1
00:00:00,000 --> 00:00:12,560
Vamos a utilizar GeoGebra para comprobar la existencia del balicentro y estudiar su propiedad

2
00:00:12,560 --> 00:00:13,880
fundamental.

3
00:00:13,880 --> 00:00:18,760
Al finalizar la construcción dinámica veremos que la existencia de este punto y su propiedad

4
00:00:18,760 --> 00:00:24,480
no dependen de la forma del triángulo.

5
00:00:24,480 --> 00:00:29,960
Partimos de un triángulo cualquiera en el plano que no tenga especiales características.

6
00:00:29,960 --> 00:00:45,440
Vamos a dibujar los lados de este triángulo y vamos a nombrarlos correctamente.

7
00:00:45,440 --> 00:00:51,200
Este lado F es el que está frente al vértice C por lo tanto lo debemos nombrar con una

8
00:00:51,200 --> 00:00:52,200
c minúscula.

9
00:00:53,200 --> 00:01:00,680
El lado G lo debemos renombrar con una letra a minúscula al estar enfrente del vértice

10
00:01:00,680 --> 00:01:08,160
A. Y este lado H lo podemos renombrar con una b minúscula al ser el lado que está

11
00:01:08,160 --> 00:01:14,080
opuesto al vértice.

12
00:01:14,080 --> 00:01:17,520
Una vez que tenemos dibujado este triángulo, que como digo es un triángulo que no tiene

13
00:01:17,520 --> 00:01:23,360
especiales características, no es un triángulo rectángulo, no es un triángulo equilátero,

14
00:01:23,360 --> 00:01:29,160
es un triángulo en principio cualquiera, recordamos cuál es la definición de balicentro.

15
00:01:29,160 --> 00:01:33,160
El balicentro de un triángulo de vértices A, B y C es el punto en el que se cortan las

16
00:01:33,160 --> 00:01:34,160
medianas.

17
00:01:34,160 --> 00:01:38,880
Bien, y recordamos también que la mediana es la recta que une cada vértice con el punto

18
00:01:38,880 --> 00:01:40,760
medio del lado opuesto.

19
00:01:40,760 --> 00:01:45,120
Entonces para dibujar estas medianas lo primero que vamos a calcular es el punto medio de

20
00:01:45,120 --> 00:01:50,040
cada uno de los lados del triángulo.

21
00:01:50,040 --> 00:01:56,480
Seleccionamos entonces la herramienta de punto medio y calculamos el punto medio del lado

22
00:01:56,480 --> 00:02:03,400
AB, el punto medio del lado BC y el punto medio del lado AC.

23
00:02:03,400 --> 00:02:15,720
Bien, nuevamente vamos a etiquetar correctamente estos puntos.

24
00:02:15,720 --> 00:02:26,240
Este punto D lo vamos a renombrar como el punto medio con la L mayúscula del lado A.

25
00:02:26,240 --> 00:02:41,680
Este punto F lo vamos a renombrar como el punto medio del lado B y este punto E lo vamos

26
00:02:41,680 --> 00:02:47,800
a renombrar como el punto medio del lado A mayúscula.

27
00:02:47,800 --> 00:03:00,160
Vale, aquí he puesto un 1 pero debe ser el punto medio del lado C.

28
00:03:00,160 --> 00:03:06,000
Con los lados correctamente etiquetados y los puntos medios correctamente etiquetados

29
00:03:06,000 --> 00:03:08,280
construimos ahora las medianas.

30
00:03:08,280 --> 00:03:12,920
Las medianas son aquellas rectas que pasan por cada uno de los vértices y el punto medio

31
00:03:12,920 --> 00:03:13,920
del lado opuesto.

32
00:03:14,480 --> 00:03:19,360
Así que vamos a escoger la herramienta de recta y vamos a construir la primera mediana

33
00:03:19,360 --> 00:03:29,480
sobre el lado A, la segunda mediana sobre el lado B, la tercera mediana sobre el lado

34
00:03:29,480 --> 00:03:30,480
C.

35
00:03:31,480 --> 00:03:46,480
Vale, para no perder de vista el triángulo vamos a cambiar los colores de estos lados

36
00:03:46,480 --> 00:03:55,640
para verlo con más claridad y distinguir cuál es el triángulo y cuáles son las medianas.

37
00:03:55,640 --> 00:04:14,560
Las medianas las vamos a pintar de rojo y las vamos a renombrar con su nombre característico.

38
00:04:14,560 --> 00:04:18,040
Como son rectas las nombramos con una letra minúscula.

