1
00:00:00,000 --> 00:00:17,170
Bien, vamos a ver las propiedades de los determinantes. Vamos a ver, lo que os estaba comentando, lo interesante de los determinantes reside especialmente en sus propiedades.

2
00:00:17,170 --> 00:00:28,850
Es decir, sus propiedades confieren una capacidad enorme como herramienta matemática.

3
00:00:29,489 --> 00:00:31,010
¿Entendéis lo que quiero decir?

4
00:00:31,390 --> 00:00:39,990
Entonces, vamos a analizar de manera fiel y detallada las propiedades de los determinantes.

5
00:00:39,990 --> 00:00:52,909
¿De acuerdo? La primera propiedad es que, como veis, el determinante de una matriz A es igual al determinante de su traspuesta.

6
00:00:53,929 --> 00:01:06,099
¿De acuerdo? Es decir, si tú calculas el determinante de una matriz, calculas el determinante de la traspuesta, te tiene que dar el mismo resultado.

7
00:01:06,099 --> 00:01:24,129
¿De acuerdo? Bien. Primera propiedad importante. Segunda, si una matriz tiene una fila o una columna íntegramente de ceros, el determinante vale cero.

8
00:01:24,129 --> 00:01:53,450
¿Sabríais por qué? Fijaros, como vimos, cada sumando contiene al menos un elemento de cada fila y de cada columna. ¿Entendéis o no?

9
00:01:53,450 --> 00:02:11,210
Y por tanto, si tienes una fila o una columna íntegramente de ceros, cada sumando ha de tener dentro de esa multiplicación un cero. Por lo tanto, tiene que dar cero. ¿Os dais cuenta o no?

10
00:02:11,210 --> 00:02:27,250
Bueno, conclusión. Si un determinante tiene una fila o una columna íntegramente de ceros, llena íntegramente de ceros, es el determinante vale cero. ¿De acuerdo? Vamos a la propiedad 3.

11
00:02:27,250 --> 00:02:29,069
Propiedad 3

12
00:02:29,069 --> 00:02:37,849
Si permutamos dos filas o dos columnas

13
00:02:37,849 --> 00:02:40,729
Permutar es cambiar una por otra

14
00:02:40,729 --> 00:02:42,050
¿De acuerdo?

15
00:02:42,870 --> 00:02:46,770
Si permutamos dos filas o dos columnas

16
00:02:46,770 --> 00:02:49,370
El determinante quedará cambiado de signo

17
00:02:49,370 --> 00:02:51,770
Con el mismo valor absoluto

18
00:02:52,449 --> 00:02:53,770
Pero cambiado de signo

19
00:02:54,370 --> 00:02:56,870
Por ejemplo, si un determinante vale 3

20
00:02:56,870 --> 00:03:16,610
Si permutamos dos filas, su determinante va a valer menos 3. ¿Se comprende? Y si permuto dos filas y luego otra vez permuto otras dos filas, pues me va a dar el mismo resultado. ¿Esto se entiende o no?

21
00:03:16,610 --> 00:03:19,050
¿Esto se entiende lo que digo?

22
00:03:20,509 --> 00:03:24,590
Por lo tanto, si permuto un número impar de veces

23
00:03:24,590 --> 00:03:27,550
filas o columnas, da igual

24
00:03:27,550 --> 00:03:31,110
si permuto un número impar de veces

25
00:03:31,110 --> 00:03:34,870
el determinante valdrá el mismo valor absoluto

26
00:03:34,870 --> 00:03:36,110
pero cambiado de signo

27
00:03:36,110 --> 00:03:41,389
Si permuto un número par de veces

28
00:03:41,389 --> 00:03:44,009
filas o columnas

29
00:03:44,009 --> 00:03:46,110
el determinante va a dar el mismo resultado

30
00:03:46,110 --> 00:03:47,270
¿Se entiende la idea o no?

