1
00:00:00,000 --> 00:00:07,000
Derivada de la función logarítmica. Yo voy a daros solamente una fórmula.

2
00:00:07,000 --> 00:00:13,000
Hay dos fórmulas para la derivada del logaritmo, pero con esta es válida para todos los logaritmos.

3
00:00:13,000 --> 00:00:19,000
Sea logaritmo decimal, sea logaritmo neperiano o con cualquier base.

4
00:00:19,000 --> 00:00:24,000
Si me da la función y igual logaritmo de u en base a,

5
00:00:24,000 --> 00:00:36,000
la función derivada igual 1 partido de u por el logaritmo neperiano de la base del logaritmo y por la derivada de u.

6
00:00:36,000 --> 00:00:41,000
Vamos con tres ejemplos y aplicamos la fórmula de la función derivada.

7
00:00:41,000 --> 00:00:45,000
Me dan y igual logaritmo de x a la 3.

8
00:00:45,000 --> 00:00:51,000
Hemos de suponer que, como no me indican nada, es un logaritmo decimal.

9
00:00:51,000 --> 00:00:54,000
Derivada de la función logarítmica.

10
00:00:54,000 --> 00:01:00,000
1 partido de u. En este caso, u es x elevado a la 3.

11
00:01:00,000 --> 00:01:03,000
Luego, y prima igual.

12
00:01:03,000 --> 00:01:12,000
Repetimos, 1 partido de u, es decir, 1 partido de x a la 3

13
00:01:12,000 --> 00:01:17,000
por el logaritmo neperiano de la base del logaritmo, que en este caso es 10,

14
00:01:17,000 --> 00:01:23,000
por el neperiano de 10 y por la derivada de u.

15
00:01:23,000 --> 00:01:27,000
En este caso, u derivada de x cubo.

16
00:01:27,000 --> 00:01:32,000
Evidentemente, 3x elevado al cuadrado.

17
00:01:32,000 --> 00:01:35,000
Pasamos a la siguiente función.

18
00:01:35,000 --> 00:01:39,000
Y igual logaritmo neperiano de 2x cuadrado.

19
00:01:39,000 --> 00:01:44,000
Y vamos a recordar que el logaritmo neperiano tiene de base el número e.

20
00:01:45,000 --> 00:01:47,000
Derivada de la función.

21
00:01:47,000 --> 00:01:49,000
Aplicamos la fórmula.

22
00:01:49,000 --> 00:01:51,000
1 partido de u.

23
00:01:51,000 --> 00:02:02,000
En este caso nos quedaría 1 partido de 2x cuadrado multiplicado por el neperiano de la base.

24
00:02:02,000 --> 00:02:05,000
La base del logaritmo en este caso es el número e.

25
00:02:05,000 --> 00:02:11,000
Luego por el neperiano de e y por la derivada de u.

26
00:02:11,000 --> 00:02:15,000
La derivada de esa expresión 4x.

27
00:02:15,000 --> 00:02:22,000
Y un detalle, simplificación muy sencillita, neperiano de e sabemos que vale 1.

28
00:02:22,000 --> 00:02:25,000
Podemos eliminarlo de la expresión.

29
00:02:25,000 --> 00:02:27,000
Pasamos a la siguiente función.

30
00:02:27,000 --> 00:02:30,000
Función derivada quedaría.

31
00:02:30,000 --> 00:02:34,000
Tenemos el logaritmo de x a la 4 en base 3.

32
00:02:34,000 --> 00:02:36,000
Aplicamos la fórmula.

33
00:02:36,000 --> 00:02:38,000
1 partido de u.

34
00:02:38,000 --> 00:02:44,000
En este caso 1 partido de x a la 4.

35
00:02:44,000 --> 00:02:49,000
Por el logaritmo neperiano de la base del logaritmo.

36
00:02:49,000 --> 00:02:51,000
En este caso 3.

37
00:02:51,000 --> 00:02:55,000
Y multiplicado por la derivada de u.

38
00:02:55,000 --> 00:03:00,000
La derivada de esa expresión 4x elevado a la 3.

39
00:03:01,000 --> 00:03:09,000
Y nota importantísima que ya advertimos de la misma forma en las derivadas trigonométricas.

40
00:03:09,000 --> 00:03:19,000
Los matemáticos este tipo de expresiones, si analizamos esta expresión, es una función y se trata de una potencia.

41
00:03:19,000 --> 00:03:25,000
Pero este tipo de expresiones a los matemáticos les gusta expresarlos de esta forma.

42
00:03:25,000 --> 00:03:32,000
Es decir, si me mandan derivar esta función, en el fondo se trata de una potencia.

43
00:03:32,000 --> 00:03:39,000
Entonces pasamos a la siguiente lámina y veamos cómo se deriva esa función.

44
00:03:39,000 --> 00:03:45,000
Antes de empezar a derivar, consejo de la casa, vamos a ver qué tipo de función es.

45
00:03:45,000 --> 00:03:52,000
Y hemos advertido anteriormente que no se trata de una función logarítmica.

46
00:03:52,000 --> 00:03:55,000
Esta función es una potencia.

47
00:03:55,000 --> 00:03:58,000
Equivale al logaritmo.

48
00:03:58,000 --> 00:04:07,000
Se supone que en base 10, porque no expresa en la base, dx elevado a 5 y todo ello elevado al cubo.

49
00:04:07,000 --> 00:04:09,000
Luego repetimos.

50
00:04:09,000 --> 00:04:14,000
Esa expresión matemática equivale a esta que es la que vamos a derivar.

51
00:04:14,000 --> 00:04:16,000
Tratamiento inicial de potencia.

52
00:04:16,000 --> 00:04:18,000
Tenemos la fórmula de la potencia.

53
00:04:18,000 --> 00:04:22,000
3 por la misma expresión elevado a 1 menos.

54
00:04:22,000 --> 00:04:24,000
Derivada de la función.

55
00:04:24,000 --> 00:04:33,000
3 por el logaritmo de x a la 5 en base 10 y todo ello elevado al cuadrado.

56
00:04:33,000 --> 00:04:36,000
Y por la derivada de la base.

57
00:04:36,000 --> 00:04:39,000
Y ahora la base sí es un logaritmo.

58
00:04:39,000 --> 00:04:45,000
Para derivar la base de esa potencia, derivada del logaritmo que tenemos a la vista.

59
00:04:45,000 --> 00:04:51,000
Aplicamos la fórmula y quedaría 1 partido de u.

60
00:04:51,000 --> 00:04:55,000
En este caso de x a la 5.

61
00:04:55,000 --> 00:04:58,000
Por el neperiano de la base.

62
00:04:58,000 --> 00:05:02,000
En este caso la base es 10.

63
00:05:02,000 --> 00:05:05,000
Y por u prima.

64
00:05:05,000 --> 00:05:08,000
La derivada de esa expresión.

65
00:05:08,000 --> 00:05:11,000
5x elevado a la 4.

66
00:05:11,000 --> 00:05:14,000
Resumen al contenido de esta lámina.

67
00:05:14,000 --> 00:05:17,000
Tenemos la fórmula para derivar logaritmos.

68
00:05:17,000 --> 00:05:19,000
Pero atención a este tipo de funciones.

69
00:05:19,000 --> 00:05:22,000
Inicialmente se trata como potencia.

70
00:05:22,000 --> 00:05:24,000
Para verlo con más claridad.

71
00:05:24,000 --> 00:05:26,000
Lo expresamos de esta forma.

72
00:05:26,000 --> 00:05:28,000
Y procedemos a derivar.

73
00:05:28,000 --> 00:05:30,000
Ejercicio resuelto.