1
00:00:00,880 --> 00:00:05,080
Hola, vamos ahora a explicar las ecuaciones exponenciales.

2
00:00:05,580 --> 00:00:15,140
Ecuaciones exponenciales son aquellas en las cuales la incógnita, la x, aparece en el exponente, pues el tipo a elevado a x.

3
00:00:15,580 --> 00:00:22,820
La base va a ser siempre positiva, a mayor que cero, y la base nunca va a ser uno.

4
00:00:22,820 --> 00:00:28,260
A puede ser pues cualquier número como estamos viendo

5
00:00:28,260 --> 00:00:34,539
en especial merece especial digamos atención el número E

6
00:00:34,539 --> 00:00:40,140
el número E que como sabemos todos es un número irracional

7
00:00:40,140 --> 00:00:46,899
y aproximadamente lo tomamos como E2,72 aproximadamente

8
00:00:46,899 --> 00:00:51,479
y además es la base de los logaritmos neperianos

9
00:00:51,479 --> 00:01:03,229
el logaritmo neperiano de e, sabemos que sería 1, porque e elevado, en este caso, a 1 es e.

10
00:01:04,569 --> 00:01:15,230
¿Qué más hay que recordar? Pues la propiedad fundamental que nos va a servir para calcular o para hallar las ecuaciones exponenciales,

11
00:01:15,230 --> 00:01:20,530
exponenciales para hallar su solución, pues si yo tengo dos bases iguales que están elevadas

12
00:01:20,530 --> 00:01:25,769
a distintos exponentes, como las bases son iguales, el exponente, bueno, esto sería

13
00:01:25,769 --> 00:01:33,209
diferente, x1 es igual a x2, es una de las propiedades que vamos a ver al final para

14
00:01:33,209 --> 00:01:39,310
averiguar la solución. Y también recordamos las propiedades de potencias, a elevado a

15
00:01:39,310 --> 00:01:47,230
0 es 1, a elevado a 1 es a, luego también tenemos las potencias exponente negativo,

16
00:01:47,230 --> 00:01:53,849
que es 1 partido por a elevado a n, cuando tengo igual base, o sea, igual base a elevado

17
00:01:53,849 --> 00:02:03,790
a n por a elevado a m es igual a elevado a n más m, a elevado a n dividido entre a elevado

18
00:02:03,790 --> 00:02:11,169
a m es igual a elevado a m menos m. ¿Qué más conocemos cuando tenemos el mismo exponente?

19
00:02:11,169 --> 00:02:19,169
A elevado a n y b elevado a n, el producto se hace las bases y se eleva al mismo. Igualmente

20
00:02:19,169 --> 00:02:27,729
para dividir a elevado a n dividido b elevado a n, es lo mismo que tener a dividido entre

21
00:02:27,729 --> 00:02:38,009
b, todo ello elevado a n. Y por último, a elevado a m elevado a n es m por n. También

22
00:02:38,009 --> 00:02:46,430
recordamos que un exponente fraccionario tipo, por ejemplo, p partido por q, os pongo este

23
00:02:46,430 --> 00:02:54,229
que es el de siempre, en este caso tenemos raíz a elevado a p de índice q, recordamos

24
00:02:54,229 --> 00:02:58,129
de radicales. Vamos ahora con

25
00:02:58,129 --> 00:03:01,930
un tipo que es el más sencillo que podemos encontrar. Vamos

26
00:03:01,930 --> 00:03:06,169
a buscar, encontrar que las bases sean iguales a elevado

27
00:03:06,169 --> 00:03:10,250
a x sub 1 a elevado a x sub 2, es decir que ambas bases sean iguales

28
00:03:10,250 --> 00:03:13,949
el 4 como lo puedo poner como 2 elevado a 2

29
00:03:13,949 --> 00:03:18,330
ya tengo las bases iguales, de aquí obtengo que los exponentes

30
00:03:18,330 --> 00:03:22,150
han de ser iguales y de aquí despejaríamos el valor

31
00:03:22,150 --> 00:03:32,729
de x, que sería en este caso 3, x igual a 3 medios. En este caso si hacemos la sustitución

