1
00:00:00,560 --> 00:00:10,060
Bien, vamos a ver en este vídeo cómo se calcula la proyección ortogonal de una recta sobre el plano pi.

2
00:00:10,759 --> 00:00:12,359
Se pueden dar varias situaciones.

3
00:00:12,839 --> 00:00:19,359
Puede ocurrir que la recta sea paralela al plano pi.

4
00:00:20,280 --> 00:00:25,239
En este caso, la proyección será esta recta.

5
00:00:26,140 --> 00:00:27,719
Vamos a llamarle S.

6
00:00:27,719 --> 00:00:37,039
y que podemos obtener como la intersección del plano pi con el plano determinado por la recta R y el vector normal al plano pi.

7
00:00:37,539 --> 00:00:38,700
El vector normal es este.

8
00:00:41,079 --> 00:00:48,520
Determinar, por lo tanto, la recta R y el vector normal al plano pi, determinar este plano pi sub 1.

9
00:00:49,000 --> 00:00:56,219
La intersección de pi y pi sub 1 es igual a la recta S.

10
00:00:57,719 --> 00:01:04,620
Si la recta es secante al plano, pues el procedimiento es exactamente igual.

11
00:01:08,640 --> 00:01:11,120
Esta es la recta R y este es el plano P.

12
00:01:11,819 --> 00:01:20,400
La proyección va a ser esta recta que vamos a llamar S.

13
00:01:20,400 --> 00:01:40,530
Y la recta S va a venir determinada por la intersección del plano pi con el plano pi sub 1, que está determinado por la recta R, el plano pi sub 1 contiene a R, y es perpendicular a pi.

14
00:01:41,469 --> 00:01:50,969
La intersección de pi y pi sub 1 es igual a la recta S, que es la proyección de R sobre el plano.

15
00:01:50,969 --> 00:01:57,810
En el caso de que la recta R estuviese contenida en el plano, pues esa sería la proyección.

16
00:01:59,030 --> 00:02:08,590
Por lo tanto, lo que debemos hacer es encontrar un plano pi sub 1 que contenga R y que sea perpendicular al plano pi para determinar la recta S.

17
00:02:09,430 --> 00:02:14,590
Bien, nos dan la recta R como la intersección de dos planos.

18
00:02:14,590 --> 00:02:27,930
menos x menos y más z igual a 0, menos x más 3y menos z más 1 igual a 0. El vector

19
00:02:27,930 --> 00:02:38,210
normal de esta recta, de este plano, es el menos 1 menos 1, 1. Y el vector normal de este

20
00:02:38,210 --> 00:02:51,430
otro, es el 2, 3, menos 1. Bien, pues el vector direccional de R es el vector que resulta

21
00:02:51,430 --> 00:03:09,900
desde el producto vectorial de los vectores normales de estos dos planos. Esto es igual

22
00:03:09,900 --> 00:03:26,819
¿Verdad? Desarrollando por la fila, por la primera fila, pues sería igual al determinante de menos 1, 1, 3, menos 1, menos, desarrollando por J es negativo.

23
00:03:26,819 --> 00:03:32,000
Sería menos 1, 2, 1, menos 1.

24
00:03:32,620 --> 00:03:34,639
Y ahora desarrollamos por acá.

25
00:03:36,560 --> 00:03:40,259
Menos 1, menos 1, 2, 3.

26
00:03:42,360 --> 00:03:50,180
Vr, por lo tanto, será igual a 1, menos 3, menos 2.

27
00:03:51,120 --> 00:03:54,800
1, menos 2, menos 1, menos, más 1.

28
00:03:54,800 --> 00:04:00,060
y menos 3 más 2, menos 1.

29
00:04:01,340 --> 00:04:04,919
Bien, nos haría falta también conocer un punto de la recta R.

30
00:04:05,599 --> 00:04:06,740
Vamos a llamarle R.

31
00:04:07,439 --> 00:04:10,759
Como es un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas,

32
00:04:10,879 --> 00:04:12,900
pues tenemos que dar un valor a una de ellas.

33
00:04:13,479 --> 00:04:15,180
Vamos a darle ahí el valor 0.

34
00:04:15,180 --> 00:04:22,100
Si la Y vale 0, pues nos queda menos X más Z igual a 0.

35
00:04:22,100 --> 00:04:43,319
y 2x menos z igual a menos 1, pasamos el más 1 al otro lado, y nos queda pues que x es igual a menos 1, si x es igual a menos 1, pues menos menos 1 más z es igual a 0, z también es igual a menos 1,

36
00:04:43,319 --> 00:04:54,720
Por lo tanto, un punto R de la recta R sería el menos 1, 0, menos 1.

37
00:04:55,920 --> 00:05:09,779
Bien, para determinar el plano piso 1, piso 1 va a ser un plano que va a contener a la recta R, por lo tanto va a contener al punto R, menos 1, 0, menos 1,

38
00:05:09,779 --> 00:05:30,019
Y va a tener como vectores direccionales, el vector direccional de recta R porque la contiene, el , y como tiene que ser perpendicular al plano pi, pues va a contener también el vector normal del plano pi.

39
00:05:30,019 --> 00:05:37,139
Y el vector normal del plano pi, pues va a ser el 2, 1, menos 1.

40
00:05:38,459 --> 00:05:40,699
2, 1, menos 1.

41
00:05:41,500 --> 00:05:44,759
Bueno, pues ya tenemos un plano que viene determinado por un punto y dos vectores.

42
00:05:45,000 --> 00:05:46,319
Vamos a hallar la ecuación de ese plano.

43
00:05:49,189 --> 00:05:58,970
Pues será x menos la coordenada del punto, x más 1, y menos 0, zeta, más 1.

44
00:05:58,970 --> 00:06:15,430
El vector direccional de R, menos 2, 1, menos 1. Y el vector normal, 2, 1, menos 1. Igual a 0. Este va a ser el plano y su 1.

45
00:06:15,430 --> 00:06:48,569
Venga, desarrollamos el determinante. Nos queda menos x más 1, menos 2y, menos 2 por z más 1, menos 2 por z más 1, menos x más 1, más x más 1.

46
00:06:50,170 --> 00:06:57,350
Más x más 1, menos 2y, menos 2y, igual a 0.

47
00:06:57,350 --> 00:07:18,870
Bien, damos paréntesis, menos x menos 1, menos 2y, menos 2z, menos 2, menos 2z, menos 2, más x, más 1, menos 2y, igual a 0.

48
00:07:18,870 --> 00:07:32,470
menos x más x, menos 1 más 1, nos queda menos 4y, menos 4z, menos 4 igual a 0.

49
00:07:32,470 --> 00:07:50,529
Este sería el plano pi sub 1. Lo podemos simplificar, dividimos todo por 4 y pi sub 1 es igual a menos i menos z menos 1 igual a 0.

50
00:07:52,110 --> 00:08:00,910
Si multiplicamos por menos 1, pues el plano pi sub 1 puede ser de la forma i más z más 1 igual a 0.

51
00:08:00,910 --> 00:08:22,339
Bien, por tanto, la proyección de R sobre pi va a ser la recta S, que va a estar definida como la intersección del plano pi sub 1,

52
00:08:22,339 --> 00:08:28,139
es I más Z más 1 igual a 0

53
00:08:28,139 --> 00:08:39,399
y el plano pi va a ser 2X más I menos Z más 3 igual a 0.

54
00:08:40,080 --> 00:08:44,440
La intersección de estos dos planos va a ser la proyección de R sobre pi.

55
00:08:52,340 --> 00:08:53,340
Gracias.