1 00:00:00,300 --> 00:00:06,879 Hola chicas, hola chicos, vamos a ver una de las formas que hay de calcular la distancia de un punto a un plano. 2 00:00:07,379 --> 00:00:12,460 Bueno, entonces partimos de un plano del cual suponemos que tenemos la ecuación general, que está escrito ahí todo en verde, 3 00:00:12,640 --> 00:00:19,760 el plano es ecuación general, tenemos un punto del cual conocemos sus coordenadas x0 y z0, que está dibujado en azul, 4 00:00:20,519 --> 00:00:26,559 y lo que queremos calcular es la distancia del punto al plano, que sería la longitud del segmento marrón que he dibujado ahí. 5 00:00:27,379 --> 00:00:30,559 Bueno, entonces, mirad, para hacer esto vamos a proceder de la siguiente manera. 6 00:00:30,699 --> 00:00:33,640 Vamos a coger otro punto del plano, ¿vale? 7 00:00:33,740 --> 00:00:40,340 Otro punto del plano que vamos a llamar Q, por ejemplo, que tiene coordenadas x1, y1, z1. 8 00:00:40,640 --> 00:00:43,359 ¿Vale? ¿Cómo encuentro ese punto del plano? 9 00:00:43,420 --> 00:00:48,820 Lo voy a poner bien, Q, pues a partir de la ecuación puedo dar, por ejemplo, valores a dos de las variables, 10 00:00:49,280 --> 00:00:50,820 los que yo quiera, y despejar la otra. 11 00:00:51,060 --> 00:00:52,740 Y así encuentro cualquier punto del plano. 12 00:00:53,820 --> 00:00:56,380 Y con ese punto vamos a formar este rectángulo. 13 00:00:56,380 --> 00:01:20,840 Voy a unir estos dos puntos, lo voy a hacer mejor con línea discontinua, voy a unir estos dos puntos, ¿vale? Voy a coger el vector normal del plano, ¿vale? El vector normal que tiene coordenadas ABC, ¿vale? Los tres coeficientes y en esa dirección voy a dibujar la recta y luego voy a dibujar la paralela a la de abajo, ¿vale? Y ahí tendrá un rectangulito. 14 00:01:20,840 --> 00:01:24,620 fijaros, los dos lados del rectángulo son iguales 15 00:01:24,620 --> 00:01:28,040 con lo cual lo que yo voy a hacer es calcular esta otra distancia de aquí 16 00:01:28,040 --> 00:01:30,620 la longitud de ese otro lado 17 00:01:30,620 --> 00:01:35,120 y para eso voy a coger también el vector QP 18 00:01:35,120 --> 00:01:39,079 el vector que une los dos puntos, el punto del plano que yo he elegido 19 00:01:39,079 --> 00:01:42,459 y el punto del que quiero calcular la distancia 20 00:01:42,459 --> 00:01:49,180 fijaros, las coordenadas del vector QP serán las de P menos las de Q 21 00:01:49,180 --> 00:01:51,239 x sub cero menos x sub uno 22 00:01:51,239 --> 00:01:53,319 y sub cero menos y sub uno 23 00:01:53,319 --> 00:01:55,840 z sub cero menos z sub uno 24 00:01:55,840 --> 00:01:57,379 de acuerdo, bueno 25 00:01:57,379 --> 00:01:59,400 y ahora para hallar este lado del rectángulo 26 00:01:59,400 --> 00:02:01,579 voy a aprovechar que aquí tengo un triángulo 27 00:02:01,579 --> 00:02:03,359 rectángulo, si aquí tengo 28 00:02:03,359 --> 00:02:04,859 un ángulo alfa 29 00:02:04,859 --> 00:02:07,480 vale, fijaros, lo que vamos a hacer es 30 00:02:07,480 --> 00:02:09,300 realmente es proyectar el vector 31 00:02:09,300 --> 00:02:11,219 qp en la dirección de n 32 00:02:11,219 --> 00:02:13,500 pero si, por si no os acordáis como se hace eso 33 00:02:13,500 --> 00:02:15,319 lo voy a hacer desde el principio, vale 34 00:02:15,319 --> 00:02:17,500 entonces, si me fijo en este triángulo 35 00:02:17,500 --> 00:02:22,599 rectángulo puedo aplicar la definición de las razones