31
00:03:48,370 --> 00:03:51,520
¿Se entiende o no? Bien.

32
00:03:52,939 --> 00:04:06,349
La propiedad 4 dice, si una matriz tiene dos filas o dos columnas iguales, el determinante vale cero.

33
00:04:10,479 --> 00:04:17,980
¿De acuerdo? ¿Vale?

34
00:04:17,980 --> 00:04:22,759
Si tienes dos filas o dos columnas iguales, el determinante vale cero.

35
00:04:25,879 --> 00:04:29,439
No demuestro la propiedad. Me interesa eso sí que recordéis, ¿eh? ¿Vale?

36
00:04:30,560 --> 00:04:33,660
Y luego, y esta cuestión es importante.

37
00:04:33,660 --> 00:04:58,279
Propiedad 5. Si multiplicamos cada elemento de una fila o columna de una matriz por un número,

38
00:05:00,540 --> 00:05:06,860
atención, multiplico no la matriz, sino una fila o una columna, ¿entendéis o no?

39
00:05:07,480 --> 00:05:14,660
Si multiplico una fila o una columna por un número, el determinante quedará multiplicado por dicho número.

40
00:05:15,500 --> 00:05:18,319
¿De acuerdo? ¿Se entiende lo que digo?

41
00:05:18,939 --> 00:05:35,860
Por ejemplo, fijaros aquí. Vamos a hacer la prueba.

42
00:05:37,079 --> 00:05:43,500
Si multiplico, por ejemplo, la primera fila de este determinante por 5, como dice aquí, ¿qué me queda?

43
00:05:43,639 --> 00:05:49,800
Pues me quedaría... Vamos a hacer este cálculo primero y este luego.

44
00:05:49,800 --> 00:05:53,699
¿De acuerdo? Y vamos a ver que efectivamente el resultado es el mismo.

45
00:05:53,699 --> 00:06:03,240
¿Vale? Este determinante primero es 20, 45, 3 y 11

46
00:06:03,240 --> 00:06:04,240
¿Estamos de acuerdo o no?

47
00:06:04,720 --> 00:06:10,939
Venga, esto da, pues, 20 por 11, ¿sí o no?

48
00:06:13,110 --> 00:06:17,730
Pues bien, el determinante este da 85, ¿de acuerdo?

49
00:06:17,810 --> 00:06:24,009
Es decir, el resultado de multiplicar este determinante, una fila por 5

50
00:06:24,009 --> 00:06:25,910
¿De acuerdo? Como veis aquí

51
00:06:25,910 --> 00:06:27,329
¿Sí o no?

52
00:06:27,329 --> 00:06:33,990
Vamos a comprobar que efectivamente es igual a el resultado de multiplicar el determinante por 5.

53
00:06:34,449 --> 00:06:36,329
¿Se entiende la idea? ¿Se entiende?

54
00:06:37,329 --> 00:06:47,089
Este determinante de aquí, primero, es un determinante al que la primera fila la he multiplicado por 5.

55
00:06:48,529 --> 00:06:50,149
Y me da 85.

56
00:06:50,670 --> 00:06:57,050
Vamos a hacer ahora este mismo determinante pero con el 5 fuera.

57
00:06:57,329 --> 00:07:04,129
Que nadie se confunda. Sabéis todos lo que es multiplicar 5 por una matriz, ¿no?

58
00:07:05,629 --> 00:07:11,009
Sí, ¿qué es esto? ¿Qué se hace? El 5 multiplica a todos los elementos.

59
00:07:12,649 --> 00:07:17,850
Pero, ojo, estamos hablando no de matrices, estamos hablando del determinante.

60
00:07:20,279 --> 00:07:23,819
¿Se entiende la idea? Cuidado, ¿eh? Entonces, ¿qué pasa con esto?

