1
00:00:00,110 --> 00:00:09,429
Vamos con el ejercicio 3. Es una función racional y os pido máximos y mínimos, crecimiento y decrecimiento, es decir, la monotonía y los puntos críticos.

2
00:00:10,009 --> 00:00:23,710
Normalmente, aunque se lo he puesto como un único ejercicio, esto suele ser un único apartado, pero bueno, para facilitaros un poquito ya que habéis tenido menos clases, pues lo he puesto simplemente como un ejercicio.

3
00:00:24,550 --> 00:00:28,250
Os recuerdo que se pueden calcular primeramente los máximos y mínimos

4
00:00:28,250 --> 00:00:31,329
y luego los intervalos de crecimiento a partir de ellos

5
00:00:31,329 --> 00:00:36,250
o calcular el crecimiento y crecimiento y a partir de ellos los máximos y mínimos.

6
00:00:36,750 --> 00:00:38,009
¿Qué es lo que vamos a hacer?

7
00:00:38,109 --> 00:00:40,829
Pues sobre la marcha dependiendo de los valores que obtengamos.

8
00:00:41,369 --> 00:00:43,289
Lo primero siempre, al ser una función racional,

9
00:00:43,729 --> 00:00:45,869
lo primero que voy a tener en cuenta es calcular su dominio.

10
00:00:46,670 --> 00:00:50,270
El dominio van a ser siempre todos los reales salvo donde se anula el denominador.

11
00:00:50,270 --> 00:00:57,649
Pero el denominador es x cuadrado más 1. Si yo hago esto igual a 0, ¿qué ocurre? Que esto nunca va a ser 0, ¿verdad?

12
00:00:58,070 --> 00:01:02,549
Porque me queda x cuadrado igual a menos 1. Esto no tiene solución.

13
00:01:03,630 --> 00:01:10,930
Por lo tanto, ¿esto qué quiere decir? Que el dominio de f de x van a ser los números reales, ¿vale?

14
00:01:11,170 --> 00:01:13,129
Es decir, no vamos a tener ninguna asíntota vertical.

15
00:01:14,290 --> 00:01:18,189
Esto lo tenemos que tener siempre en cuenta para mirar los intervalos de crecimiento y decrecimiento

16
00:01:18,189 --> 00:01:21,530
para ver si tenemos que ir parándonos en algún sitio.

17
00:01:21,629 --> 00:01:23,510
En este caso es todo perfecto.

18
00:01:23,989 --> 00:01:30,209
Vale, pues lo primero vamos a calcular, siempre lo hagamos tanto crecimiento como monotonía como puntos críticos,

19
00:01:30,310 --> 00:01:33,209
lo primero es ver cuándo la derivada es cero.

20
00:01:33,890 --> 00:01:36,069
Entonces vamos a calcular lo primero, la derivada primera.

21
00:01:37,109 --> 00:01:42,189
f' de x es un cociente de funciones, empezamos derivando.

22
00:01:42,189 --> 00:01:56,230
En el numerador, derivada del numerador, que es 2x, por el denominador sin derivar, por x cuadrado más 1, menos numerador sin derivar, x cuadrado menos 1, por la derivada del denominador, que también es 2x.

23
00:01:57,030 --> 00:02:02,469
Todo ello partido por el cuadrado del denominador, x cuadrado más 1, al cuadrado.

24
00:02:02,469 --> 00:02:14,310
Operamos el numerador y me queda 2x cubo más 2x menos 2x cubo más 2x, ¿vale?

25
00:02:14,310 --> 00:02:19,509
Estoy multiplicando este 2x por todo y teniendo en cuenta este signo menos, ¿vale?

26
00:02:20,909 --> 00:02:26,930
Partido por, no desarrollo, ¿vale? Lo dejo x cuadrado más 1 al cuadrado.

27
00:02:26,930 --> 00:02:36,750
los cubos se me van y que me queda 4x partido por x cuadrado más 1 al cuadrado

28
00:02:36,750 --> 00:02:38,509
¿y yo qué es lo que quiero?

29
00:02:38,509 --> 00:02:43,030
yo lo que quiero es que f' de x sea 0

30
00:02:43,030 --> 00:02:51,990
por lo tanto lo que quiero es que 4x partido por x cuadrado más 1 al cuadrado sea 0

31
00:02:51,990 --> 00:02:55,969
y de aquí lo que me queda, quitamos el del mirador para seguir multiplicando

32
00:02:55,969 --> 00:03:04,389
me queda que 4x es 0, o lo que es lo mismo, que x es igual a 0. Pues este es el único

33
00:03:04,389 --> 00:03:10,389
punto crítico que vamos a tener, es decir, o hay un máximo o hay un mínimo, ¿vale?

34
00:03:10,409 --> 00:03:14,930
Pero no puede haber uno de cada porque solamente tenemos un punto crítico. Para ver si es

35
00:03:14,930 --> 00:03:19,870
máximo o mínimo, ¿qué podríamos hacer? Derivada segunda. A ver, no es difícil hacer

36
00:03:19,870 --> 00:03:25,030
la derivada segunda de este cociente, pero a lo mejor nos puede dar pereza. Entonces,

37
00:03:25,030 --> 00:03:34,250
¿Qué es lo que vamos a hacer? Ya que me están pidiendo todo y además sabemos que el dominio es R, yo lo que voy a mirar exactamente es primero la monotonía.

