1
00:00:01,139 --> 00:00:21,839
Vamos a trabajar punto y plan. Callaros un momento. En punto y plano vamos a trabajar todas las cosas que podemos. Primero, vamos a ver qué podemos hacer con todo lo que ya sabemos y vamos a terminar con una fórmula.

2
00:00:21,839 --> 00:00:48,399
¿Eh? Entonces, esto, si buscáis en vuestro libro, va a estar entresacado, o sea, vamos a ir cogiendo cositas. Primero, por ejemplo, pues vamos a hallar la proyección ortogonal del punto sobre el plano, ¿vale?

3
00:00:48,399 --> 00:00:51,869
otra cosa que se hace

4
00:00:51,869 --> 00:00:53,270
con punto y plano es

5
00:00:53,270 --> 00:00:54,490
la simetría

6
00:00:54,490 --> 00:00:57,170
¿cómo se llamaría? que ya lo hemos visto

7
00:00:57,170 --> 00:00:59,630
como herramienta

8
00:00:59,630 --> 00:01:00,250
¿sí Asia?

9
00:01:04,599 --> 00:01:05,120
¡ay!

10
00:01:05,500 --> 00:01:07,060
no os habéis fijado, bien

11
00:01:07,060 --> 00:01:09,930
especular

12
00:01:09,930 --> 00:01:19,560
del punto respecto al plano

13
00:01:19,560 --> 00:01:21,680
es decir, el punto que está

14
00:01:21,680 --> 00:01:22,879
al otro lado del plano

15
00:01:22,879 --> 00:01:25,700
y por último, vamos a hallar

16
00:01:25,700 --> 00:01:27,159
una fórmula

17
00:01:27,159 --> 00:01:30,719
de la distancia

18
00:01:30,719 --> 00:01:32,219
punto

19
00:01:32,219 --> 00:01:36,700
plano. ¿Vale?

20
00:01:36,920 --> 00:01:38,959
Una fórmula de la distancia punto

21
00:01:38,959 --> 00:01:42,150
plano. ¿De acuerdo?

22
00:01:43,370 --> 00:01:44,609
Luego haremos lo mismo con

23
00:01:44,609 --> 00:01:46,230
punto y recta. Bueno.

24
00:01:47,430 --> 00:01:48,069
Empezamos.

25
00:01:48,430 --> 00:01:49,469
Nos vamos a GeoGebra.

26
00:01:51,730 --> 00:01:53,250
A ver. Un punto.

27
00:01:54,810 --> 00:01:55,290
Tomás.

28
00:01:57,069 --> 00:01:58,189
Tres, cuatro, uno.

29
00:01:58,750 --> 00:01:59,870
Tres, cuatro, uno.

30
00:01:59,870 --> 00:02:01,530
Ahí tenemos un punto.

31
00:02:04,409 --> 00:02:05,310
Rubén Tapia.

32
00:02:05,530 --> 00:02:06,689
Un plano.

33
00:02:09,650 --> 00:02:10,789
4x

34
00:02:10,789 --> 00:02:13,150
lo único que tenemos que tener cuidado

35
00:02:13,150 --> 00:02:15,210
es que el punto no pertenezca al plano

36
00:02:15,210 --> 00:02:16,469
4x menos y

37
00:02:16,469 --> 00:02:18,770
¿cómo?

38
00:02:19,550 --> 00:02:20,830
menos 3z

39
00:02:20,830 --> 00:02:22,189
y no le sumamos nada

40
00:02:22,189 --> 00:02:25,169
más 6

41
00:02:25,169 --> 00:02:27,430
así

42
00:02:27,430 --> 00:02:29,629
a ver cómo queda

43
00:02:29,629 --> 00:02:33,469
vale, ese

44
00:02:33,469 --> 00:02:34,810
pues ya estaría

45
00:02:34,810 --> 00:02:39,490
bueno, a ver

46
00:02:39,490 --> 00:02:40,870
si yo os preguntara

47
00:02:40,870 --> 00:02:44,729
¿dónde estaría

48
00:02:44,729 --> 00:02:47,270
la proyección de A

49
00:02:47,270 --> 00:02:49,169
dicho de otra manera

50
00:02:49,169 --> 00:02:50,629
la sombra de A

51
00:02:50,629 --> 00:02:53,069
¿qué me contestaríais vosotros?