61
00:07:23,819 --> 00:07:31,819
Vamos a ver cuánto da 5 por el determinante este

62
00:07:31,819 --> 00:07:37,610
5 por 44

63
00:07:37,610 --> 00:07:42,569
Bien, hacemos el desarrollo del determinante

64
00:07:42,569 --> 00:07:47,529
Que es esto, da 17 y multiplicado por 5 da 85

65
00:07:47,529 --> 00:07:48,930
Que da lo mismo, ¿entendéis?

66
00:07:48,930 --> 00:07:51,290
Es decir, cuidado, ¿eh?

67
00:07:51,290 --> 00:08:13,430
Bueno, en definitiva, si una fila o columna, si a este determinante le multiplico su primera fila por 5, como veis aquí, el determinante de la nueva matriz va a tener el mismo determinante inicial pero multiplicado por 5.

68
00:08:13,430 --> 00:08:27,850
¿Se entiende o no? ¿Se ve? Cuidado con esta propiedad que es engañosa. Hay que interpretarla bien. Es engañosa porque estoy multiplicando una fila o columna, no toda la matriz.

69
00:08:27,850 --> 00:08:41,029
¿Vale? Y además esto es una pregunta muy típica de la EBAU. En concreto, el siguiente análisis, que es una consecuencia.

70
00:08:41,029 --> 00:09:00,629
¿Vale? Dice, si multiplico alfa, que es un número, atención aquí, por una matriz, el determinante de alfa por dicha matriz va a ser alfa elevado a n por el determinante de la matriz A.

71
00:09:00,629 --> 00:09:19,830
¿Quién entiende esto? Vamos a ver por qué. Fijaros, aquí pone determinante de la matriz alfa por a. ¿Sí o no? Alfa por a, ¿qué es alfa por a?

72
00:09:19,830 --> 00:09:30,809
Multiplicar la matriz A, cada elemento de la matriz A, por alfa, por un número, ¿sí o no?

73
00:09:31,409 --> 00:09:43,889
Es decir, si A tuviera cuatro filas, estoy multiplicando cuatro filas por alfa, ¿sí o no?

74
00:09:43,889 --> 00:10:03,610
Y según la propiedad que hemos visto antes, por cada fila que multiplico por alfa, el determinante queda multiplicado por alfa. ¿Sí o no? ¿Pero cuántas filas hay? Cuatro. Por lo tanto, el determinante quedaría multiplicado por alfa elevado a cuatro. ¿Se comprende o no? ¿Se entiende este matiz? Es importante.

75
00:10:03,610 --> 00:10:17,169
Es decir, el determinante de A tiene que ser lo que alfa por A es el resultado de multiplicar a cada fila de A por alfa.

76
00:10:18,389 --> 00:10:28,769
Y por tanto, el determinante de alfa por A es el resultado de multiplicar el determinante de A por alfa

77
00:10:28,769 --> 00:10:31,370
un número de filas

78
00:10:31,370 --> 00:10:33,470
el mismo número de filas

79
00:10:33,470 --> 00:10:33,990
de veces

80
00:10:33,990 --> 00:10:36,110
¿se entiende la idea?

81
00:10:37,269 --> 00:10:38,269
entonces, por ejemplo

82
00:10:38,269 --> 00:10:41,129
si A es de orden 3x3

83
00:10:41,129 --> 00:10:43,629
si A resulta que es

84
00:10:43,629 --> 00:10:45,629
una matriz de orden 3x3

85
00:10:46,210 --> 00:10:47,610
¿se entiende esto?

86
00:10:47,889 --> 00:10:49,330
cuadrada de orden 3x3

87
00:10:49,330 --> 00:10:51,350
resultará que alfa por A

88
00:10:51,350 --> 00:10:53,409
es igual a alfa al cubo

89
00:10:53,409 --> 00:10:54,629
por el determinante de A

90
00:10:54,629 --> 00:10:56,970
o sea, el determinante de alfa por A

91
00:10:56,970 --> 00:11:11,409
perdón, es igual a alfa al cubo por el determinante de A. Esta propiedad, repito, que es fundamental, ¿eh? N es el orden de la matriz A, o sea, el número de filas o el número de columnas, ¿vale?