39
00:04:18,040 --> 00:04:32,360
Esta mediana sobre el lado B la vamos a denominar mediana sobre el lado o sobre el vértice B

40
00:04:32,360 --> 00:04:36,240
con la letra minúscula.

41
00:04:36,240 --> 00:04:42,680
Esta mediana es la que pasa por el vértice A, la voy a renombrar y la voy a llamar con

42
00:04:42,680 --> 00:04:47,400
la letra minúscula porque es una recta, M de mediana, A porque pasa por el vértice

43
00:04:47,400 --> 00:04:59,280
A, aquí está su etiqueta y esta que es la H la voy a renombrar y va a ser la mediana

44
00:04:59,280 --> 00:05:13,640
que pasa por el vértice C. De manera que tengo las medianas dibujadas.

45
00:05:13,640 --> 00:05:20,480
Y ahora si calculo la intersección de estas rectas 2 a 2, calculo la intersección, por

46
00:05:21,480 --> 00:05:30,000
ejemplo, de la primera mediana con otra de ellas, veo que esta intersección determina

47
00:05:30,000 --> 00:05:32,520
un punto y que las tres medianas pasan por ese punto.

48
00:05:32,520 --> 00:05:39,160
Bueno, pues ese punto D que lo voy a renombrar con la letra G que es la que sirve para nombrar

49
00:05:39,160 --> 00:05:45,440
el baricentro, es el baricentro que estábamos buscando y lo vamos a pintar de color verde

50
00:05:45,440 --> 00:05:50,040
para que quede marcado.

51
00:05:50,040 --> 00:05:54,280
Una vez que tenemos dibujado el baricentro, vamos a recordar cuál es la propiedad fundamental

52
00:05:54,280 --> 00:05:55,280
del baricentro.

53
00:05:55,280 --> 00:06:00,080
La propiedad fundamental del baricentro lo que nos dice es que este baricentro divide

54
00:06:00,080 --> 00:06:04,320
a cada una de las medianas en dos partes, de tal manera que la distancia del baricentro

55
00:06:04,320 --> 00:06:10,640
a cada vértice es el doble de la distancia de ese mismo baricentro al punto medio del

56
00:06:10,640 --> 00:06:15,000
lado o lo que se llama también pie de la media.

57
00:06:15,000 --> 00:06:19,080
Entonces lo que vamos a hacer a continuación es calcular estas distancias del baricentro

58
00:06:19,080 --> 00:06:26,640
a cada uno de los vértices y a cada uno de los pies y ver cómo esas distancias son

59
00:06:26,640 --> 00:06:31,920
siempre el doble la distancia del baricentro al vértice que la del baricentro al pie.

60
00:06:31,920 --> 00:06:33,400
Comenzamos con el vértice A.

61
00:06:33,400 --> 00:06:40,320
En el vértice A vamos a dibujar un primer segmento que es el que une el vértice A con

62
00:06:40,320 --> 00:06:42,080
el baricentro.

63
00:06:42,080 --> 00:06:51,000
Este sería el segmento F y vamos a pintar un segundo segmento que es el que une el baricentro

64
00:06:51,000 --> 00:06:54,840
con el pie de la media, que sería el segmento G.

65
00:06:54,840 --> 00:07:16,360
Y a continuación vamos a hacer una relación 1 que vamos a definir como F entre G y esa

66
00:07:16,360 --> 00:07:23,680
relación es 2, lo que nos quiere decir que F es el doble de G.

67
00:07:23,680 --> 00:07:32,080
Vamos a colocar aquí unas etiquetas, tenemos la medida de F que vamos a colocar aquí,

68
00:07:32,080 --> 00:07:41,440
la medida del segmento G que vamos a colocar aquí y la medida de esta primera relación

69
00:07:41,440 --> 00:07:48,720
en la que vemos que F sería la distancia desde el baricentro al vértice es el doble

70
00:07:48,720 --> 00:07:53,760
de la distancia desde el baricentro al pie de la mediana A.

71
00:07:53,760 --> 00:08:00,520
A continuación repetimos esta misma operación con el vértice B.

72
00:08:00,520 --> 00:08:08,080
En el vértice B definimos la distancia desde B hasta el baricentro y la distancia desde

73
00:08:08,080 --> 00:08:17,400
el baricentro hasta el pie de la mediana, son distancias H e I.

