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00:00:12,269 --> 00:00:17,510
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:17,510 --> 00:00:21,890
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:21,890 --> 00:00:26,769
de la unidad PR4 dedicada a las variables aleadoras continuas y a la distribución normal.

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00:00:27,390 --> 00:00:36,219
En la videoclase de hoy estudiaremos el uso de la distribución normal como aproximación

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00:00:36,219 --> 00:00:50,960
de la binomial. En esta videoclase vamos a estudiar cómo utilizar la distribución normal

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00:00:50,960 --> 00:00:53,600
como aproximación de la distribución binomial.

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00:00:54,380 --> 00:01:00,439
Si comparáis la forma de la gráfica de la función de probabilidad de una distribución binomial

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00:01:00,439 --> 00:01:03,359
y de la función de densidad de probabilidad de una distribución normal,

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00:01:04,120 --> 00:01:09,060
habréis podido ver que la forma es bastante similar, una campana muy similar de forma.

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00:01:09,180 --> 00:01:11,659
No es idénticamente a la misma, pero es muy, muy, muy similar.

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00:01:12,340 --> 00:01:14,780
La diferencia fundamental entre ambas es que, por supuesto,

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00:01:15,579 --> 00:01:19,280
la función de densidad de una distribución normal es una función continua

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00:01:19,280 --> 00:01:21,540
como corresponde a una variable aleatoria continua,

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00:01:21,959 --> 00:01:24,780
mientras que la función de probabilidad de una distribución binomial

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00:01:24,780 --> 00:01:30,260
es una función discontinua, es una función discreta

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00:01:30,260 --> 00:01:32,959
como corresponde a una variable aleatoria discreta.

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00:01:33,280 --> 00:01:37,000
Pues bien, hay un teorema que nos va a permitir utilizar la distribución normal

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00:01:37,000 --> 00:01:38,739
como aproximación de la binomial.

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00:01:38,900 --> 00:01:41,000
Se trata del teorema de De Moivre-Laplace

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00:01:41,000 --> 00:01:47,079
y en el caso en el que n, el número de repeticiones en la distribución binomial,

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00:01:47,079 --> 00:01:51,359
tienda a infinito, fijaos que vamos a acabar haciendo uso de una de las leyes

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00:01:51,359 --> 00:01:55,420
de los grandes números, podemos utilizar una distribución

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00:01:55,420 --> 00:01:59,120
normal como aproximación de la binomial. Y la idea es

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00:01:59,120 --> 00:02:02,180
esta. Si nosotros necesitáramos

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00:02:02,180 --> 00:02:06,939
utilizar o describir una variable aleatoria binomial

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00:02:06,939 --> 00:02:11,240
con n repeticiones y p probabilidad de éxito y n

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00:02:11,240 --> 00:02:14,960
toma un valor muy grande, en el límite del infinito,

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00:02:14,960 --> 00:02:28,139
podemos utilizar en el lugar de esta x una variable y que va a ser normal con media n por p y con

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00:02:28,139 --> 00:02:35,319
desviación típica raíz cuadrada de n por p por 1 menos p. Fijaos que lo que tenemos aquí es una

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00:02:35,319 --> 00:02:41,659
distribución normal con media la media de la distribución binomial y con desviación típica

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00:02:41,659 --> 00:02:49,280
la desviación típica de la distribución binomial. Podemos dar un paso más y, puesto que nosotros no

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00:02:49,280 --> 00:02:53,819
vamos a utilizar en general distribuciones normales cualesquiera sino la distribución

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00:02:53,819 --> 00:03:00,199
normal estándar, podemos estandarizar esta variable. Y lo que vamos a hacer es utilizar en su lugar

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00:03:00,199 --> 00:03:06,439
una variable aleatoria x que va a ser normal estándar y que vamos a construir restándole a

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00:03:06,439 --> 00:03:12,240
está ahí su media y dividiendo entre su desviación típica. En última instancia lo que vamos a hacer

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00:03:12,240 --> 00:03:20,759
es considerar no esta y sino esta z que se va a calcular restándole a x su media n por p y

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00:03:20,759 --> 00:03:26,879
dividiendo entre su desviación típica, red cuadrada de n por p por 1 menos p. Esta variable z así

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00:03:26,879 --> 00:03:33,080
construida va a seguir una distribución normal estándar con media 0 y desviación típica 1.

