1
00:00:00,370 --> 00:00:07,129
En este vídeo vamos a repasar las cinco principales propiedades de las operaciones con potencias.

2
00:00:07,629 --> 00:00:13,730
Vamos con la primera, que es cómo se multiplican potencias que tengan la misma base,

3
00:00:14,349 --> 00:00:19,030
o producto de potencias con la misma base, lo mismo multiplicar que producto.

4
00:00:19,609 --> 00:00:25,670
Por ejemplo, 5 elevado a 4 es una potencia cuya base es 5 y el exponente es 4,

5
00:00:25,670 --> 00:00:33,109
y está multiplicando por 5 elevado a 7, tiene la misma base, 5, distinto exponente.

6
00:00:33,590 --> 00:00:38,670
Bueno, pues para multiplicar potencias de la misma base, lo que se hace es que se deja la misma base

7
00:00:38,670 --> 00:00:43,909
y se suman los exponentes de las dos potencias que multiplicamos, 4 más 7.

8
00:00:44,850 --> 00:00:47,670
Se puede poner directamente 5 elevado a 11.

9
00:00:48,670 --> 00:00:52,689
Se puede hacer incluso si tenemos 3 o 4 potencias con la misma base,

10
00:00:52,689 --> 00:01:01,649
Por ejemplo, 3 elevado a 4 por 3 elevado a 2 por 3 elevado a 3, todos tienen base 3, todas estas tres potencias tienen la misma base 3,

11
00:01:02,090 --> 00:01:05,670
pues lo que tenemos que hacer es sumar 4 más 2 más 3.

12
00:01:06,150 --> 00:01:10,909
4 más 2 más 3 son 9, pues el resultado es 3 elevado a 9.

13
00:01:12,489 --> 00:01:15,450
Cuidado con la multiplicación de estas dos potencias.

14
00:01:15,909 --> 00:01:21,430
El 7 parece que no es una potencia, pero sí es una potencia, porque tiene exponente 1.

15
00:01:21,430 --> 00:01:26,069
Lo que pasa es que el 1 en las potencias en el exponente no se suele poner.

16
00:01:26,469 --> 00:01:30,069
Por lo menos en el resultado final de los ejercicios nunca hay que ponerlo.

17
00:01:30,530 --> 00:01:32,670
En los pasos intermedios sí se puede poner.

18
00:01:33,150 --> 00:01:39,670
Pero aquí si tengo que multiplicar estas dos potencias, tengo que considerar que son dos potencias que tienen la misma base.

19
00:01:40,230 --> 00:01:44,250
El exponente de la primera es 4 y el exponente de la segunda es 1.

20
00:01:44,250 --> 00:01:50,549
Por lo tanto, 4 más 1 son 5. Esta multiplicación daría 7 elevado a 5.

21
00:01:51,430 --> 00:02:09,530
Pues vamos por último a algún ejemplo más, 2 elevado a 2 por 2 elevado a 3 por 2 elevado a 8, otra vez tres potencias, pues sería, dejamos la base 2, 2 más 3 es 5, más 8 es 13, pues 2 elevado a 13, veis, aquí ya lo he puesto directamente, no ha hecho falta poner la suma.

22
00:02:09,530 --> 00:02:13,629
En el caso de que en la base haya letras, la propiedad es la misma.

23
00:02:14,090 --> 00:02:26,530
Si yo tengo una potencia cuya base es x y el exponente 4 multiplicado por otra potencia que tiene la misma base x con exponente 3 y por otra potencia cuya base es x y el exponente 7,

24
00:02:27,270 --> 00:02:35,789
pues el resultado de la multiplicación va a ser una potencia cuya base es x y el exponente será la suma de 4 más 3 más 7.