trigonométricas y ahí tendría que el 36 00:02:22,599 --> 00:02:28,659 coseno de ese ángulo alfa que es dibujado es el cateto contiguo fijaros que el cateto contiguo 37 00:02:28,659 --> 00:02:33,879 es este lado del rectángulo que es igual que ese que es la distancia que quiero calcular sería la 38 00:02:33,879 --> 00:02:39,879 distancia del punto al plano partido por la hipotenusa y la hipotenusa de este rectángulo 39 00:02:39,879 --> 00:02:56,460 es esa de ahí, es el módulo del vector QP, ¿vale? De ahí puedo sacar que la distancia del punto al plano, si despejo, es el módulo del vector QP por el coseno del ángulo que forman. 40 00:02:56,580 --> 00:03:02,520 Y vamos a aparcar aquí este resultado que lo vamos a tratar un poquito más, lo vamos a utilizar un poquito más tarde. 41 00:03:02,520 --> 00:03:07,400 vale, fijaros, ahora vamos a hacer el producto escalar del vector n 42 00:03:07,400 --> 00:03:11,699 el vector normal del plano, este que tenemos aquí, por el vector qp 43 00:03:11,699 --> 00:03:15,580 vale, si yo aplico la definición del producto escalar 44 00:03:15,580 --> 00:03:20,400 esto sería módulo de n por módulo del vector qp 45 00:03:20,400 --> 00:03:23,060 por el coseno del ángulo que forma 46 00:03:23,060 --> 00:03:25,800 vale, pero si os fijáis, voy a cambiar de color 47 00:03:25,800 --> 00:03:29,479 si os fijáis, esto de aquí es lo mismo que tengo aquí 48 00:03:29,479 --> 00:03:34,419 es decir, es la distancia del punto P al plano pi 49 00:03:34,419 --> 00:03:36,300 por lo cual cambiando de color otra vez 50 00:03:36,300 --> 00:03:44,199 me queda que el producto escalar de n por QP es igual al módulo de n 51 00:03:44,199 --> 00:03:47,780 por la distancia de P a pi 52 00:03:47,780 --> 00:03:51,080 y aquí tenemos que hacer una precisión 53 00:03:51,080 --> 00:03:57,120 fijaros, yo aquí como siempre he dibujado todos los vectores en el orden que me conviene 54 00:03:57,120 --> 00:04:09,860 Pero, por ejemplo, cuando cojo el vector normal no sé si he cogido ese o he cogido este otro que está en la otra dirección y entonces el ángulo en cuestión ya no sería ese alfa sino sería este otro que son suplementarios, ¿vale? 55 00:04:09,900 --> 00:04:12,460 Y el coseno me saldría con signo contrario. 56 00:04:13,659 --> 00:04:16,639 Pero ya sabéis que la distancia no puede ser negativa, ¿vale? 57 00:04:16,699 --> 00:04:22,500 Si aquí el producto escalar me sale negativo, la distancia me saldría negativa y eso no tiene sentido, ¿vale? 58 00:04:22,500 --> 00:04:25,579 Eso sería porque estoy cogiendo el vector que no es. 59 00:04:25,579 --> 00:04:43,379 Y como evitamos eso siempre, pues poniendo aquí el valor absoluto y haciendo que el producto escalar siempre me salga positivo, pues eso que esos dos ángulos tienen el mismo coseno, ¿vale? Y lo que me interesa es el valor absoluto. Si he cogido el ángulo equivocado, pues con el valor absoluto remedio la situación. 