1 00:00:00,050 --> 00:00:05,889 La explicación de la teoría de vectores del tema 7. 2 00:00:06,030 --> 00:00:10,869 Vamos a ver, hemos visto que es un vector, que es multiplicarlo por un escalar 3 00:00:10,869 --> 00:00:14,730 y cómo se suman y se restan vectores. 4 00:00:15,310 --> 00:00:18,269 Vamos a ver qué es la combinación lineal de vectores. 5 00:00:18,829 --> 00:00:24,089 Esta es una cuestión, una operación entre vectores de muchísima importancia, ¿vale? 6 00:00:24,089 --> 00:00:53,390 Porque aquí es donde reside, digamos, lo que nos posibilita hablar de las coordenadas de un vector. Esto que intuitivamente utilizáis en un sistema cartesiano, sistema de ejes cartesianos, que utilizáis y habláis de coordenadas de un vector y de puntos, todo en realidad está fundamentado en esta idea, en el concepto de combinación lineal de vectores. 7 00:00:54,829 --> 00:00:57,630 ¿Qué es la combinación lineal de vectores? 8 00:00:57,810 --> 00:01:00,670 Ya vimos lo que era una combinación lineal de ecuaciones, ¿recordáis? 9 00:01:02,109 --> 00:01:03,409 Es una estructura. 10 00:01:03,549 --> 00:01:08,030 Cuando se habla de combinación lineal de una familia de elementos matemáticos, 11 00:01:08,170 --> 00:01:09,689 estamos hablando de una estructura. 12 00:01:09,689 --> 00:01:15,329 Por ejemplo, una ecuación es lineal cuando tiene esta estructura. 13 00:01:16,849 --> 00:01:21,510 Por ejemplo, ax más bi es una estructura lineal, ¿no? 14 00:01:22,150 --> 00:01:23,750 Es una combinación lineal. 15 00:01:24,090 --> 00:01:31,049 Es un número por una incógnita más otro número por otra incógnita. 16 00:01:31,530 --> 00:01:35,790 ¿Qué es una combinación lineal de ecuaciones cuando hacíamos el método de Gauss, por ejemplo? 17 00:01:36,370 --> 00:01:43,349 Cogías A por la ecuación 1 más B por la ecuación 2 y así lo que fuera. 18 00:01:43,349 --> 00:01:46,250 Esto sería una combinación lineal de la ecuación 1 y 2. 19 00:01:46,250 --> 00:02:12,530 ¿No? Esta misma estructura o concepto adaptado a los vectores nos da lugar a la idea de combinación lineal de vectores. ¿Vale? O sea, dados dos vectores u y v y dos números a y b, el vector au más b por v se dice que es combinación lineal de u y v. 20 00:02:12,530 --> 00:02:30,400 ¿Vale? Es decir, esto es un vector que resulta ser combinación lineal del vector u y el vector v. ¿Se entiende? 21 00:02:30,400 --> 00:02:51,099 Los escalares, en este sentido, son importantes, pero no es determinante. Quiero decir, el hecho de que exista un escalar A y V que verifican esto es lo que confiere esa condición de ser combinación lineal. 22 00:02:51,099 --> 00:02:54,020 ¿Vale? Por ejemplo 23 00:02:54,020 --> 00:02:57,379 Y vamos a ver qué sentido tiene geométrico 24 00:02:57,379 --> 00:02:59,860 Esto de la combinación lineal 25 00:02:59,860 --> 00:03:00,319 ¿Vale? 26 00:03:02,879 --> 00:03:08,960 ¿Qué sentido geométrico tiene el hecho de que un vector sea combinación lineal de otros? 27 00:03:08,960 --> 00:03:14,500 Pues esa es la base, o sea, la almendra del concepto de base de vectores 28 00:03:14,500 --> 00:03:16,580 Que vamos a construir 29 00:03:16,580 --> 00:03:18,159 ¿Vale? Mirad 30 00:03:18,159 --> 00:03:20,340 Yo tengo aquí el vector x 31 00:03:20,340 --> 00:03:22,560 Y el vector y 32 00:03:22,560 --> 00:03:39,580 ¿Se ve? Pues bien, este vector lo puedo expresar como combinación lineal de X y de Y. 33 00:03:40,639 --> 00:03:49,139 Porque V sería 3 veces X, es este vector, más este. 34 00:03:49,520 --> 00:03:51,979 ¿Estamos de acuerdo? ¿Se ve o no? 35 00:03:51,979 --> 00:03:55,620 que es 3 veces x más 36 00:03:55,620 --> 00:03:58,560 aquí lo que hay es 37 00:03:58,560 --> 00:04:01,520 2 veces y media y 38 00:04:01,520 --> 00:04:03,819 ¿se entiende? 