25
00:02:35,789 --> 00:02:45,229
4 y 3 7 y 7 14 pues x elevado a 14 y en general pues la propiedad se puede poner así la multiplicación

26
00:02:45,229 --> 00:02:52,370
de dos potencias que tienen la misma base veis la base a y la base a pues es otra potencia que

27
00:02:52,370 --> 00:02:58,530
tiene la misma base a y en la que se suman los exponentes de las dos potencias que multiplicamos

28
00:02:58,530 --> 00:03:02,250
En este caso eran P y Q, pues P más Q, lo que diera.

29
00:03:03,789 --> 00:03:08,969
La segunda propiedad es cómo se dividen potencias cuando tienen la misma base,

30
00:03:09,270 --> 00:03:11,310
cociente de potencias con la misma base.

31
00:03:11,849 --> 00:03:14,969
En este caso se trata de una división de dos potencias,

32
00:03:15,530 --> 00:03:20,569
3 elevado a 8 dividido entre 3 elevado a 2, que tienen la misma base 3.

33
00:03:21,389 --> 00:03:24,110
Bueno, pues para dividir potencias con la misma base,

34
00:03:24,110 --> 00:03:28,949
lo que se hace es que se deja la misma base y restamos los exponentes.

35
00:03:29,110 --> 00:03:34,150
El exponente de la primera potencia menos el exponente de la segunda potencia.

36
00:03:34,490 --> 00:03:36,129
En este caso, 8 menos 2.

37
00:03:36,629 --> 00:03:40,229
8 menos 2 es 6, pues el resultado es 3 elevado a 6.

38
00:03:40,930 --> 00:03:45,330
Se puede hacer incluso si tuviéramos dos potencias, dos divisiones seguidas.

39
00:03:45,969 --> 00:03:49,590
6 elevado a 9 entre 6 elevado a 4 entre 6 elevado a 3,

40
00:03:49,590 --> 00:03:55,889
pues sería, dejamos la misma base y restamos 9 menos 4 menos 3.

41
00:03:56,449 --> 00:04:03,270
9 menos 4 serían 5 y 5 menos 3 serían 2, pues el resultado 6 elevado a 2.

42
00:04:03,870 --> 00:04:08,229
Al igual que en el ejemplo de la multiplicación, si tengo que hacer la división, por ejemplo,

43
00:04:08,330 --> 00:04:13,370
de 4 elevado a 6 dividido entre 4, esto lo puedo hacer como una división de potencias

44
00:04:13,370 --> 00:04:17,829
teniendo en cuenta que esta potencia, el exponente es 1, lo que pasa que no está puesto.

45
00:04:17,829 --> 00:04:25,829
pero al restar los exponentes tengo que tener en cuenta que es 6 menos 1, 5, pues me quedaría 4 elevado a 5.

46
00:04:26,250 --> 00:04:30,790
Se puede poner directamente los resultados, no hay por qué hacer estos pasos intermedios.

47
00:04:30,910 --> 00:04:41,050
Por ejemplo, 2 elevado a 6 entre 2 elevado a 4, pues como 6 menos 4 es 2, pues me quedaría la misma base 2 y el exponente ya directamente 2.

48
00:04:41,050 --> 00:04:56,610
En el caso de que tuviera letras en la base, pues exactamente igual, pues z, z, z, la misma base, pues dejo la misma base y resto los exponentes, 7 menos 2 nos daría 5 y 5 menos 5, 0.

49
00:04:56,990 --> 00:05:03,610
Y aquí esto nos sirve para recordar que cualquier potencia de exponente 0, el resultado siempre es 1.

50
00:05:06,540 --> 00:05:10,079
Hemos puesto también la fórmula para recordar la regla,

51
00:05:10,319 --> 00:05:14,040
que es que si tengo que dividir dos potencias que tienen la misma base A,

52
00:05:14,680 --> 00:05:18,339
pues lo que se hace, el resultado se deja la misma base A

53
00:05:18,339 --> 00:05:24,019
y restamos los exponentes de la primera potencia P menos el de la segunda potencia Q.

54
00:05:26,000 --> 00:05:31,220
La tercera propiedad es cómo se calcula una potencia de una potencia.