52
00:02:54,069 --> 00:02:55,530
lo normal es que uno contestara

53
00:02:55,530 --> 00:02:56,990
pues depende por dónde está el sol

54
00:02:56,990 --> 00:02:58,849
obviamente

55
00:02:58,849 --> 00:03:01,310
la sombra podría

56
00:03:01,310 --> 00:03:03,229
caer sobre cualquier sitio

57
00:03:03,229 --> 00:03:05,509
pero aquí lo que

58
00:03:05,509 --> 00:03:07,069
se supone es que es

59
00:03:07,069 --> 00:03:09,250
la proyección

60
00:03:09,250 --> 00:03:10,430
ortogonal

61
00:03:10,430 --> 00:03:15,110
Es decir, de manera perpendicular al plano.

62
00:03:15,669 --> 00:03:21,629
Vale, ¿cómo haríais para hallar la proyección ortogonal en GeoGebra?

63
00:03:25,599 --> 00:03:27,280
¿Una qué perpendicular?

64
00:03:27,800 --> 00:03:29,740
Una recta perpendicular.

65
00:03:30,080 --> 00:03:32,639
¿Hay alguna herramienta que sea recta perpendicular?

66
00:03:33,199 --> 00:03:33,939
Sí.

67
00:03:34,719 --> 00:03:40,060
Entonces, perpendicular al plano que pasa por A.

68
00:03:40,060 --> 00:03:41,379
Muy bien.

69
00:03:43,819 --> 00:03:47,439
Y ahora que tengo esa recta perpendicular, ¿cuál sería el punto de proyección?

70
00:03:49,629 --> 00:03:52,229
Pues el corte de la recta con el plano.

71
00:03:59,759 --> 00:04:01,000
No sé si con esto lo hace.

72
00:04:03,659 --> 00:04:03,800
Sí.

73
00:04:05,259 --> 00:04:06,259
Como es un punto, sí.

74
00:04:06,259 --> 00:04:15,060
Vale, pues B sería la proyección ortogonal de A sobre el plano pi.

75
00:04:16,079 --> 00:04:16,839
¿Alguna pregunta?

76
00:04:17,699 --> 00:04:18,639
Pues vamos a hacerlo.

77
00:04:23,839 --> 00:04:29,519
¿qué dije? a ver, muy bien

78
00:04:29,519 --> 00:04:31,279
¿qué es lo que dije?

79
00:04:32,519 --> 00:04:37,959
no se puede obtener una recta

80
00:04:37,959 --> 00:04:39,720
perpendicular a una recta de manera

81
00:04:39,720 --> 00:04:40,540
sencilla

82
00:04:40,540 --> 00:04:43,600
lo que yo he dicho es, no se puede

83
00:04:43,600 --> 00:04:45,779
obtener una recta perpendicular a otra

84
00:04:45,779 --> 00:04:47,519
recta de manera sencilla porque se

85
00:04:47,519 --> 00:04:48,759
genera una de recta

86
00:04:48,759 --> 00:04:51,560
precisamente esa de recta forma un plano

87
00:04:51,560 --> 00:04:53,680
y lo que sí que se puede obtener de manera sencilla

88
00:04:53,680 --> 00:04:56,180
es el plano perpendicular a una recta

89
00:04:56,180 --> 00:04:58,060
o la recta perpendicular a un plano.

90
00:04:59,519 --> 00:04:59,819
¿Vale?

91
00:05:00,519 --> 00:05:01,399
Muy bien.

92
00:05:02,259 --> 00:05:03,639
Pues venga, vamos a hacerlo.

93
00:05:04,480 --> 00:05:06,000
El punto era el 3, 4, 1

94
00:05:06,000 --> 00:05:12,560
y el plano es

95
00:05:12,560 --> 00:05:15,899
4x

96
00:05:15,899 --> 00:05:23,279
más 6 igual a 0.

97
00:05:26,000 --> 00:05:26,579
Muy bien.

98
00:05:27,899 --> 00:05:28,199
Entonces,

99
00:05:28,819 --> 00:05:30,339
¿qué hay que hacer?

100
00:05:34,540 --> 00:05:35,500
La recta perpendicular.

101
00:05:36,279 --> 00:05:37,819
¿Y cómo hago la recta perpendicular?

102
00:05:38,240 --> 00:06:04,459
U es el vector normal al plano, que tiene de coordenadas, y ahora la recta tiene que tener ese vector director y pasar por el punto P.

103
00:06:05,759 --> 00:06:14,819
Muy bien, así que, ¿en qué la queréis? ¿Paramétrica? Lo más fácil es paramétrica, para lo que queremos hacer después.

104
00:06:16,680 --> 00:06:18,319
¿Cuál sería en forma paramétrica?

105
00:06:20,459 --> 00:06:22,540
Pasa por el punto 3, 4, 1.

106
00:06:25,540 --> 00:06:29,300
Y tiene de vector director 4, menos 1, menos 3.

107
00:06:30,920 --> 00:06:33,959
Esta es la recta S o R.

108
00:06:35,379 --> 00:06:37,699
No hemos utilizado R, pues R.