39 00:04:04,599 --> 00:04:05,719 ¿se entiende o no? 40 00:04:06,520 --> 00:04:10,439 pues mirad, v se dice en este caso 41 00:04:10,439 --> 00:04:12,460 que es combinación lineal de x y de y 42 00:04:12,460 --> 00:04:16,670 porque existe una estructura 43 00:04:16,670 --> 00:04:20,730 de combinación lineal aplicado a x e y 44 00:04:20,730 --> 00:04:22,009 que me da como resultado v 45 00:04:22,009 --> 00:04:36,689 ¿Se entiende o no? En definitiva, existen dos escalares, a y b, en este caso es 3 y 2,5, que construyendo una combinación lineal con los vectores x e y me da lugar al vector v. 46 00:04:36,689 --> 00:04:51,899 Por eso se dice que v es un vector que es combinación lineal de x y de y. ¿Se ha entendido? ¿Por qué es esto importante? 47 00:04:51,899 --> 00:04:58,899 Mirad, ¿por qué es importante esta idea de combinación lineal? 48 00:05:00,620 --> 00:05:02,680 Bien, ¿por qué es importante esta idea? 49 00:05:03,060 --> 00:05:06,300 Porque me permite hablar de coordenadas 50 00:05:06,300 --> 00:05:11,220 Porque cuando vosotros 51 00:05:11,220 --> 00:05:14,459 Me voy a adelantar un poco a lo que quiero 52 00:05:14,459 --> 00:05:17,819 Aunque quiero que luego vayamos despacio 53 00:05:17,819 --> 00:05:37,810 Pero lo que yo quiero explicar es cómo construir un sistema cartesiano como este. ¿Este punto qué coordenadas tiene? Uno, dos. 54 00:05:37,810 --> 00:05:47,829 Pero en realidad, mirad lo que es en realidad. Esto es un vector que indica esa posición, ¿a que sí? 55 00:05:47,829 --> 00:06:11,370 Y a su vez, respecto de este sistema de vectores, este vector, si este es I y este es el vector J, este vector es combinación lineal de I y de J. 56 00:06:11,370 --> 00:06:37,870 ¿Y qué combinación lineal es? Este es el vector v, que sería 1 por i más 2 por j, ¿sí o no? Y resulta que estos escalares son lo que hemos llamado después coordenadas del punto. 57 00:06:37,870 --> 00:06:52,250 ¿Os dais cuenta? En el fondo lo que estamos es construyendo el concepto de coordenada y también de base de vectores para poder hablar de puntos. ¿Me estáis entendiendo? 58 00:06:52,250 --> 00:07:07,709 Por ejemplo, volvamos al ejercicio anterior. Claro, resulta que los sistemas de ejes, para hablar del espacio, no tienen por qué ser así tan regular como esto. 59 00:07:07,709 --> 00:07:18,949 Veremos que en este caso, por ejemplo, el vector x y el vector y, que serían este y este 60 00:07:18,949 --> 00:07:21,250 ¿Se ve? ¿Se ve o no? 61 00:07:22,009 --> 00:07:26,209 Pues forman una base de vectores 62 00:07:26,209 --> 00:07:30,139 ¿Y qué es una base de vectores? 63 00:07:30,139 --> 00:07:40,600 Pues es un sistema de vectores, de manera que haciendo combinaciones lineales con ellos 64 00:07:40,600 --> 00:07:58,839 Puedo expresar cualquier vector del espacio. ¿Entendéis o no? Por ejemplo, por eso es importante el concepto de combinación lineal. ¿Este vector lo puedo expresar como combinación lineal de este y este? 65 00:07:58,839 --> 00:08:19,600 Sí. Cualquier vector, cualquier vector, este, ¿lo puedo expresar como combinación lineal de X e Y? Sí. Este también. Será dando la vuelta a X, lo que haga falta, ¿entendéis o no? 66 00:08:19,600 --> 00:08:43,419 Eso confiere a los vectores X e Y la condición de ser base de vectores. Es una base porque a partir de ellos, mediante combinaciones lineales, puedo acceder a cualquier vector del plano. 67 00:08:44,399 --> 00:08:45,360 ¿Os dais cuenta o no? 68 00:08:46,340 --> 00:08:53,600 Por ejemplo, respecto de esta base, este vector v, ¿qué coordenadas va a tener? 69 00:08:55,399 --> 00:09:00,320 ¿Cuáles son las coordenadas de este vector v respecto de la base de vectores x e y? 70 00:09:01,759 --> 00:09:03,299 3 y 2,5. 71 00:09:04,820 --> 00:09:06,019 ¿Se entiende la idea? 72 00:09:07,059 --> 00:09:12,600 Insisto, es que no tiene por qué ser así, ortogonal. 73 00:09:13,419 --> 00:09:27,419 Orto-normal, que se dice, esto sería una base orto-normal. No tiene por qué ser tan regular como estamos acostumbrados a trabajar, ¿os dais cuenta o no? Por lo tanto, termino porque es importante. ¿Qué es una base de vectores? 74 00:09:27,419 --> 00:09:45,049 Es un conjunto de vectores a partir de los cuales, mediante combinaciones lineales de ellos, puedo obtener cualquier vector del plano o del espacio con el que esté trabajando. 75 00:09:45,529 --> 00:09:46,429 ¿Os dais cuenta o no?