55
00:05:31,220 --> 00:05:36,100
es cuando en la base de una potencia tengo otra potencia.

56
00:05:36,480 --> 00:05:41,939
La base es como si fuera 2 elevado a 8 y el exponente sería 3.

57
00:05:42,360 --> 00:05:45,279
¿Cómo se calcula 2 elevado a 8 elevado a 3?

58
00:05:45,879 --> 00:05:50,579
Pues la regla es que se deja la base de la potencia que tengo en la base, 2,

59
00:05:50,579 --> 00:05:54,939
y se multiplican los exponentes, por así decirlo, de las dos potencias.

60
00:05:55,160 --> 00:05:59,879
8 por 3, como es 24, pues me quedaría 2 elevado a 24.

61
00:06:00,459 --> 00:06:07,560
3 elevado a 4 elevado a 2, pues sería 3, y 4 por 2, como da 8, pues 3 elevado a 8.

62
00:06:08,480 --> 00:06:15,060
4 elevado a 0 elevado a 5, pues quedaría 4 elevado a 0 por 5, y como 0 por 5 es 0,

63
00:06:15,620 --> 00:06:23,279
pues 4 elevado a 0, lo acabamos de decir en la propiedad anterior, cualquier potencia cuyo exponente es 0, el resultado es 1.

64
00:06:23,980 --> 00:06:29,279
Nos podemos saltar el paso este intermedio y poner ya directamente el resultado de la multiplicación de los exponentes.

65
00:06:29,879 --> 00:06:34,680
9 elevado a 3 elevado a 2, pues 3 por 2, 6, pues 9 elevado a 6.

66
00:06:35,160 --> 00:06:42,279
Incluso si tengo potencia de una potencia de otra potencia, pues 7 elevado a 2 elevado a 3 elevado a 5,

67
00:06:42,980 --> 00:06:51,100
pues se deja la misma base, 7, y multiplicamos 2 por 3, 6, por 5, 30, pues 7 elevado a 30.

68
00:06:51,680 --> 00:06:57,240
La regla es que si tengo una potencia de una potencia, se deja la misma base A

69
00:06:57,240 --> 00:07:00,339
y multiplicamos los exponentes p por q.

70
00:07:02,389 --> 00:07:07,850
La cuarta propiedad es cómo se hace una potencia de una multiplicación.

71
00:07:08,329 --> 00:07:13,750
¿Veis? Aquí tengo una multiplicación 3 por 7 y como todo el 3 por 7 está elevado a 5,

72
00:07:14,290 --> 00:07:16,709
pues esto sería una potencia de una multiplicación.

73
00:07:17,230 --> 00:07:21,649
Pues lo que dice la regla es que se hace la potencia del primer factor,

74
00:07:22,069 --> 00:07:25,050
la potencia de 3 en este caso, pues 3 elevado a 5,

75
00:07:25,050 --> 00:07:31,050
y eso luego se multiplica por la potencia del segundo factor, del segundo número, por 7 elevado a 5.

76
00:07:31,610 --> 00:07:35,829
Lo que pasa es que en hacer estos cálculos generalmente se suele tardar más

77
00:07:35,829 --> 00:07:41,670
que en hacer directamente la multiplicación de 3 por 7, que sería 21, y elevado a 5.

78
00:07:41,670 --> 00:07:47,769
Y en calcular 21 elevado a 5 casi siempre se suele tardar, bueno, muchas veces por lo menos,

79
00:07:47,870 --> 00:07:53,949
se suele tardar más que en calcular 3 elevado a 5, luego calcular 7 elevado a 5

80
00:07:53,949 --> 00:07:55,589
y luego hacer la multiplicación.

81
00:07:56,769 --> 00:08:01,230
Por tal motivo, esta propiedad casi nunca se aplica en este sentido,

82
00:08:01,629 --> 00:08:04,470
es decir, casi siempre se va a aplicar al revés.