109
00:06:37,699 --> 00:06:49,160
R perpendicular a pi, que pasa por P.

110
00:06:49,160 --> 00:06:58,990
muy bien, y ahora

111
00:06:58,990 --> 00:07:00,970
¿cómo haría la intersección?

112
00:07:06,009 --> 00:07:09,730
simplemente metiendo la recta en forma paramétrica

113
00:07:09,730 --> 00:07:11,589
en el plano

114
00:07:11,589 --> 00:07:15,209
4 por 3 más 4 lambda

115
00:07:15,209 --> 00:07:19,879
menos 4 menos lambda

116
00:07:19,879 --> 00:07:22,800
menos 3

117
00:07:22,800 --> 00:07:24,740
por 1 menos 3 lambda

118
00:07:24,740 --> 00:07:27,579
más 6

119
00:07:27,579 --> 00:07:30,120
igual a 0

120
00:07:30,120 --> 00:07:52,699
Y eso es una ecuación de primer grado en lambda. Si alguien se equivoca al hacerla por ponerse los paréntesis o cosas de esas, pues lo siento mucho. ¿Cuánto suman los lambdas? 17, 26.

121
00:07:52,699 --> 00:08:00,800
Y los términos independientes, 8 menos 3, 5 más 6, 11.

122
00:08:06,230 --> 00:08:16,170
Así que el anda sería menos 11 veintiséisavos.

123
00:08:17,129 --> 00:08:22,370
Por supuesto, para hallar el punto de corte, pues hay que sustituir en la paramétrica.

124
00:08:22,370 --> 00:08:35,580
Métrica, 3 menos 4, más 4, perdón, por menos 11, 26 avos, de las calculadoras tan bonitas que tenéis.

125
00:08:39,269 --> 00:08:49,519
17 treceavos la primera, espero que se puedan simplificar todas, porque no me gustaría poner una en treceavos y otra en 26 avos.

126
00:08:49,519 --> 00:09:27,460
Esta, 115 partido 26, entonces prefiero poner esta sin simplificar y Z que sería 1 menos 3 lambda, 59, vale, pues ya está, si hacéis eso en decimales debería quedaros 131, 442, 227.

127
00:09:33,149 --> 00:09:39,649
¿Vale? ¿Alguna pregunta? ¿Cómo se hace la proyección?

128
00:09:40,990 --> 00:09:45,470
Como nos lo hemos inventado, pues, sale unas fracciones tan chungas.

129
00:09:46,730 --> 00:09:48,730
Eso sería la proyección ortogonal.

130
00:09:50,009 --> 00:09:52,710
¿Cómo sería la simetría especular?

131
00:09:55,799 --> 00:09:58,600
Si utilizamos las letras que nos han salido en GeoGebra,

132
00:09:58,600 --> 00:10:03,259
era el punto A, el punto B, al punto simétrico le vamos a llamar A',

133
00:10:03,259 --> 00:10:06,820
al punto simétrico le vamos a llamar A', ¿cómo sería?

134
00:10:06,820 --> 00:10:19,899
A' igual a, muy bien, 2AB, utilizando la nomenclatura que hemos puesto.

135
00:10:22,240 --> 00:10:22,919
¿Vale?

136
00:10:23,220 --> 00:10:27,820
O en otras palabras, el punto A era 3, 4, 1.

137
00:10:28,019 --> 00:10:30,919
Ah, si he puesto P aquí, este sería A.

138
00:10:32,100 --> 00:10:34,279
El punto A es 3, 4, 1.

139
00:10:43,110 --> 00:10:45,389
Y aquí sería P menos A.

140
00:10:45,389 --> 00:10:55,100
Fijaros que aquí incluso hasta se podría sacar una fórmula

141
00:10:55,100 --> 00:11:03,970
Porque lo que hay dentro del vector a la derecha es lo mismo

142
00:11:03,970 --> 00:11:05,289
¿Entendéis?

143
00:11:06,669 --> 00:11:09,590
Hasta se podría sacar una fórmula, pero bueno

144
00:11:09,590 --> 00:11:12,990
La cosa es resolver esa ecuación que ya

145
00:11:12,990 --> 00:11:17,889
Si queréis ni la vamos a hacer, la hacéis vosotros

146
00:11:17,889 --> 00:11:19,450
pero todo el mundo

147
00:11:19,450 --> 00:11:24,179
lo entiende, ¿no?