92
00:11:13,940 --> 00:11:28,570
Vamos a ver la siguiente propiedad, la 6. Dice, si una matriz tiene dos filas o dos columnas proporcionales, su determinante es 0.

93
00:11:28,570 --> 00:11:42,379
Si una matriz tiene dos filas o dos columnas proporcionales, su determinante es cero

94
00:11:42,379 --> 00:11:50,200
Antes hemos visto que si una matriz tiene dos filas o dos columnas iguales, el determinante vale cero

95
00:11:50,200 --> 00:11:51,059
¿Sí o no?

96
00:11:51,620 --> 00:11:54,440
Bien, esta propiedad es un poco más general que la anterior

97
00:11:54,440 --> 00:12:00,799
Si un determinante tiene dos filas o columnas proporcionales, el determinante vale cero

98
00:12:00,799 --> 00:12:04,340
En concreto, si son iguales, son proporcionales, ¿no?

99
00:12:05,139 --> 00:12:05,840
¿Sí o no?

100
00:12:06,460 --> 00:12:09,080
Si dos filas son iguales, son proporcionales.

101
00:12:09,159 --> 00:12:15,639
Por lo tanto, la propiedad esta de que si tiene dos filas o columnas iguales, vale cero el determinante,

102
00:12:15,720 --> 00:12:23,200
es una propiedad pobre en relación a esta, que es más general y de alguna manera la engloba.

103
00:12:23,559 --> 00:12:24,279
¿Se entiende o no?

104
00:12:24,799 --> 00:12:25,039
Bien.

105
00:12:27,620 --> 00:12:32,700
Mirad, por ejemplo, esta columna es la misma que esta multiplicada por 10.

106
00:12:33,299 --> 00:12:33,700
¿Lo veis?

107
00:12:34,299 --> 00:12:35,879
Y el resultado da cero.

108
00:12:36,120 --> 00:12:57,159
¿De acuerdo? Vamos a la propiedad 7. Dice, si una fila o columna de una matriz es suma de dos, su determinante puede descomponerse en suma de los determinantes de dos matrices del siguiente modo.

109
00:12:57,159 --> 00:13:19,669
Mira, en definitiva, vamos a verlo mediante un ejemplo, pero veis que aquí hay un determinante y otro, tienen esta columna iguales, pues la suma de estos determinantes sería el valor de este determinante,

110
00:13:19,669 --> 00:13:26,029
de esta matriz que hemos construido con la misma columna que se repite,

111
00:13:26,809 --> 00:13:29,870
pero sumando las columnas que no se repiten.

112
00:13:30,070 --> 00:13:33,250
¿Se entiende? Los elementos de las columnas que no se repiten.

113
00:13:33,789 --> 00:13:34,690
Vamos a ver un ejemplo.

114
00:13:39,250 --> 00:13:42,679
Mirad este ejemplo.

115
00:13:43,539 --> 00:13:47,740
Esta matriz tiene...

116
00:13:48,519 --> 00:13:51,000
Primera columna son distintas,

117
00:13:51,000 --> 00:14:14,779
Pero las segundas columnas son iguales y las terceras son iguales, ¿de acuerdo? Pues según esta propiedad sería igual a, sumaríamos elemento a elemento de la columna que es diferente. 3 más 0, 3. 1 más menos 1, 0. Y 2 más 7, 9. ¿De acuerdo con lo que hemos hecho?

118
00:14:14,779 --> 00:14:41,090
Y ahora el resto las dejamos igual. ¿Se entiende lo que hemos hecho? Y esta propiedad es interesante también para ser aplicada al revés. De aquí a aquí. Veremos más adelante por qué es interesante en ese sentido. ¿De acuerdo?

