:01:04,769
Haciendo las operaciones correspondientes resulta que la derivada es x al cuadrado menos 1 partido de x al cuadrado

11
00:01:04,769 --> 00:01:09,189
Calculamos los puntos singulares, igualamos la derivada a 0

12
00:01:09,189 --> 00:01:16,069
En este caso tenemos dos valores, puntos críticos, puntos singulares, más y menos 1

13
00:01:16,810 --> 00:01:25,069
Fijaros, en la recta real tenemos que situar no solamente los puntos singulares, en este caso menos 1 y 1

14
00:01:25,670 --> 00:01:30,189
sino también hemos dicho que la función en cero no estaba definida.

15
00:01:31,069 --> 00:01:35,989
En cero vamos a tener una asíntota vertical y también vamos a tener que situar este punto aquí.

16
00:01:39,719 --> 00:01:46,879
Bien, estudiamos los intervalos de monotonía para ver si la función es creciente o decreciente.

17
00:01:47,379 --> 00:01:51,120
El primer intervalo estudiado sería de menos infinito a menos uno.

18
00:01:51,640 --> 00:01:54,920
Hemos cogido el valor menos dos, vemos que nos da mayor que cero,

19
00:01:54,920 --> 00:01:59,379
eso significa que en todos los puntos de ese intervalo la derivada va a ser positiva,

20
00:01:59,819 --> 00:02:02,019
la función ahí va a ser creciente.

21
00:02:02,700 --> 00:02:06,480
Entre menos uno y cero se ha cogido el valor menos un medio,

22
00:02:07,219 --> 00:02:10,979
en este caso la derivada en menos un medio da negativo,

23
00:02:11,840 --> 00:02:16,139
es decir, derivada negativa, la función en ese intervalo va a ser decreciente.

24
00:02:17,120 --> 00:02:19,900
Entre cero y uno, cogemos un medio,

25
00:02:19,900 --> 00:02:23,460
la derivada es negativa en este caso

26
00:02:23,460 --> 00:02:26,580
con lo cual es negativa en todo ese intervalo

27
00:02:26,580 --> 00:02:28,879
la función en ese intervalo va a ser decreciente

28
00:02:28,879 --> 00:02:30,699
y de 1 a infinito

29
00:02:30,699 --> 00:02:33,860
la derivada de la función en 2 por ejemplo

30
00:02:33,860 --> 00:02:35,120
hemos cogido el valor 2

31
00:02:35,120 --> 00:02:36,460
es positiva

32
00:02:36,460 --> 00:02:41,159
significa que en ese intervalo la función va a ser creciente

33
00:02:41,159 --> 00:02:46,039
¿Qué observamos entonces?

34
00:02:48,580 --> 00:02:50,539
¿Qué ocurre a la derecha y a la izquierda

35
00:02:50,539 --> 00:02:52,639
de estos valores, puntos críticos

36
00:02:52,639 --> 00:02:55,639
que habíamos situado en la recta real.

37
00:02:57,139 --> 00:03:01,620
Fijaros, aquí la función de menos infinito a menos uno, la función f crece.

38
00:03:03,439 --> 00:03:06,300
Y de menos uno a cero, la función t crece.

39
00:03:07,759 --> 00:03:13,979
Como era un punto crítico, en menos uno lo que tenemos es un máximo relativo de la función.

40
00:03:14,639 --> 00:03:19,419
Como siempre calculamos la imagen para ese valor de x.

41
00:03:19,419 --> 00:03:25,539
El máximo es un punto, pues en este caso para x igual a menos uno, la imagen de menos uno vale menos dos,

42
00:03:26,120 --> 00:03:39,379
recuerda que se sustituye en la función, la función que en nuestro caso era x cuadrado más uno partido de x.

43
00:03:39,620 --> 00:03:44,719
Aquí tengo que sustituir para calcular las imágenes de esos puntos.

44
00:03:44,719 --> 00:04:00,719
En cero, fijaros que la función en este caso decrece de menos uno a cero y de cero a uno también decrece

45
00:04:00,719 --> 00:04:05,060
Pero a veces ocurre que la función decrece y luego crece

46
00:04:05,060 --> 00:04:11,629
Eso significa que en cero podría haber un máximo o un mínimo

47
00:04:11,629 --> 00:04:17,509
Si hay distinto comportamiento de la función a la derecha y a la izquierda de ese punto

48
00:04:17,509 --> 00:04:22,269
Pues no, en cero lo que tenemos es nada

49
00:04:22,269 --> 00:04:27,629
En este caso, porque en 0, el punto 0 no pertenecía al dominio de la función.

50
00:04:28,810 --> 00:04:35,290
Sigamos, para 1, hemos visto que la función primero decrece y luego la función crece.

51
00:04:36,050 --> 00:04:43,810
Pues como era un punto singular, en este caso, en 1, vamos a tener un mínimo relativo,

52
00:04:43,810 --> 00:04:51,470
de cual calculamos también la imagen de 1 en la función de partida, ¿no?

53
00:04:51,470 --> 00:04:54,649
1, f de 1, el punto sería el número 2.

54
00:04:55,769 --> 00:04:58,509
Vamos a ver otro ejemplo de función racional.

55
00:04:59,930 --> 00:05:06,649
En esta función racional, el dominio sería todos los números reales,

56
00:05:06,970 --> 00:05:11,629
en este caso, menos 2, que es el punto que me anula el denominador.