148
00:11:26,450 --> 00:11:28,129
Bueno, por cierto

149
00:11:28,129 --> 00:11:29,690
¿alguien me explicaría

150
00:11:29,690 --> 00:11:35,019
bueno

151
00:11:35,019 --> 00:11:37,980
no era lo que iba a preguntar

152
00:11:37,980 --> 00:11:42,139
recuerdo que aquí también si a alguien le gusta

153
00:11:42,139 --> 00:11:43,940
hacer mejor B A'

154
00:11:44,220 --> 00:11:45,779
igual a B, pues

155
00:11:45,779 --> 00:11:48,159
perfecto. Venga, ¿quién me dice

156
00:11:48,159 --> 00:11:48,659
el resultado?

157
00:11:50,179 --> 00:11:51,120
Total quedan ya

158
00:11:51,120 --> 00:11:53,139
tres minutos, vamos a

159
00:11:53,139 --> 00:11:56,309
X igual a

160
00:11:56,309 --> 00:11:59,570
sesenta y ocho

161
00:11:59,570 --> 00:12:00,669
veintiséisavos

162
00:12:00,669 --> 00:12:02,690
y

163
00:12:02,690 --> 00:12:25,509
es treinta y tres

164
00:12:25,509 --> 00:12:30,120
sesenta y seis

165
00:12:30,120 --> 00:12:36,049
noventa y dos

166
00:12:36,049 --> 00:12:37,110
veintiséisavos

167
00:12:54,720 --> 00:12:55,399
sí

168
00:12:55,399 --> 00:12:56,799
a ver, atendés

169
00:12:56,799 --> 00:12:58,039
por favor

170
00:12:58,039 --> 00:13:00,679
aquí el año pasado os di un pequeño

171
00:13:00,679 --> 00:13:03,360
truco, no te desacordáis

172
00:13:03,360 --> 00:13:06,179
que es lo que está

173
00:13:06,179 --> 00:13:08,100
diciendo ahora, el punto A

174
00:13:08,100 --> 00:13:09,580
¿qué coordenada X tiene?

175
00:13:11,120 --> 00:13:11,679
3

176
00:13:11,679 --> 00:13:18,299
el punto B

177
00:13:18,299 --> 00:13:22,169
34 veintiséis

178
00:13:22,169 --> 00:13:23,190
¿no?

179
00:13:24,169 --> 00:13:26,309
para ir de aquí a aquí, ¿qué ha hecho?

180
00:13:26,429 --> 00:13:28,210
esto, os recuerdo, 3 por 6

181
00:13:28,210 --> 00:13:28,769
18

182
00:13:28,769 --> 00:13:32,090
78, ¿no? estos son

183
00:13:32,090 --> 00:13:34,110
78 veintiséis, ¿no?

184
00:13:35,409 --> 00:13:36,450
de aquí a aquí

185
00:13:36,450 --> 00:13:37,850
¿qué ha hecho? ha bajado

186
00:13:37,850 --> 00:13:46,240
algo hemos hecho mal

187
00:13:46,240 --> 00:13:50,299
la X esta está mal

188
00:13:50,299 --> 00:13:55,509
eso se iba a decir

189
00:13:55,509 --> 00:13:56,929
porque mirad

190
00:13:56,929 --> 00:14:01,940
si de aquí a aquí cuánto bajamos

191
00:14:01,940 --> 00:14:05,490
44

192
00:14:05,490 --> 00:14:08,070
de aquí a aquí

193
00:14:08,070 --> 00:14:09,529
bajamos 44

194
00:14:09,529 --> 00:14:11,990
pues de aquí a aquí hay que bajar otros

195
00:14:11,990 --> 00:14:14,289
44 y lógicamente

196
00:14:14,289 --> 00:14:16,190
da menos 10 veintiséisavos

197
00:14:16,190 --> 00:14:18,490
¿lo veis?

198
00:14:18,809 --> 00:14:20,250
¿os acordáis de esto que os lo expliqué

199
00:14:20,250 --> 00:14:21,610
el año pasado como truco.

200
00:14:25,919 --> 00:14:27,960
Y con la I y la Z lo mismo.

201
00:14:28,080 --> 00:14:28,860
¿La I cuánto da?

202
00:14:30,679 --> 00:14:31,159
¿Cómo?

203
00:14:36,639 --> 00:14:38,039
Entonces vamos a poner ya

204
00:14:38,039 --> 00:14:39,840
todos con menos 5

205
00:14:39,840 --> 00:14:41,320
treceavos. Era este, ¿no?

206
00:14:42,139 --> 00:14:44,379
La Z también se puede simplificar,

207
00:14:44,500 --> 00:14:44,659
¿no?

208
00:14:46,220 --> 00:14:47,500
46 treceavos.

209
00:14:52,059 --> 00:14:52,779
Muy bien.

210
00:14:54,000 --> 00:14:55,039
Bueno, pues eso.

211
00:14:58,230 --> 00:14:59,710
Mañana la fórmula.