39
00:03:33,080 --> 00:03:42,800
Cabe preguntarse qué quiere decir eso de n tendiendo infinito, puesto que evidentemente n tendiendo infinito no lo vamos a poder conseguir.

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00:03:43,900 --> 00:03:50,080
Recuerdo que en su momento, hablando de la ley de los grandes números, dije que deberíamos llamarle en realidad ley de los enormemente grandes números,

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00:03:50,259 --> 00:03:57,539
puesto que en realidad, siendo estrictos, eso de que las probabilidades convergen cuando n tende infinito se observa con repeticiones,

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00:03:57,639 --> 00:04:01,740
con un número de repeticiones enormemente grande, mucho más grande del que uno podría esperar.

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00:04:01,740 --> 00:04:16,420
Bueno, pues efectos prácticos y como podéis ver aquí, vamos a empezar a utilizar esta aproximación considerándola suficientemente adecuada, no estrictamente precisa, pero suficientemente adecuada, para valores de n que sean mayores que 10.

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00:04:16,420 --> 00:04:19,860
Y evidentemente, cuanto mayor sea n, mayor que 10, mejor será.

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00:04:21,500 --> 00:04:25,959
Necesitamos que las probabilidades de éxito y de fracaso sean suficientemente próximas a 0,5,

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00:04:26,139 --> 00:04:31,819
puesto que la distribución binomial no lo es, salvo que la probabilidad de éxito sea idénticamente igual a 0,5.

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00:04:32,240 --> 00:04:39,139
Será suficientemente simétrica cuando la probabilidad lo sea, pero suficientemente próxima a 0,5, quiero decir.

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00:04:39,939 --> 00:04:47,680
Esto ocurrirá cuando consideremos que n por p sea mayor que 5 y n por 1 menos p también sea mayor que 5.

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00:04:48,339 --> 00:04:54,300
Dependiendo de qué literatura consultéis o a quién preguntéis, os podéis encontrar con criterios ligeramente distintos.

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00:04:54,300 --> 00:04:58,300
Estos son los más habituales y los que nosotros en bachillerato utilizaremos.

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00:04:58,300 --> 00:05:03,740
utilizaremos. Insisto, consideraremos que n es suficientemente grande y que la binomial es

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00:05:03,740 --> 00:05:12,300
suficientemente simétrica como para poder utilizar esta normal estándar en sustitución de la binomial

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00:05:12,300 --> 00:05:17,060
que sería la correcta cuando el número de repeticiones sea mayor que 10, cuanto mayor mejor,

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00:05:17,779 --> 00:05:26,959
y cuando n por p sea mayor que 5 y n por 1 menos p también. Algo que debemos tener en cuenta es lo

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00:05:26,959 --> 00:05:30,500
que se llama la corrección de continuidad, en este caso la corrección de continuidad

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00:05:30,500 --> 00:05:37,120
de Yates, que consiste en que aunque estemos utilizando una distribución normal no podemos

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00:05:37,120 --> 00:05:44,459
obviar que en realidad estamos partiendo de una distribución binomial. Y nos encontramos

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00:05:44,459 --> 00:05:50,420
con el problema de cómo podemos calcular utilizando la distribución normal la probabilidad

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00:05:50,420 --> 00:05:55,220
de que X binomial tome un valor numérico concreto. En un momento dado nosotros podemos

60
00:05:55,220 --> 00:06:00,019
hacer 10.000 repeticiones de un cierto experimento y nos podemos preguntar por la probabilidad de

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00:06:00,019 --> 00:06:05,379
que haya exactamente 17 éxitos. Si nosotros queremos utilizar una distribución normal no

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00:06:05,379 --> 00:06:11,360
podemos calcular directamente esta probabilidad de que la variable z normal estándar que hayamos

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00:06:11,360 --> 00:06:16,779
construido restándole a x su media y dividiendo entre su desviación típica tome un valor numérico

64
00:06:16,779 --> 00:06:23,839
concreto puesto que en el paso a una distribución continua esa probabilidad para un valor numérico

