1
00:00:00,560 --> 00:00:09,460
¿Qué crees tú? ¿Es mayor el área de las dos lunas de color azul oscuro juntas, o la superficie de la gran duna roja sobre la que se apoyan?

2
00:00:10,720 --> 00:00:19,300
El matemático Hipócrates, que vivió en la isla griega de Kíos en el siglo V a.C., demostró que son exactamente iguales.

3
00:00:20,320 --> 00:00:26,679
Eso resulta sorprendente, porque las lunas son figuras curvas, y la duna es un triángulo de lados rectos.

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00:00:26,679 --> 00:00:34,460
No parece posible recortar la superficie de unas para rellenar completamente la otra sin que falte ni sobre ningún trocito

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00:00:34,460 --> 00:00:36,960
Y sin embargo, es cierto

6
00:00:36,960 --> 00:00:45,399
Para demostrarlo, veamos cómo se han construido estas figuras llamadas lúnulas de Hipócrates

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00:00:45,399 --> 00:00:48,380
Partimos de un triángulo rectángulo

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00:00:48,380 --> 00:00:57,380
sobre los puntos medios de los lados, construimos semicírculos cuyo diámetro es igual a cada lado.

9
00:01:31,829 --> 00:01:40,230
Como el triángulo rectángulo, se cumple el teorema de Pitágoras, que dice, y en este caso,

10
00:01:43,010 --> 00:01:51,569
quitando paréntesis, sacando factor común el 4, dividiendo ahora entre 4, multiplicando por pi,

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00:01:51,569 --> 00:02:08,030
Así llegamos a la fórmula del área de los círculos y dividiendo entre dos tenemos que la suma de los dos semicírculos superiores iguala al área del semicírculo de abajo.

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00:02:08,030 --> 00:02:20,099
Ya casi hemos terminado, porque escribiendo el círculo arriba, vemos que pasa exactamente por el vértice superior del triángulo.

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00:02:21,120 --> 00:02:26,919
Esto es así porque el ángulo de 90 grados es justo la mitad del ángulo central, que sería 180.

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00:02:27,740 --> 00:02:30,699
Si estuviera fuera, sería menor, y si estuviera dentro, mayor.

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00:02:33,099 --> 00:02:38,539
Bueno, el semicírculo superior será ahora blanco.

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00:02:38,539 --> 00:02:43,159
Y si quitamos estos dos pequeños sectores circulares, nos quedaría el triángulo.

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00:02:44,199 --> 00:02:51,020
Pero si quitamos estos sectores de los semicírculos de arriba, tendremos las dos lúmulas.

18
00:02:51,680 --> 00:02:58,680
Como la suma de los semicírculos es igual, el área de las lunas es igual a la del triángulo.

19
00:03:00,680 --> 00:03:04,259
En la construcción no importa para nada la forma del triángulo.

20
00:03:04,259 --> 00:03:11,300
La suma de las áreas de las lúmulas es siempre igual al área del triángulo