32
00:03:32,729 --> 00:03:39,050
aquí no va a haber problemas en las exponenciales generalmente, tendríamos 2 elevado aquí

33
00:03:39,050 --> 00:03:46,650
a 3 medios menos 1 y nos va a quedar 2 elevado a 2, es decir, se verifica. Aquí tenemos

34
00:03:46,650 --> 00:03:50,909
otra que exactamente igual, lo que tenemos que intentar

35
00:03:50,909 --> 00:03:53,569
buscar que las bases sean iguales

36
00:03:53,569 --> 00:03:58,530
como hemos dicho aquí a elevado a 0 es 1

37
00:03:58,530 --> 00:04:03,090
entonces aquí puedo ponerlo como 4 elevado a 0, de manera que

38
00:04:03,090 --> 00:04:06,409
voy a operar aquí

39
00:04:06,409 --> 00:04:10,870
4 elevado, aquí sería a 3 menos

40
00:04:10,870 --> 00:04:14,909
x por 2 menos x y eso tiene que

41
00:04:14,909 --> 00:04:20,329
ser igual a 4 elevado a 0. Las bases son iguales, entonces de aquí sacamos que los exponentes

42
00:04:20,329 --> 00:04:34,110
son iguales. Entonces nos quedaría 3 menos x por 2 menos x igual a 0 y resolveríamos

43
00:04:34,110 --> 00:04:42,769
esta como una ecuación factorizada. De manera que si este producto es 0, pues es que este

44
00:04:42,769 --> 00:04:51,329
es 0, con lo cual x vale 3, la x sub 1 y 2 menos x es igual a 0 y sacaríamos que la

45
00:04:51,329 --> 00:05:00,470
x sub 2 vale 2. En las ecuaciones exponenciales verificaríamos y no hay problema, ambas soluciones

46
00:05:00,470 --> 00:05:07,329
verifican la ecuación. Veamos ahora este tipo de exponenciales que es un poco más

47
00:05:07,329 --> 00:05:13,750
complicado porque aparece en forma de suma y además las bases, o sea, no podemos igualar

48
00:05:13,750 --> 00:05:19,149
como antes, pero si aplicamos las propiedades de las potencias tendríamos 4 elevado a x

49
00:05:19,149 --> 00:05:25,990
más esto, ¿cómo lo podemos separar? Pues como 4 elevado a x por 4 elevado a 2. Esto

50
00:05:25,990 --> 00:05:33,810
es igual a qué? A 272. Si nos damos cuenta, la forma de operar es siempre la misma. Aquí

51
00:05:33,810 --> 00:05:54,790
Aquí sacaríamos factor común 4 elevado a x y nos va a quedar dentro el que 1 más 4 cuadrado, que en este caso sería igual a 272, con lo cual 4 elevado a x va a ser igual a 272 partido 4 cuadrado 16 más 1 que serían 17.

52
00:05:54,790 --> 00:06:04,069
y en este caso al hacer la división estos serían 16 y 16 es igual a 4 cuadrado

53
00:06:04,069 --> 00:06:12,269
de manera que aquí obtenemos que como las bases son iguales, x es igual a 2, los exponentes también son iguales.

54
00:06:13,649 --> 00:06:18,850
A ver, en realidad yo estoy diciendo las bases son iguales, los exponentes son iguales.

55
00:06:18,850 --> 00:06:26,649
Lo que aquí haríamos, porque la potenciación es justo la operación contraria a tomar logaritmos,

56
00:06:26,649 --> 00:06:33,790
yo puedo tomar aquí, tenemos 4 elevado a x igual a 4 al cuadrado,

57
00:06:34,589 --> 00:06:43,170
que tomaría el logaritmo en base 4 de 4 elevado a x, esto es igual al logaritmo en base 4 de 4 al cuadrado.

58
00:06:43,769 --> 00:06:49,610
Aplicando propiedades del logaritmo, la x sale fuera y me queda logaritmo en base 4 de 4.

59
00:06:49,970 --> 00:06:53,569
Y aquí me quedaría 2 logaritmo en base 4 de 4.

60
00:06:54,110 --> 00:06:57,230
Como bien sabemos, esto es 1.

61
00:06:57,550 --> 00:07:01,050
El logaritmo de la base en su propia base es 1.