119
00:14:41,090 --> 00:15:05,830
Vamos a ver la propiedad 8. Dice, si a una fila o columna de una matriz se le suma una combinación lineal de líneas paralelas, el determinante no varía.

120
00:15:05,830 --> 00:15:09,129
¿Veis? Repito

121
00:15:09,129 --> 00:15:11,889
Si a una fila o columna de una matriz

122
00:15:11,889 --> 00:15:12,690
Se le suma

123
00:15:12,690 --> 00:15:15,929
Una combinación lineal de líneas paralelas

124
00:15:15,929 --> 00:15:18,789
El determinante no varía

125
00:15:18,789 --> 00:15:20,230
Atención

126
00:15:20,230 --> 00:15:22,169
Mirad en este ejemplo

127
00:15:22,169 --> 00:15:28,769
Mirad este ejemplo

128
00:15:28,769 --> 00:15:31,490
Voy a recorrerlo pero al revés

129
00:15:31,490 --> 00:15:32,990
¿De acuerdo?

130
00:15:33,889 --> 00:15:34,529
Atención

131
00:15:34,529 --> 00:15:38,330
A este determinante

132
00:15:38,330 --> 00:15:40,070
A, B, C, D

133
00:15:40,070 --> 00:16:02,009
¿Vale? Con K en la segunda, ¿vale? B más K, A. Vale, perfecto. Es que tengo que ver cómo lo han hecho. O sea, que han sumado a este más K. Vale.

134
00:16:02,610 --> 00:16:16,080
Vamos a ver. Vamos a sumar a la segunda fila una combinación lineal de líneas paralelas. ¿Entendéis? Es decir, perdona, a la segunda columna.

135
00:16:16,080 --> 00:16:37,590
¿Vale? Esto se puede hacer con cualquier fila y con cualquier columna, ¿eh? Pero quiero que entendáis qué está diciendo esa propiedad con este ejemplo, ¿vale? La segunda columna, ¿quién es? BD, ¿vale? Es BID. Esta es la segunda columna.

136
00:16:37,590 --> 00:17:03,360
Ahora, quiero sumar a la segunda columna, o sea, a B, D, a cada uno de ellos, una combinación lineal de líneas paralelas a ella. En este caso, como es de orden 2, solo hay una línea paralela, que es esta. ¿Sí o no? ¿Me seguís?

137
00:17:03,360 --> 00:17:19,319
Pues bien, ¿qué es una combinación lineal? Era multiplicar por coeficientes cada una de las filas. ¿Recordáis o no? ¿Qué es una combinación lineal en términos generales?

138
00:17:19,319 --> 00:17:36,140
O sea, era un concepto, por ejemplo, ¿qué es una combinación lineal de ecuaciones? Pues una suma que se construye a partir de una serie de ecuaciones que multiplico por un número y que la sumo entre ellas. ¿Entendéis o no?

139
00:17:36,140 --> 00:18:02,279
En la misma idea trabajábamos con las filas o columnas de una matriz, que es lo que hacíamos en realidad para hacer ceros en el método de Gauss. ¿Recordáis o no? Lo mismo se hace con vectores en geometría, que no es el caso vuestro, que no lo habéis dado, pero lo mismo se hace, esa misma idea se traslada al campo de los vectores, de los espacios vectoriales.

140
00:18:03,119 --> 00:18:27,099
Bien, pues, una combinación, dice la propiedad, si sumo a una columna o una fila una combinación lineal del resto, entonces el determinante no varía. Una combinación lineal del resto, el resto en este caso es solo la columna AC. ¿Sí o no?

141
00:18:28,099 --> 00:18:40,200
Bien, la quiero multiplicar, quiero multiplicarlo por un número, porque es una combinación lineal cualquiera, ¿sí o no? Por ejemplo, por K. ¿Os vale con letras? Luego hago un caso concreto numérico, ¿vale?