57
00:05:14,589 --> 00:05:22,519
Hallamos la derivada primera, para luego calcular los puntos críticos o puntos singulares.

58
00:05:22,519 --> 00:05:52,910
Como es un cociente, sería derivada del numerador 2x menos 5 por el denominador sin derivar menos el numerador como está por la derivada del denominador, que en este caso es 1, y todo dividido por el denominador al cuadrado.

59
00:05:52,910 --> 00:05:55,720
Vamos a hacer las operaciones.

60
00:06:43,189 --> 00:06:52,180
Bien, esta es la primera derivada, la igualamos a cero, con lo cual igualamos a cero el numerador

61
00:06:52,180 --> 00:07:02,240
y resolviendo esta ecuación de segundo grado tenemos dos valores, x igual a 1 y x igual a 3.

62
00:07:04,180 --> 00:07:13,420
Situamos estos puntos en la recta real, el 1 y el 3, pero también tenemos que situar el punto donde la función no estaba definida,

63
00:07:13,420 --> 00:07:30,379
que damos. Aquí como veremos pues hay ahora una asíntota vertical, por lo tanto ahí

64
00:07:30,379 --> 00:07:35,180
aunque la función tuviera distinto comportamiento de la monotonía, que creciera aquí y aquí

65
00:07:35,180 --> 00:07:41,519
decreciera, o al revés, no iba a tener ni máximos ni mínimos. Los intervalos que nos

66
00:07:41,519 --> 00:07:47,860
salen serían de menos infinito a 1, de 1 a 2 y de 2 a 3 y de 3 a infinito. Todos estos

67
00:07:47,860 --> 00:07:53,920
intervalos. Vamos a irlos estudiando. Para todo x perteneciente al intervalo que vale

68
00:07:53,920 --> 00:08:05,459
menos infinito a 1, vamos a coger por ejemplo el punto 0. Para x igual a 0, la derivada

69
00:08:05,459 --> 00:08:13,759
de la función, voy a factorizarla para hacer más cómodamente el cálculo del signo de

70
00:08:13,759 --> 00:08:19,779
la primera derivada, fijaros que el denominador al estar elevado al cuadrado siempre va a

71
00:08:19,779 --> 00:08:27,660
ser positivo. Bien, pues para cero me quedaría negativo, o sea, negativo por negativo entre

72
00:08:27,660 --> 00:08:38,389
positivo, el resultado positivo. Es decir, si f' en cero me ha salido mayor que cero,

73
00:08:39,029 --> 00:08:44,750
sería mayor que cero para cualquier punto de cinta en barro. Positivo aquí, es decir,

74
00:08:44,750 --> 00:08:47,649
La función en ese intervalo va a ser creciente.

75
00:08:54,059 --> 00:09:02,480
En el siguiente intervalo, de 1 a 2, pues podemos coger, por ejemplo, el punto x igual a 1,5, 3 medios.

76
00:09:02,480 --> 00:09:13,950
En este caso, la derivada, esto sería positivo y esto negativo, lo de abajo siempre positivo, resultado final negativo.

77
00:09:16,169 --> 00:09:23,629
La derivada sale menor que 0 en este intervalo, eso quiere decir que la función es decreciente.

78
00:09:27,480 --> 00:09:38,679
En el siguiente intervalo, de 2 a 3, podemos coger, por ejemplo, x igual a 2,5, 5 medios,

79
00:09:40,779 --> 00:09:46,299
la derivada en 2,5, pues esto nos sale positivo y esto negativo.

80
00:09:46,299 --> 00:09:51,600
Lo de abajo siempre es positivo, porque está derivado al cuadrado, resultado negativo.

81
00:09:52,600 --> 00:10:00,350
Es decir, que la función, en este caso, en este intervalo, todavía va a ser decreciente.

82
00:10:00,429 --> 00:10:18,509
Y por último, en el último intervalo, de 3 a infinito, la derivada, vamos a probar para x igual a 4,

83
00:10:19,889 --> 00:10:26,529
la derivada me quedaría positivo, positivo, positivo, el cociente positivo,

84
00:10:27,750 --> 00:10:33,529
la derivada sería positivo y la función entonces sería creciente.

85
00:10:33,529 --> 00:10:42,320
Entonces, en 2 no tenemos nada, pero vamos a ver qué ocurre en 1 y en 3,

86
00:10:42,559 --> 00:10:45,159
que eran los puntos simulares que habíamos obtenido.

87
00:10:47,240 --> 00:10:56,539
Aquí la función era creciente y, sin embargo, a la derecha de 1 decrece.

88
00:11:01,320 --> 00:11:15,899
Eso significa que en x igual a 1 hay un máximo de la función, máximo relativo de la función.

89
00:11:15,899 --> 00:11:26,799
Sus coordenadas serían 1, primera componente, y luego tendría que sustituir aquí en la función para averiguar la imagen de 1.

90
00:11:29,110 --> 00:11:30,750
Para 1 quedaría menos 3.

91
00:11:33,440 --> 00:11:48,139
Y ahora, para x igual a 3, vemos que la función es decreciente, decrece a la izquierda de 3 y a la derecha crece.

92
00:11:48,139 --> 00:12:08,059
Eso significa que en 3 tenemos un mínimo relativo y las coordenadas serían 3 sustituyendo la función 1.