65
00:06:23,839 --> 00:06:28,800
concreto es 0. Esta discusión la hicimos en el momento en el que hablamos de la función

66
00:06:28,800 --> 00:06:33,560
de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua en la sección 2 de esta

67
00:06:33,560 --> 00:06:39,720
misma unidad. ¿Qué es lo que ocurre? Pues que tenemos que hacer un ajuste para tener

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00:06:39,720 --> 00:06:47,079
en cuenta esto, que estamos pasando de una variable x que va a tomar valores naturales

69
00:06:47,079 --> 00:06:55,319
0, 1, 2, 3, 4 a una variable y normal o bien z normal estándar que toma valores dentro de toda

70
00:06:55,319 --> 00:07:00,420
la recta real. Y la idea es esta. Cada vez que nos preguntemos por la probabilidad de que una

71
00:07:00,420 --> 00:07:06,180
binomial toma un valor numérico concreto, al hacer la transformación por la normal, lo que vamos a

72
00:07:06,180 --> 00:07:13,220
hacer es a este valor x restarle 0,5 como límite inferior y sumarle 0,5 como límite superior y

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00:07:13,220 --> 00:07:19,100
transformar esta probabilidad en un punto concreto por la probabilidad en este intervalo, que insisto

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00:07:19,100 --> 00:07:28,939
construiremos restando y sumando 0,5 a este valor de x. Esto en el caso de y la normal que corresponda

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00:07:28,939 --> 00:07:34,939
con su media y su desviación típica, el equivalente cuando tengamos la normal estándar. En el caso en

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00:07:34,939 --> 00:07:41,600
el que se nos pregunte por una probabilidad de una cola a la izquierda x menor o igual que x0,

77
00:07:41,600 --> 00:07:48,600
lo que haremos será también tomar la probabilidad de una cola de la izquierda, pero a la abstisa le sumaremos 0,5.

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00:07:49,120 --> 00:07:53,379
Cuando la desigualdad sea estricta, le restaremos 0,5.

79
00:07:53,879 --> 00:07:59,040
Cuando se nos pida la probabilidad de una cola de la derecha, x mayor o igual que x0,

80
00:07:59,819 --> 00:08:06,319
cuando la abstisa esté incluida, lo que haremos será poner la probabilidad de que la normal sea mayor o igual que y sub 0,

81
00:08:06,399 --> 00:08:09,579
también va a ser una cola de la derecha, restando 0,5.

82
00:08:09,579 --> 00:08:15,000
Y cuando la desigualdad sea estricta, sin la igualdad, sumaremos 0,5.

83
00:08:15,600 --> 00:08:23,180
Cuando tengamos la probabilidad de un intervalo y los dos extremos estén cerrados, estén incluidos,

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00:08:23,579 --> 00:08:30,699
en los dos extremos, perdón, en el extremo de la izquierda restaremos 0,5 y en el extremo de la derecha sumaremos 0,5.

85
00:08:31,199 --> 00:08:34,100
Aquí abajo vemos el caso en el que los dos extremos estén abiertos.

86
00:08:34,100 --> 00:08:40,120
En ese caso, en el de la izquierda sumaremos 0,5 y en el de la derecha restaremos 0,5.

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00:08:41,220 --> 00:08:48,120
Cuando en la probabilidad de ese intervalo el extremo izquierdo está abierto y el derecho cerrado, en ambos casos sumaremos 0,5.

88
00:08:48,639 --> 00:08:55,279
Cuando el extremo de la izquierda esté cerrado y el de la derecha está abierto, en ambos casos restaremos 0,5.

89
00:08:56,220 --> 00:09:12,620
Teniendo esto en mente, teniendo en cuenta la normalización para poder, la estandarización, perdón, para poder consultar la tabla de la distribución normal-estándar, ya podremos resolver estos ejercicios que resolveremos en clase, probablemente resolveremos en alguna videoclase posterior.

90
00:09:15,789 --> 00:09:21,389
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

91
00:09:22,110 --> 00:09:26,230
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

92
00:09:27,090 --> 00:09:31,809
No dudéis en traer vuestras dudas y inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

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00:09:32,409 --> 00:09:33,769
Un saludo y hasta pronto.