83
00:08:04,470 --> 00:08:09,769
Cuando tenemos este resultado, es decir, cuando tenemos una multiplicación de dos potencias

84
00:08:09,769 --> 00:08:16,189
que tienen el mismo exponente, y lo que conviene muchas veces es ponerlo como una potencia de un producto.

85
00:08:16,709 --> 00:08:20,810
Por eso también he puesto como título producto de potencias con el mismo exponente.

86
00:08:20,810 --> 00:08:37,250
Vamos a ver un ejemplo ya, que si nos dan dos potencias con el mismo exponente. Por ejemplo, 2 elevado a 7 por 5 elevado a 7. ¿Veis? Tienen el mismo exponente 7. Pues lo que hay que hacer es multiplicar las bases, 2 por 5, y dejar el mismo exponente.

87
00:08:37,250 --> 00:08:43,769
y fijaros que en este caso 2 por 5 es 10, nos queda una potencia de 10, 10 elevado a 7,

88
00:08:44,210 --> 00:08:49,970
que sabemos que es muy fácil de calcular, es un 1 seguido de tantos ceros como indica el exponente,

89
00:08:49,970 --> 00:08:56,190
sería un 1 y 7 ceros, y fijaros que no me ha hecho falta ni calcular 2 elevado a 7,

90
00:08:56,590 --> 00:09:02,350
que en este caso no es muy difícil, pero para 5 elevado a 7 seguro que lo tengo que hacer a mano con la calculadora,

91
00:09:02,509 --> 00:09:06,070
si no, no sabría y tardaría un buen rato si lo tengo que hacer a mano,

92
00:09:06,070 --> 00:09:12,070
Sin embargo, el resultado, como el resultado ha salido de la multiplicación 2 por 5 es 10, es muy sencillo.

93
00:09:13,750 --> 00:09:26,230
Por ejemplo, 3 elevado a 4 por 6 elevado a 4, pues tienen el mismo exponente, 4, pues multiplicamos las bases, 3 por 6, que es 18, pues 18 elevado a 4.

94
00:09:27,230 --> 00:09:29,669
Incluso se puede hacer con tres potencias.

95
00:09:29,889 --> 00:09:36,230
Veis que estas tres potencias, 5 elevado a 6, 4 elevado a 6, 5 elevado a 6, tienen el mismo exponente.

96
00:09:36,830 --> 00:09:44,769
Pues sería multiplicar 5 por 4 y por 5, 5 por 4, 20, y por 5, 100, pues 100 elevado a 6.

97
00:09:45,889 --> 00:09:48,690
Si tuviera letras, sería exactamente igual.

98
00:09:49,049 --> 00:09:52,690
La multiplicación de dos potencias cuando tienen el mismo exponente,

99
00:09:52,690 --> 00:09:57,950
lo que se hace es que se multiplican las bases y se deja el mismo exponente, 7 en este caso.

100
00:09:58,669 --> 00:10:03,490
Las reglas, dependiendo si lo que tengo que calcular es la potencia de un producto,

101
00:10:03,929 --> 00:10:09,830
pues la potencia de un producto es el producto de las dos potencias de ambos factores.

102
00:10:10,350 --> 00:10:13,370
Pero ya digo que generalmente se suele aplicar al revés.

103
00:10:13,809 --> 00:10:17,750
Cuando tenemos un producto de potencias que tienen el mismo exponente,

104
00:10:17,750 --> 00:10:22,389
lo que se hace es que se multiplican las bases y se deja el mismo exponente.

105
00:10:22,690 --> 00:10:30,090
Y la última propiedad es cómo se hace la potencia de una división, la potencia de un cociente.

106
00:10:30,509 --> 00:10:33,710
Va a pasar algo parecido a la propiedad anterior.

107
00:10:34,370 --> 00:10:40,850
Veis aquí tengo una división, 8 dividido entre 4 y toda esta operación está elevado a 7.