142
00:18:40,200 --> 00:19:05,920
Bien, pues, si a la columna segunda le sumo una combinación lineal del resto, como veis aquí, me va a quedar B más KA y D más KC. ¿Vale? Pues bien, a la primera columna, a la segunda columna, le sumo combinación lineal del resto y me va a quedar esto.

143
00:19:05,920 --> 00:19:19,279
Pues estos dos determinantes valen lo mismo

144
00:19:19,279 --> 00:19:21,700
Y aquí está la cuestión

145
00:19:21,700 --> 00:19:29,069
Una de las cuestiones

146
00:19:29,069 --> 00:19:30,670
¿Se ha entendido la idea?

147
00:19:31,490 --> 00:19:32,329
Por ejemplo, una

148
00:19:32,329 --> 00:19:35,130
¿Se ha entendido?

149
00:19:35,309 --> 00:19:37,210
Voy a pasar a la propiedad siguiente que es la que me importa

150
00:19:37,210 --> 00:19:38,009
¿Vale?

151
00:19:43,740 --> 00:19:45,960
Atención, esta es la propiedad interesante

152
00:19:45,960 --> 00:19:48,119
Lo que pasa es que la propiedad 8

153
00:19:48,119 --> 00:19:49,759
Es la que acabamos de ver

154
00:19:49,759 --> 00:19:51,299
Y la anterior también

155
00:19:51,299 --> 00:19:52,940
Demostraría la 9

156
00:19:52,940 --> 00:19:55,599
Que es la que se lleva la palma

157
00:19:55,599 --> 00:20:12,440
Esta propiedad, la propiedad 9, confiere al determinante una cualidad de herramienta potente para el álgebra, ¿de acuerdo? Así que no perdamos atención, ¿de acuerdo?

158
00:20:12,440 --> 00:20:30,900
Vamos a ver. Dice, si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de las demás paralelas, entonces su determinante es cero, y recíprocamente.

159
00:20:30,900 --> 00:20:56,150
Mirad, en el tema anterior estábamos trabajando todo el tiempo intentando ver qué ecuaciones son o no redundantes respecto de las anteriores. ¿Recordáis o no? Es decir, redundante es lo que se entiende por linealmente dependiente, ¿vale?

160
00:20:56,150 --> 00:21:18,930
Pero aquí lo hemos llamado redundante porque no aporta información nueva. ¿Me entiendes lo que te quiero decir? Vale. Es decir, por ejemplo, si yo tengo una ecuación, un sistema de ecuaciones y añado una ecuación que es combinación lineal de las anteriores, ¿qué está pasando en ese sistema? ¿Qué le sucede al sistema?

161
00:21:19,769 --> 00:21:25,890
Pues que al hacer Gauss, esa nueva ecuación que he creado se va a eliminar.

162
00:21:26,109 --> 00:21:26,789
¿Entendéis o no?

163
00:21:27,910 --> 00:21:28,309
¿Sí o no?

164
00:21:28,509 --> 00:21:29,650
Porque no aporta nada.

165
00:21:29,650 --> 00:21:38,549
Vimos que si a un sistema de ecuaciones le sumo, le añado una ecuación que es combinación lineal del resto,

166
00:21:39,329 --> 00:21:47,759
esa que añado no aporta nada al sistema de ecuaciones.

167
00:21:48,640 --> 00:21:50,779
Tampoco lo hace incompatible, pero no aporta.

168
00:21:50,900 --> 00:21:51,480
¿Entendéis o no?

169
00:21:52,160 --> 00:22:10,740
Quiere decirse que las soluciones de las anteriores lo van a ser de ella, de la que he añadido. ¿Sí o no? Esto es lo que se llama ecuación linealmente dependiente de las demás, ¿vale? Que depende de las demás linealmente.

170
00:22:10,740 --> 00:22:36,650
En definitiva, pero lo que nosotros hemos llamado, o sea, decir, si por ejemplo tengo un sistema de ecuaciones, ¿no? De tres ecuaciones, ¿vale? Imagínate que tengo una ecuación como esta, otra. Un sistema como este, ¿cuántos grados de libertad tiene? Uno.

