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00:00:05,320 --> 00:00:21,289
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:21,289 --> 00:00:25,890
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:25,890 --> 00:00:30,070
de la unidad F1 dedicada a las características globales de las funciones.

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00:00:31,969 --> 00:00:39,409
En la videoclase de hoy estudiaremos la composición de funciones.

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00:00:40,689 --> 00:00:51,079
En esta videoclase vamos a estudiar la composición de funciones.

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00:00:51,079 --> 00:00:56,859
Esta operación ya no es una operación aritmética, como podría ser la suma, la resta, la multiplicación o la división.

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00:00:57,740 --> 00:01:06,879
En este caso tenemos dos funciones reales de variable real f y g y se define la función compuesta de g y f, así leído en este orden,

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00:01:07,480 --> 00:01:16,079
y que se va a representar como f, este circulito que es el operador para la composición de funciones y g, de la siguiente forma.

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00:01:16,560 --> 00:01:27,599
Aquella que va a hacer corresponder a los valores de x que pertenecen al dominio de g, tales que su imagen a través de g, g de x, pertenezca al dominio de f.

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00:01:28,239 --> 00:01:36,159
Es una definición un tanto compleja, pero en cuanto veamos la definición de la imagen de g compuesta con f, vamos a ver que tiene sentido.

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00:01:37,319 --> 00:01:42,560
Decía, es la función que hace corresponder a estos valores de x una imagen que se calcula de la siguiente manera.

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00:01:42,560 --> 00:01:51,680
f de g de x. Lo que vamos a hacer es, en primer lugar, utilizar x como entrada para la función g,

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00:01:52,019 --> 00:01:56,620
vamos a calcular su imagen y esa imagen a su vez va a ser la entrada para la función f,

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00:01:57,319 --> 00:02:01,500
vamos a calcular su imagen y esta va a ser la imagen de la función compuesta de g y f.

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00:02:02,859 --> 00:02:08,539
Fijaos en que la definición del dominio tiene todo el sentido. En primer lugar necesitamos que

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00:02:08,539 --> 00:02:14,280
los valores de x que van a entrar a la función compuesta de g y f pertenezcan al dominio de g

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00:02:14,280 --> 00:02:21,860
puesto que lo primero que vamos a hacer es calcular g de x. Las imágenes de g de x a su vez necesariamente

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00:02:21,860 --> 00:02:25,939
deben pertenecer al dominio de f puesto que lo siguiente que vamos a hacer es utilizar esas

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00:02:25,939 --> 00:02:32,900
imágenes como entrada para la función f. Así pues el dominio va a ser los x pertenecientes al

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00:02:32,900 --> 00:02:40,699
dominio de g, tales que las imágenes g de x pertenezcan al dominio de f. Para ver cómo funciona

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00:02:40,699 --> 00:02:48,120
esto vamos a utilizar este ejercicio como ejemplo. Se nos dan dos funciones reales de variable real

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00:02:48,120 --> 00:02:55,099
f de x igual a 1 entre x menos 2 y g de x igual a x al cuadrado más 1 y se nos pide que determinemos

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00:02:55,099 --> 00:03:03,800
las funciones y sus dominios g compuesta con f y f compuesta con g. En el caso de g compuesta de f

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00:03:03,800 --> 00:03:10,460
lo que vamos a hacer es ver cuál es la expresión algebraica de f de g de x utilizando la definición

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00:03:10,460 --> 00:03:16,860
que habíamos visto anteriormente. Para ello vamos a empezar con la función más externa f de g de x

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00:03:16,860 --> 00:03:24,099
vista que la definición de f de x es 1 partido por x menos 2 la definición de f de g de x será

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00:03:24,099 --> 00:03:30,860
esta misma sustituyendo x por g de x, o sea, 1 dividido entre g de x menos 2, como vemos aquí.

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00:03:31,719 --> 00:03:36,879
A continuación pasamos a por la función interior, g de x. Vamos a sustituir este g de x dentro de

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00:03:36,879 --> 00:03:42,159
esta expresión algebraica por su definición, en este caso x al cuadrado más 1. Así pues lo que

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00:03:42,159 --> 00:03:49,879
tenemos es 1 dividido entre x al cuadrado más 1, que es g de x, menos 2. Operando, comprobamos que

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00:03:49,879 --> 00:03:56,120
la expresión algebraica de la función compuesta de g con f es 1 dividido entre x al cuadrado

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00:03:56,120 --> 00:04:02,120
menos 1. Para determinar su dominio vamos a utilizar la definición anterior. Van a

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00:04:02,120 --> 00:04:07,599
ser los valores de x pertenecientes al dominio de g, tales que sus imágenes pertenezcan al

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00:04:07,599 --> 00:04:14,139
dominio de f. Bien, el dominio de g, dado que g es una función polinómica, va a ser

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00:04:14,139 --> 00:04:19,480
toda la recta real. Así que todos los valores de x pertenecientes a la recta real, tales

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00:04:19,480 --> 00:04:25,000
es que las imágenes de g de x, que se van a calcular como x al cuadrado más 1, aquí

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00:04:25,000 --> 00:04:31,160
lo tenemos, pertenezcan al dominio de f. Puesto que f es esta función racional, su dominio

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00:04:31,160 --> 00:04:34,980
será toda la recta real excepto los ceros del denominador, o sea, toda la recta real

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00:04:34,980 --> 00:04:40,800
excepto el 2. Y ya lo tenemos. Todos los valores de x pertenecientes a la recta real, el dominio

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00:04:40,800 --> 00:04:47,220
de g, tales que x al cuadrado más 1, esto es, las imágenes de g de x, pertenezcan a