60 00:04:43,379 --> 00:04:51,259 vale, entonces teniendo eso en cuenta yo de aquí ya puedo despejar la distancia del punto al plano 61 00:04:51,259 --> 00:04:58,240 y me quedaría que es el módulo de, perdón, el valor absoluto de este producto escalar 62 00:04:58,240 --> 00:05:03,939 partido por el módulo del vector n, vale, y vamos a ver cuánto vale eso 63 00:05:03,939 --> 00:05:09,899 vale, voy a empezar por el numerador, voy a calcular este producto escalar 64 00:05:09,899 --> 00:05:14,959 vale, fijaros que n es el vector normal del plano 65 00:05:14,959 --> 00:05:18,060 que tiene coordenadas abc 66 00:05:18,060 --> 00:05:21,399 y el vector pq 67 00:05:21,399 --> 00:05:24,100 perdón, no sé por qué estoy poniendo pq 68 00:05:24,100 --> 00:05:26,500 lo voy a corregir un momento porque es qp 69 00:05:26,500 --> 00:05:28,420 lo he cambiado de sentido sin querer 70 00:05:28,420 --> 00:05:32,439 vale, los borramos y los volvemos a escribir 71 00:05:32,439 --> 00:05:34,540 es el qp, no el pq 72 00:05:34,540 --> 00:05:38,500 el qp, vale, ahora está bien 73 00:05:38,500 --> 00:05:50,240 Vale, fijaros, el vector QP es ese que tengo ahí, el que he calculado al principio, que sería x0 menos x1, y sub 0 menos y1, z0 menos z1. 74 00:05:50,560 --> 00:06:04,839 Si hago el producto escalar de esto, me queda a por x0 menos x1, más b por y0 menos y1, más c por z0 menos z1. 75 00:06:04,839 --> 00:06:25,939 Que si lo desarrollo me queda esto de aquí, a por x0 menos a por x1 más b por y0 menos b por y1 más c por z0 menos c por z1. 76 00:06:25,939 --> 00:06:45,759 Vale, y mirad, lo voy a escribir, lo voy a agrupar de esta manera, ¿vale? Voy a poner primero todos los términos que tienen las coordenadas del punto P, que serían estos, y luego todos los que tienen las coordenadas del punto Q, que serían estos de ahí, ¿vale? 77 00:06:45,759 --> 00:07:02,139 Y voy a intentar simplificarlo un poco. Fijaros, como el punto Q es un punto del plano, el punto Q tiene que cumplir la ecuación del plano, es decir, va a ocurrir que a por x1 más b por y1 más c por z1 más d me va a dar igual a 0, ¿vale? 78 00:07:02,139 --> 00:07:20,220 Como es un punto del plano, tiene que cumplir su ecuación. Fijaros, si yo aquí despejo la D, me queda menos AX1, perdón, menos BI1, menos CZ1, pasando esto al otro miembro. 79 00:07:20,220 --> 00:07:45,199 Pero fijaros que esto que tenéis aquí es justo esto que tenéis aquí, ¿vale? Entonces, como x1 y1 z1 es un punto del plano, yo puedo sustituir eso por d, con lo cual esto me queda ax0 más bi0 más cz0, este no es un punto, x0 y0 z0 no es un punto del plano, ¿vale? Con lo cual no cumple la ecuación del plano. 80 00:07:45,199 --> 00:08:08,540 Bueno, me queda esto de aquí. Bueno, y entonces sustituyendo en la fórmula que teníamos al principio, sustituyendo todo esto en esta fórmula de aquí, me quedará que la distancia del punto al plano será igual al valor absoluto de a por x sub 0 más b por y sub 0 más c por z sub 0 más d. 81 00:08:08,540 --> 00:08:15,100 Fijaros que esto es lo que sale si las ecuaciones del punto lo sustituís en la ecuación del plano. 82 00:08:16,319 --> 00:08:20,899 Fijaros, como el punto no es del plano, al sustituirlo en la ecuación del plano no va a dar cero, va a dar un número. 83 00:08:21,040 --> 00:08:23,699 De ese número cogéis el valor absoluto. 84 00:08:24,620 --> 00:08:29,100 Y abajo lo tengo que dividir por el módulo del vector n. 85 00:08:29,339 --> 00:08:36,879 El vector n tiene coordenadas abc, los tres coeficientes de las incógnitas de la ecuación del plano. 86 00:08:36,879 --> 00:08:43,720 Esto nos quedaría al cuadrado más b al cuadrado más c al cuadrado su raíz cuadrada. 87 00:08:44,419 --> 00:08:53,899 Y esta es la fórmula que podemos aplicar para escribir la distancia de un punto a un plano. 88 00:08:54,559 --> 00:08:55,340 Un saludo.