171
00:22:36,650 --> 00:22:51,710
¿Sí o no? Porque X y Z, si partimos de la terna numérica de soluciones, tiene tres grados de libertad. Lo que pasa es que cada una de las ecuaciones me va a reducir un grado de libertad. ¿Sí o no? ¿Me seguís?

172
00:22:52,309 --> 00:23:05,009
Entonces, de tres baja a dos y de aquí baja a uno, pues te queda un grado de libertad. Quiere decirse que voy a tener que parametrizar una ecuación con un parámetro. ¿Se entiende la idea o no? Lo que vimos en el tema anterior. ¿Se recuerda o no?

173
00:23:05,009 --> 00:23:30,849
Bueno, ¿qué pasa si añado una tercera ecuación? Pues en términos generales va a reducir un grado de libertad y lo va a hacer sistema compatible, salvo que la ecuación que yo añada sea linealmente dependiente de las dos primeras. ¿Se comprende o no? Es decir, sea fruto de una combinación lineal de las dos primeras. ¿Esto se entiende o no? ¿Se ve?

174
00:23:30,849 --> 00:23:52,559
Pues vamos a la propiedad 3, perdón, a la propiedad 9 del determinante. Dice, está dando en el corazón de esa cuestión que hemos dicho, ¿entendéis? Porque dice, si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de las demás paralelas,

175
00:23:52,559 --> 00:24:04,140
Es decir, que si a una matriz le añado una línea, una fila o una columna que es combinación lineal de las demás, su determinante vale cero.

176
00:24:04,140 --> 00:24:24,880
Y por tanto, fijaros, lo que me está diciendo es, esta propiedad la puedo utilizar para ver si en un sistema de ecuaciones, por ejemplo, me sobran, hay ecuaciones que son linealmente dependientes de las demás.

177
00:24:24,880 --> 00:24:34,660
Porque si el determinante vale cero, esto significa que hay una ecuación que es combinación lineal de las demás

178
00:24:34,660 --> 00:24:37,640
¿Se comprende o no? ¿Se entiende?

179
00:24:37,640 --> 00:24:44,740
Y en consecuencia, al hacer Gauss, se me van a eliminar algunas de las ecuaciones

180
00:24:44,740 --> 00:24:47,039
¿Se ha entendido o no?

181
00:24:47,759 --> 00:24:54,640
Por lo tanto, es una propiedad, el determinante es una herramienta excelente por esta misma propiedad

182
00:24:54,640 --> 00:25:18,039
Porque me permite, en definitiva, ver si una fila o, en el caso de los vectores, si un vector, o en este caso una fila o una columna, es linealmente dependiente del resto. ¿Se ha entendido la idea? La propiedad 10 dice, el determinante del producto de dos matrices es el producto de los determinantes.

183
00:25:18,039 --> 00:25:25,039
Veremos que esta cuestión también la utilizaremos y es importante, ¿vale?

184
00:25:30,069 --> 00:25:34,490
Y hay que saber interpretar esto

185
00:25:34,490 --> 00:25:37,130
Lo dejo para vosotros el análisis, ¿eh? ¿Vale?

186
00:25:38,410 --> 00:25:40,109
Y luego en la propiedad 11 dice

187
00:25:40,109 --> 00:25:46,029
El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal principal

188
00:25:46,029 --> 00:25:47,890
¿Triangular qué era?

189
00:25:48,130 --> 00:25:51,930
Pues que debajo de la diagonal todos los elementos son cero

190
00:25:51,930 --> 00:26:08,589
O, por encima de la diagonal, todos los elementos son cero. Pues la propiedad dice que un determinante de una matriz triangular, pues el determinante va a valer el producto de todos los elementos de la diagonal.

191
00:26:08,589 --> 00:26:09,990
¿De acuerdo?