74
00:08:17,400 --> 00:08:29,240
Vamos ahora a sacar esta etiqueta de la medida de H, podemos sacar esta etiqueta de la medida

75
00:08:29,240 --> 00:08:51,840
de I. Y a continuación podemos definir una segunda

76
00:08:51,840 --> 00:09:10,120
relación sería la relación 2 que la vamos a definir como el cociente de H entre I, ese

77
00:09:10,120 --> 00:09:19,400
cociente debería darnos igualmente 2, lo que nos indica que en la mediana B también

78
00:09:19,400 --> 00:09:25,680
se cumple la propiedad del baricentro. Por último vamos a estudiar esa relación

79
00:09:25,680 --> 00:09:34,560
de la mediana C, definimos la distancia entre el baricentro y el vértice C, la distancia

80
00:09:34,560 --> 00:09:42,480
entre el pie de la mediana y el baricentro, son las longitudes J y K, vamos a colocar

81
00:09:42,480 --> 00:09:54,160
la longitud J aquí para poder verla bien, vamos a comprobar aquí la longitud K para

82
00:09:54,160 --> 00:09:59,440
poder verla bien y nuevamente definimos una relación, en este caso va a ser la relación

83
00:09:59,440 --> 00:10:12,840
3 que queda definida como J entre K y esa relación vuelve a ser 2. Bien, entonces tenemos

84
00:10:12,840 --> 00:10:18,680
el baricentro y tenemos la propiedad del baricentro comprobada. ¿Qué nos faltaría por ver?

85
00:10:18,680 --> 00:10:22,760
Nos faltaría por ver que la existencia de ese baricentro no depende de la forma del

86
00:10:22,760 --> 00:10:27,280
triángulo y que sea cual sea la forma del triángulo la propiedad del baricentro se

87
00:10:27,280 --> 00:10:35,000
cumple, es decir, que aunque estas longitudes F, G, H, I, J y K cambien, siempre la relación

88
00:10:35,000 --> 00:10:42,400
entre la distancia del baricentro al vértice con la distancia del baricentro al pie de

89
00:10:42,400 --> 00:10:48,840
la mediana siempre es la misma, es decir, una de las distancias es el doble de la otra.

90
00:10:48,840 --> 00:10:54,040
Bueno, a continuación entonces aprovechando la capacidad de geometría dinámica que tiene

91
00:10:54,200 --> 00:11:00,120
GeoGebra vamos a comprobar que moviendo los vértices de ese triángulo y cambiando su

92
00:11:00,120 --> 00:11:09,040
forma no cambia ni la existencia del baricentro ni su propiedad. Selecciono este vértice C y al

93
00:11:09,040 --> 00:11:18,760
moverlo observo por un lado que el baricentro siempre existe, esas tres rectas se cortan

94
00:11:18,760 --> 00:11:26,480
siempre en un punto y observo también que por mucho que yo cambie la forma del triángulo las

95
00:11:26,480 --> 00:11:33,520
longitudes de los segmentos F, G, H, I, J y K van cambiando pero siempre los segmentos que están

96
00:11:33,520 --> 00:11:39,000
en la parte de arriba tienen una longitud que es el doble de la que está en la parte de abajo.

97
00:11:39,000 --> 00:11:45,400
Recordamos que los segmentos que están en la parte de arriba F, H y J son estos segmentos de aquí

98
00:11:45,920 --> 00:11:56,360
que los podemos pintar en un color por ejemplo amarillo y los segmentos que están en la parte

99
00:11:56,360 --> 00:12:01,440
de abajo son estos segmentos de aquí que los voy a pintar por ejemplo en rosa

100
00:12:04,760 --> 00:12:11,200
y la idea es que siempre el segmento amarillo tiene una longitud que es el doble al segmento

101
00:12:11,200 --> 00:12:19,320
rosa correspondiente. Si volvemos a dejar el triángulo fijo lo voy a fijar por ejemplo aquí

102
00:12:19,320 --> 00:12:26,320
podemos observar una última propiedad del baricentro y es que cuando unimos los pies

103
00:12:29,240 --> 00:12:34,520
de esas tres medianas se genera en el interior del triángulo un nuevo triángulo que se llama

104
00:12:34,520 --> 00:12:42,440
triángulo mediano que es semejante al triángulo original y cuyo área es la cuarta parte del área

105
00:12:42,440 --> 00:12:49,760
del triángulo original. Nuevamente si movemos el triángulo original observamos que ese triángulo

106
00:12:49,760 --> 00:12:55,360
mediano sigue existiendo y sigue cumpliendo la misma propiedad. Ambos triángulos, el triángulo

107
00:12:55,360 --> 00:12:58,440
original y el triángulo mediano comparten el mismo baricentro.

108
00:13:04,520 --> 00:13:06,520
Más información www.alimmenta.com