38
00:03:35,449 --> 00:03:45,810
Voy a ver dónde crece y dónde decrece, es decir, yo tengo aquí mi recta, aquí tengo el 0, aquí tengo el más infinito y aquí tengo el menos infinito.

39
00:03:45,810 --> 00:03:48,750
y lo que quiero ver es cuando la función

40
00:03:48,750 --> 00:03:52,629
dependiendo de lo que hace la f' de x

41
00:03:52,629 --> 00:03:58,930
así hará la f de x

42
00:03:58,930 --> 00:04:02,509
entonces aquí lo único que podemos hacer

43
00:04:02,509 --> 00:04:04,270
es mirar una inequación

44
00:04:04,270 --> 00:04:06,050
es resolver la inequación

45
00:04:06,050 --> 00:04:08,409
¿qué podemos hacer?

46
00:04:08,530 --> 00:04:10,349
directamente coger un valor intermedio

47
00:04:10,349 --> 00:04:12,349
ya sabéis que yo tiendo a factorizar

48
00:04:12,349 --> 00:04:13,349
y poner cada trocito

49
00:04:13,349 --> 00:04:22,329
pero bueno, podemos coger un valor intermedio, aquí el menos 1 y aquí el 1, y sustituir en la función, para ver el signo de la derivada.

50
00:04:22,949 --> 00:04:28,089
El denominador siempre es positivo, porque está al cuadrado, ¿vale? Por lo tanto me olvido de él.

51
00:04:28,569 --> 00:04:35,550
Me fijo en el numerador, obviamente a la izquierda en el menos 1 esto es negativo, y a la derecha va a ser positivo.

52
00:04:36,290 --> 00:04:41,529
Por lo tanto con esto nosotros ya que sabemos que si la derivada es negativa es que la función es decreciente,

53
00:04:41,529 --> 00:04:44,970
y si la derivada es positiva es que la función es creciente.

54
00:04:45,910 --> 00:04:52,730
Y si sabemos que el dominio es r, y como es una función racional también sabemos o sabremos en breve,

55
00:04:53,329 --> 00:04:57,199
esto significa que es continua en r, ¿vale?

56
00:04:57,560 --> 00:05:01,920
Ya que es continua, o sea que no se anula ningún punto, también va a ser continua en r.

57
00:05:03,160 --> 00:05:07,339
¿Eso qué significa? Pues que si viene decreciendo para luego crecer,

58
00:05:07,339 --> 00:05:11,620
el punto x igual 0 va a ser un mínimo.

59
00:05:11,620 --> 00:05:14,100
¿Vale? Mínimo relativo

60
00:05:14,100 --> 00:05:19,519
Entonces fijaos que haciendo de esta manera voy a resolver o voy a contestar a las dos opciones

61
00:05:19,519 --> 00:05:21,540
Es decir, ¿qué es lo que vamos a tener?

62
00:05:22,040 --> 00:05:25,959
Que x igual 0 es un mínimo relativo

63
00:05:25,959 --> 00:05:28,699
Es un mínimo relativo

64
00:05:28,699 --> 00:05:31,120
Siento escribir tan mal, ¿vale?

65
00:05:31,120 --> 00:05:34,379
Y puedo calcular incluso las coordenadas

66
00:05:34,379 --> 00:05:40,779
El punto es 0, sustituyo en la función y me queda menos 1 entre 1, menos 1

67
00:05:40,779 --> 00:05:41,459
¿Vale?

68
00:05:41,620 --> 00:05:44,000
Esto por un lado

69
00:05:44,000 --> 00:05:44,660
Y luego

70
00:05:44,660 --> 00:05:47,180
Intervalos de

71
00:05:47,180 --> 00:05:49,100
Decrecimiento

72
00:05:49,100 --> 00:05:55,060
¿Dónde decrece?

73
00:05:55,339 --> 00:05:57,420
Pues de menos infinito

74
00:05:57,420 --> 00:05:58,600
Al cero

75
00:05:58,600 --> 00:06:00,060
Y aquí siempre abierto, ¿vale?

76
00:06:00,100 --> 00:06:01,639
Porque en un punto ni crece ni decrece

77
00:06:01,639 --> 00:06:03,319
De hecho, es el mínimo

78
00:06:03,319 --> 00:06:04,519
Y luego

79
00:06:04,519 --> 00:06:06,100
Intervalos

80
00:06:06,100 --> 00:06:07,899
Decrecimiento

81
00:06:07,899 --> 00:06:12,839
Vaya, que me quedo sin batería

82
00:06:12,839 --> 00:06:14,639
A ver si me da tiempo a terminar

83
00:06:14,639 --> 00:06:19,660
Decrecimiento sería de 0 a infinito, ¿vale?

84
00:06:19,660 --> 00:06:23,980
Y ya estaría hecho el ejercicio y me he evitado hacer una segunda derivada.