192
00:26:15,039 --> 00:26:17,180
Y vamos a la última que es muy importante

193
00:26:17,180 --> 00:26:19,940
Bien, la última propiedad es importante

194
00:26:19,940 --> 00:26:20,759
Que dice

195
00:26:20,759 --> 00:26:22,960
Mirad

196
00:26:22,960 --> 00:26:26,859
El determinante de la matriz identidad vale 1

197
00:26:26,859 --> 00:26:31,400
La matriz identidad era la que tiene diagonal 1 y el resto 0

198
00:26:31,400 --> 00:26:32,019
¿Sí o no?

199
00:26:32,700 --> 00:26:36,480
Bien, pues la matriz identidad, el determinante de la matriz identidad vale 1

200
00:26:36,480 --> 00:26:37,319
¿Vale?

201
00:26:37,759 --> 00:26:39,460
Y luego, fijaros en esto

202
00:26:39,460 --> 00:26:41,420
¿qué pasa con el

203
00:26:41,420 --> 00:26:43,460
qué relación hay entre el determinante

204
00:26:43,460 --> 00:26:45,480
de una matriz y su inversa?

205
00:26:47,940 --> 00:26:48,019
¿vale?

206
00:26:48,740 --> 00:26:51,140
vamos a ver esta cuestión que es importante

207
00:26:51,140 --> 00:26:52,859
¿qué le pasa

208
00:26:52,859 --> 00:26:54,980
a la inversa de una matriz?

209
00:26:55,160 --> 00:26:56,720
pues una matriz

210
00:26:56,720 --> 00:26:58,640
y su inversa

211
00:26:58,640 --> 00:27:01,000
como vimos el otro día han de ser

212
00:27:01,000 --> 00:27:02,859
dos matrices que multiplicadas den

213
00:27:02,859 --> 00:27:05,240
la unidad, la identidad

214
00:27:05,240 --> 00:27:07,059
que es la unidad para el elemento

215
00:27:07,059 --> 00:27:09,339
neutro para el producto de matrices

216
00:27:09,339 --> 00:27:10,720
¿se recuerda o no?

217
00:27:10,900 --> 00:27:29,079
Bien. Por lo tanto, tiene que ser igual a la unidad. ¿Cuál es el determinante de A por A menos 1? Pues ha de ser el determinante de la identidad, que es 1. ¿Se entiende o no? ¿Se ve?

218
00:27:29,079 --> 00:27:45,579
Y en consecuencia, según la propiedad anterior que decía que el determinante de A por B es igual al producto de los determinantes, ¿recordáis o no?

219
00:27:46,259 --> 00:27:59,769
Aplicando esta propiedad aquí, aquí me quedaría que el determinante de A por el determinante de la inversa de A es igual a 1.

220
00:27:59,769 --> 00:28:05,410
y despejando, obtendríamos esta fórmula.

221
00:28:05,789 --> 00:28:06,089
¿Se ve?

222
00:28:06,869 --> 00:28:10,609
Que viene a decir que el determinante de la matriz inversa

223
00:28:10,609 --> 00:28:15,450
es el inverso del determinante de la matriz.

224
00:28:16,190 --> 00:28:17,029
¿Lo veis o no?

225
00:28:17,029 --> 00:28:21,009
Por ejemplo, si el determinante de A vale 3,

226
00:28:21,190 --> 00:28:23,210
¿cuánto vale el determinante de A a la menos 1?

227
00:28:24,250 --> 00:28:25,349
Pues un tercio.

228
00:28:26,569 --> 00:28:27,250
¿Se entiende o no?

229
00:28:28,309 --> 00:28:28,789
¿Se entiende?

230
00:28:31,400 --> 00:28:33,099
El inverso, numérico.

231
00:28:33,420 --> 00:28:34,119
¿Se ha entendido la idea?

232
00:28:34,660 --> 00:28:35,980
Bien, pues...