62
00:07:01,389 --> 00:07:04,329
Aquí es 1, con lo cual me queda que x es igual a 2.

63
00:07:05,250 --> 00:07:10,009
Es lo mismo, solo que aquí digamos que simplificamos bastante.

64
00:07:10,009 --> 00:07:14,970
Vamos ahora a resolver este un poco más complicado

65
00:07:14,970 --> 00:07:16,670
Pero es exactamente igual

66
00:07:16,670 --> 00:07:19,410
Lo que vamos a hacer, si nos damos cuenta

67
00:07:19,410 --> 00:07:21,970
La base es 3

68
00:07:21,970 --> 00:07:26,470
Empezaríamos poniendo 3 elevado a 2x por 3

69
00:07:26,470 --> 00:07:31,889
3 elevado a 1 menos 3 elevado a x por 3 elevado a 2

70
00:07:31,889 --> 00:07:34,149
Y esto es igual a 162

71
00:07:34,149 --> 00:07:37,550
El procedimiento en este caso es siempre el mismo

72
00:07:38,529 --> 00:07:55,449
En este caso si nos damos cuenta 3 elevado a x lo podría elevar al cuadrado para que me quede 3 elevado a 2x y por 3 menos 3 elevado al cuadrado, lo voy a poner al principio, por 3 elevado a x y menos 162 igual a 0.

73
00:07:55,449 --> 00:08:14,269
Vamos a hacer un cambio de variable, al 3 elevado a x le voy a llamar t, de manera que aquí me quedaría t cuadrado por 3, el 3 lo voy a poner aquí delante, menos 9 por 3 elevado a x menos 162 y esto igual a 0.

74
00:08:14,269 --> 00:08:18,529
el 3 elevado a x, perdón que lo he puesto aquí, esto sería t

75
00:08:18,529 --> 00:08:22,910
de modo que esto lo puedo simplificar

76
00:08:22,910 --> 00:08:26,689
un poco dividiendo entre 3 todo, si esto lo divido entre 3

77
00:08:26,689 --> 00:08:30,689
me quedaría t cuadrado menos 9 entre

78
00:08:30,689 --> 00:08:34,590
3, 3, 3t y menos

79
00:08:34,590 --> 00:08:38,529
162 entre 3 que me queda 54

80
00:08:38,529 --> 00:08:42,490
y esto igual a 0 y que me queda una ecuación

81
00:08:42,490 --> 00:08:48,629
de segundo grado. De manera como esto ya lo sabéis resolver, sustituimos y me quedarían

82
00:08:48,629 --> 00:08:58,750
esas dos soluciones, si no me he equivocado. La primera 15 y 3, 18 entre 2 a 9 y 12 entre

83
00:08:58,750 --> 00:09:06,570
2 a menos 6 aquí en este caso. Pues claro, esta sería t sub 1. Pues fijaos, ahora hay

84
00:09:06,570 --> 00:09:18,759
Hay que deshacer el cambio, deshacemos el cambio, el cambio y en este caso, fijaos, tendríamos que 3 elevado a x resulta que es 9.

85
00:09:19,019 --> 00:09:26,700
9, tenemos de nuevo una ecuación exponencial que sería 3 al cuadrado, ya que sacaríamos que la x vale 2.

86
00:09:27,580 --> 00:09:30,940
Y luego esta sería para la primera solución, sería la x sub 1.

87
00:09:30,940 --> 00:09:37,519
Y de la segunda me quedaría que 3 elevado a x de nuevo es igual a menos 6.

88
00:09:37,519 --> 00:09:46,340
Esta no tiene solución porque una base positiva elevado a cualquier exponente no va a quedar en este caso negativo

89
00:09:46,340 --> 00:09:50,580
No nos serviría, con lo cual la única solución posible es esta de aquí

90
00:09:50,580 --> 00:09:59,639
Como indico en las exponenciales es difícil que salvo que tenga un denominador en el que aparezca la x y tenga que comprobar

91
00:09:59,639 --> 00:10:21,360
Aquí 3 elevado me quedaría a 5 menos 3 elevado a 4 y esto me queda 243 menos 81 y esto es 162, correcto.