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00:04:47,220 --> 00:04:52,420
toda la recta real excepto el número 2, o sea, el dominio de f. Lo que estamos buscando son los

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00:04:52,420 --> 00:04:58,060
valores de x pertenecientes a la recta real, tales que x al cuadrado más 1 sean distintos de 2,

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00:04:58,180 --> 00:05:03,360
puesto que nos vale cualquier valor real excepto el número 2. Si resolvemos la ecuación x al cuadrado

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00:05:03,360 --> 00:05:09,560
más 1 igual a 2, obtendremos los valores de x que hemos de omitir, que son los valores x igual a

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00:05:09,560 --> 00:05:16,100
menos 1 y 1, como vemos aquí. Así pues, el dominio de la función compuesta de g con f va a ser toda

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00:05:16,100 --> 00:05:23,000
la recta real excepto el menos 1 y el 1. Si vamos atrás a la definición algebraica de la función

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00:05:23,000 --> 00:05:28,120
compuesta de g con f, 1 entre x al cuadrado menos 1, podemos ver que tiene sentido. Esta es una

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00:05:28,120 --> 00:05:32,899
función racional, su dominio natural en principio va a ser toda la recta real excepto los ceros del

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00:05:32,899 --> 00:05:38,939
denominador, que son x igual a 1 y menos 1. Así pues, este dominio tiene sentido y cuadra con la

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00:05:38,939 --> 00:05:45,180
definición que hemos obtenido anteriormente. En lo que respecta a la función compuesta de f con g,

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00:05:45,180 --> 00:05:49,740
igualmente vamos a determinar su expresión algebraica a partir de la definición que sería

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00:05:49,740 --> 00:05:57,860
en este caso g de f de x. Empezamos con la función más externa. g de x se define como x al cuadrado

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00:05:57,860 --> 00:06:05,079
más 1. Aquí tenemos g de f de x y entonces sustituimos x por f de x. Será f de x al cuadrado

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00:06:05,079 --> 00:06:11,860
más 1 como vemos aquí. Pasamos a la función más interna f de x. Su definición es 1 dividido entre

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00:06:11,860 --> 00:06:17,740
x menos 2 y entonces lo que hacemos es sustituir eso en esta expresión que tenemos aquí. 1 entre

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00:06:17,740 --> 00:06:24,699
x menos 2 al cuadrado que es f de x al cuadrado más 1. Operamos para obtener la expresión algebreca

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00:06:24,699 --> 00:06:30,360
de esta función compuesta de f con g. En primer lugar calculamos el cuadrado, ponemos denominador

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00:06:30,360 --> 00:06:35,259
común para poder hacer la suma de esas dos acciones algebraicas y una vez que tenemos denominador

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00:06:35,259 --> 00:06:39,459
común operamos para ver cuáles son los polinomios resultantes tanto en el numerador como en el

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00:06:39,459 --> 00:06:45,800
denominador. En este caso obtenemos x al cuadrado menos 4x más 5 dividido entre x al cuadrado menos

61
00:06:45,800 --> 00:06:52,300
4x más 4. Para determinar el dominio de la función compuesta de f con g operamos de forma análoga.

62
00:06:53,060 --> 00:06:58,600
Utilizamos la definición. Serán los valores de x pertenecientes al dominio de f tales que las

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00:06:58,600 --> 00:07:04,600
imágenes f de x pertenezcan al dominio de g. El dominio de f es toda la recta real excepto el

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00:07:04,600 --> 00:07:11,620
número 2. Las imágenes de f de x se van a calcular como 1 dividido entre x menos 2 y queremos que

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00:07:11,620 --> 00:07:18,139
estos valores pertenezcan al dominio de Hecht, que en este caso es toda la recta real. Puesto que

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00:07:18,139 --> 00:07:24,699
hemos eliminado de nuestra consideración para 1 dividido entre x menos 2 pertenezca a los números

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00:07:24,699 --> 00:07:30,680
reales el valor 2, hemos eliminado el 0 del denominador, para el resto de valores reales

68
00:07:30,680 --> 00:07:36,420
desde luego 1 entre x menos 2 va a ser un número real. No nos habría valido el número 2. 1 entre

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00:07:36,420 --> 00:07:42,079
2 menos 2 que es 0 no estaría definido, no sería un número real. Pero puesto que está omitido ya en

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00:07:42,079 --> 00:07:47,480
la parte previa, no debemos preocuparnos. Y consecuentemente el dominio de la función

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00:07:47,480 --> 00:07:53,759
compuesta de f con g va a ser todos los números reales excepto el número 2. Igual que pasaba con

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00:07:53,759 --> 00:07:58,579
el apartado anterior. Si vamos hacia atrás y vemos qué es lo que ocurre con esta función racional,

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00:07:58,579 --> 00:08:04,120
su dominio natural en principio será toda la recta real dado que se trata de una función

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00:08:04,120 --> 00:08:10,300
racional excepto los ceros del denominador. El denominador x al cuadrado menos 4x más 4 era x

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00:08:10,300 --> 00:08:15,959
menos 2 al cuadrado factorizado y podemos ver aquí fácilmente que los ceros del denominador son en

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00:08:15,959 --> 00:08:20,399
realidad únicamente el número 2. Ese es el valor que hemos excluido de la recta real cuando

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00:08:20,399 --> 00:08:29,370
determinamos de forma algebraica el dominio de la función f compuesta con g. En el aula virtual de

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00:08:29,370 --> 00:08:36,009
la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. Asimismo, tenéis más información

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00:08:36,009 --> 00:08:41,250
en las fuentes bibliográficas y en la web. No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes

80
00:08:41,250 --> 00:08:45,809
a clase o al foro de dudas en el aula virtual. Un saludo y hasta pronto.