108
00:10:41,549 --> 00:10:47,409
Pues lo que dice la propiedad es que es la potencia del primer número, 8 elevado a 7,

109
00:10:47,409 --> 00:10:53,009
y eso es lo que se divide entre la potencia del segundo número, 4 elevado a 7.

110
00:10:53,429 --> 00:10:57,250
La potencia del dividendo entre la potencia del divisor.

111
00:10:57,990 --> 00:11:06,029
Pues generalmente en hacer este cálculo se tarda más que si hago la división de 8 entre 4 y lo elevo a 7.

112
00:11:06,970 --> 00:11:12,029
Pues entonces, como ha pasado en el ejemplo anterior, la propiedad generalmente se aplica al revés.

113
00:11:12,029 --> 00:11:17,389
cuando tengo una división de dos potencias que tienen el mismo exponente

114
00:11:17,389 --> 00:11:21,649
pues conviene dividir las bases y dejar el mismo exponente

115
00:11:21,649 --> 00:11:24,049
vamos a verlo ya en un caso concreto

116
00:11:24,049 --> 00:11:28,129
por ejemplo si nos dieran 6 elevado a 9 entre 3 elevado a 9

117
00:11:28,129 --> 00:11:30,250
pues lo que se suele hacer

118
00:11:30,250 --> 00:11:33,250
veis que son dos potencias que tienen el mismo exponente 9

119
00:11:33,250 --> 00:11:38,470
dividimos las bases 6 entre 3 y dejamos el mismo exponente 9

120
00:11:38,870 --> 00:11:45,070
Como 6 entre 3 es 2, pues el resultado sería 2 elevado a 9, 512, por ejemplo.

121
00:11:45,710 --> 00:11:51,490
Las potencias de 2, pues conviene sabérselas casi de memoria, por lo menos hasta el 2 elevado a 10.

122
00:11:52,450 --> 00:12:01,029
15 elevado a 3 dividido entre 5 elevado a 3, tienen el mismo exponente, pues se deja el mismo exponente, 3, y dividimos las bases.

123
00:12:01,490 --> 00:12:06,029
15 entre 5, que es 3. 3 elevado a 3, pues 27.

124
00:12:06,649 --> 00:12:13,129
Sin embargo, si tuviera que calcular 15 elevado a 3, pues tendría que hacer una multiplicación por ahí aparte, me llevaría tiempo.

125
00:12:13,809 --> 00:12:17,049
5 elevado a 3 quizás lo podría hacer de cabeza, es 125.

126
00:12:17,970 --> 00:12:19,929
Pero luego tendría que volver a hacer la división.

127
00:12:20,070 --> 00:12:22,970
Sin embargo, de esta forma el resultado se calcula muy sencillo.

128
00:12:23,629 --> 00:12:34,190
20 elevado a 5 entre 5 elevado a 5, ya saltándome el paso previo intermedio, pues 20 entre 5 es 4, pues 4 y se deja el mismo exponente 5.

129
00:12:34,730 --> 00:12:39,769
Si tuviera letras con el mismo exponente, una división de dos potencias con el mismo exponente,

130
00:12:40,309 --> 00:12:45,190
se divide en las bases, A dividido entre B, lo que diera, y se deja el mismo exponente.

131
00:12:45,529 --> 00:12:51,190
Por lo tanto, la regla general, si lo que tengo que calcular es una potencia de una división,

132
00:12:52,450 --> 00:12:57,629
pues lo que hago es la potencia del dividendo dividido entre la potencia del divisor.

133
00:12:57,929 --> 00:13:04,149
Pero generalmente lo que se aplica es la propiedad al revés, en este sentido, de derecha a izquierda.

134
00:13:04,190 --> 00:13:08,750
cuando tengo una división de dos potencias que tienen el mismo exponente.

135
00:13:09,289 --> 00:13:14,669
Lo que se hace es que se dividen las bases de esas potencias y se deja el mismo exponente.